排列组合论文Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】排列组合体系重建制作：星哥摘要排列组合是高中数学中相对独立的内容，对学生分析问题、解决问题能力有较高要求，师生普遍反映难学难教。

产生困难的原因很多，比如题目变化多，结构复杂，思考过程容易出错，很难找到一个简明而又全面的问题归类方式；解答思路灵活，简繁不一，答案检验也不容易；师生仅凭书面交流难以真正了解彼此的想法，更不用说纠正和改正错误了。

该论文在文献研究的基础上，通过对部分高三学生的测试与学生的访谈，意在揭示高中生学习排列组合时的常见认知错误，分析其产生原因，并基于实证研究，为改进排列组合教学提供具体建议。

本文中，我对排列组合问题提出了一个新的分类，先将排列组合问题分为选取模型和分配模型两大类，再依次分为4个小类，部分小类中还有进一步的划分。

希望通过新的分类，更清晰地梳理问题类型，帮助学生更容易地找到解决问题的方法。

通过对测试结果的分析，我将学生常见的错误归为三种类型：题意理解错误、模式选择错误、操作技术错误。

在这三大类错误中包含的具体错误情况共有11种。

对于每种错误，我都根据学生的访谈内容、文献研究等对学生的出错原因进行了分析。

通过访谈，我还发现，在解决陌生问题、解决限制条件多的问题时学生普遍存在困难，而且很多学生不知道如何自我检查答案。

针对学生普遍存在的困难和常见错误，我的建议是：(1)帮助学生认识学习目的；(2)多采用直观图示的方法；(3)重视读题过程，推敲问题特征，列式之后再次读题，检查是否有遗漏和重复；(4)利用学生错误，开展有意义的学习；(5)适当变式，如改换背景和增加限制条件，提高学生的理解水平；(6)引导学生用“缩小数据”和“一题多解”的方法检验解法的正确性。

关键词：排列组合，常见错误，高中生，数学学习目录第一章引言 (4)研究背景 (4)研究问题 (5)研究意义 (5)第二章文献综述 (6)关于排列组合问题模型 (6)选取模型 (6)分配模型 (6)课程中的排列组合知识及其要求 (6)课程标准及考纲要求 (6)教材要求 (7)关于排列组合常见错误类型及其成因 (8)关于排列组合教学 (9)第三章研究的设计和实施 (10)研究对象 (10)测试题的设计 (10)按排列组合模型设计 (10)测试题设计 (11)详细见附录 (12)第四章研究结论和建议 (13)主要结论 (13)教学建议 (14)第一章引言研究背景我国《普通高中数学课程标准》中指出：“计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具”。

“计数原理”的教学要求是“通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题”。

它要求教师“引导学生根据计数原理分析、处理问题，而不应机械地套用公式。

同时，在这部分教学中，应避免繁琐的、技巧性过高的计数问题。

”。

《上海市中小学数学课程标准》指出“计数问题，与中学所讨论的其他数学问题有不同的特点，要重视对具体问题的分析，重视数学思维品质的培养”。

“排列组合”的教学要求是“通过实例分析，学习和掌握乘法原理和加法原理、排列和组合的概念及其计算，但所涉及的难题情境比较简单”，“排列、组合问题中的限制条件不超过两个；不讨论重复排列问题。

解排列和组合的问题，限用常见方法（包括枚举法）。

会利用计算器求排列数和组合数”。

以上是全国课程标准与上海课程标准对排列组合的课程教学要求，总的来说，既承认这部分内容对提高学生思维品质有帮助，又强调要严格控制课程难度。

“排列组合”是高中教材中相对独立的一个章节，很多学生（包括教师）觉得它和其他章节联系不大，在高考中所占分值很少，对其不重视。

其实，当今排列组合的应用已经超越了历史上的自然数计数范畴，与计算机算法结合，在计算机科学、编码和密码学等学科有着广泛的应用。

无论是从历史文化角度看，还是从对培养人们逻辑思维的影响看，它都有着重要的教育价值。

上海高三年级的《数学》教材中有介绍排列组合的历史，中国周代初期（公元前1035—公元前879）的《周易》中有“四象”和“八卦”，宋代科学家沈括在《梦溪笔谈》中讨论了围棋可能摆出的棋局数是“以一为基，三百六十一次三乘之”，意思是“用3连乘361次”，即3613（围棋每格可有白子、黑子或空格三种可能，棋盘共有361 个位置），而他也提到计算数值太大，无法表达。

当今社会，排列组合也有其重要的应用。

在生产调度中，排列组合可用于计算各种可能的调度方案的数目；在科学实验中，可用于计算各种配置方式的数目；在交通问题中，可用于计算可能路径的数目。

而组合数学更是涉及计算机科学、生物学、化学、心理学以及基因工程等前沿学科中的最新应用，例如在基因工程中，每组基因密码都是从四个碱基：腺嘌呤(A)，乌漂呤(G),胞嘧啶(C)和胸腺嘧啶(T)中可重复选取三个进行排列而成，而人类疾病的发生往往就是某些碱基的组合而形成的，所以碱基的组合研究在基因工程研究中是不能缺少的。

当今高中数学课程中的排列组合看似独立，其实，它涉及集合、函数、方程、数列、几何等多个领域，例如在数列中，对原数列每一项进行不同组合都会产生一个新的数列，产生新的性质；在立体几何中，可以用排列组合方法来统计某些立体图形内的顶点数、边数、面数、异面直线对数、正交线面对数等等，比直接数数要便利，尤其是在很难画清图形的情况下；排列组合也为概率统计学习如二项分布、古典概率计算等提供了必要的基础。

所以，排列组合的学习不应当是孤立的，在培养数学优秀生时应当重视其在思维训练中的重要价值。

排列组合问题内容抽象、类型繁多、解法灵活，所以历来是教师教学中比较困难的部分，也是广大学生极易犯错，却很难纠正的一个学习主题。

总结一下，最常被提到的有以下几个难点：(1) 从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2) 限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词（特别是逻辑关联词和量词）准确理解；(3) 计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4) 计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力，采用缩小数据和一题多解等方法加以检验。

基于此，在学完基本的原理与公式后，更需要学生自我探究与感悟，达到真正的理解。

同时，教师也要倾听学生的想法，以便及时了解和帮助学生学习。

由此看来，排列组合无论是其历史渊源、当今社会地位及高中数学教育中的作用都是不容小觑的，但教师难教、学生易错也确实是我们面临的难题，对排列组合学习中学生的错误及成因研究是很有必要的。

研究问题鉴于排列组合在高中数学及现实世界中的重要性，以及师生在这一章节的教与学均存在一定困难，所以我决定以高三学生对排列组合的认知错误为研究主题。

具体来说，主要采取问卷测试和访谈的方法，深入了解学生在解排列组合题时的常见错误及主要原因。

我主要关注以下两个方面：1.高中学生在学习排列组合时有哪些常见错误2.导致高中生发生错误的主要原因有哪些研究意义解排列组合综合题常常需要学生具备良好的语言理解能力、扎实的数学知识功底、过硬的计算能力等，因为计数结果庞大，学生往往无法检查答案的正确性，思考时也容易出现错误，降低了学生做题的兴趣。

这不仅让很多学生惧怕排列组合题，也给教师的教学带来了很多阻碍。

排列组合问题对学生分析问题、解决问题能力有较高要求，同一个答案可以有多种思考途径到达，除了结论的对错外，很难有其他严格证明的方式去验证。

教师自己解答题目不一定有困难，但是要发现学生思考中的问题却是一个不小的挑战。

因此，对排列组合的教和学生的学进行深入研究并提出改进建议是很有必要的。

虽然中外文献中涉及排列组合知识和教学的为数不少，很多期刊论文也分析了学生常见的错误，但是国内文章很少是基于实证研究的。

本文希望能结合文献研究与对学生的测试调查来找出学生在求解排列组合问题中的常见错误表现，确认、修改和补充已有文献关于学生在排列组合学习中的主要困难，让我们更加了解学生的“数学现实”。

这是我想要了解的第一方面。

通过测试和访谈的方式了解学生的真实想法是什么到底是什么原因让学生出现这些错误学生希望教师做何教学改进这是我想要了解的第二方面。

最后，在上述研究的基础上，我将对本主题的教学提出具体的有针对性的建议，以促进教师改进教学。

第二章文献综述本章主要从四个方面着手，第一个方面是“关于排列组合问题模型”；第二个方面是“课程中的排列组合知识及其要求”；第三个方面是“常见的错误类型及其成因”；最后一个方面是“关于排列组合教学”。

关于排列组合问题模型由于排列组合问题常常是文字描述相近但却可能分属于完全不同的类型，因此教学中一般都采用分类讲模型的办法，所以，应该对文献中的问题归类作一个梳理。

指导求解排列组合问题的文章较多。

常见的排列组合题型归类主要有以下几种：特殊元素与特殊位置问题、相邻问题、相离问题、定序问题、分组分配问题、配对问题、多排问题（对象站成多排进行排队）、环排问题、相同元素排列问题（参与排列的部分元素完全相同）等等，每种问题都有相应的解题策略。

这种教法因为问题之间缺乏联系，类型多而且要仔细地根据问题的特征来判断，不容易准确记忆，学生普遍感觉难学。

于是课程标准通过限制问题中最多只能出现两个约束条件和不讨论重复排列问题的办法降低课程难度，而上述归类中的多排问题、环排问题和相同元素排列问题都不在现行课标范围内。

根据参考的文献，我将排列组合问题分为两大类：选取模型和分配模型，再将选取模型分为4个小类，分配模型分为4个小类，下面作具体介绍。

选取模型选取模型借用了抽样概念，它是指“从一个有m个元素的集合中选取n个元素”的问题。

在选取模型下，分别对应以四种可能性：①从m个元素中取n个元素的排列（不放回、元素有序）②从m个元素中有放回地取n个元素的排列（放回、元素有序）③从m个元素中取n个元素的组合（不放回、元素无序）④从m个元素中有放回地取n个元素的组合（放回、元素无序）其中①是我们熟知的排列定义；③是我们熟知的组合定义；②是可重复选择的题型；④超出了高考要求，不要求掌握。

分配模型分配模型则是借用映射的概念，它是指“将n个元素分配进m个容器”。

在分配模型下，分别对应以下四种情况：①将n个不同的元素分配进m个不同的容器②将n个不同的元素分配进m个相同的容器③将n个相同的元素分配进m个不同的容器④将n个相同的元素分配进m个相同的容器由于元素的个数及元素之间的顺序也是需要考察的重要指标，因此在原来的划分基础上，还需要根据元素是否平均分配再划分，再根据元素之间是否考虑顺序更细致的划分。