排列组合问题的经典解法
一、重复排列“住店法”
重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。
把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题。
【例1】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有 （ ）
A.38
B.83
C.38A
D.38C
【解析】冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军。
把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可住进任意一家“店”，每个客有8种可能，因此共有38种不同的结果。
选（A ）。
评述：类似问题较多。
如：将8封信放入3个邮筒中，有多少种不同的结果？这时8封信是“客”，3个邮筒是“店”，故共有83种结果。
要注意这两个问题的区别。
二、特色元素“优先法”
某个（或几个）元素要排在指定位置，可优先将它（们）安排好，后再安排其它元素。
【例2】乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、
三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种。
【解析】3名主力的位置确定在一、三、五位中选择，将他们优先安排，有33A 种可能；然后从其
余7名队员选2名安排在第二、四位置，有27A 种排法。
因此结果为2733A A =252种。
三、相邻问题“捆绑法”
把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，与其余普通元素全排列，是为“捆绑法”，又称为“大元素法”。
不过要注意“大元素”内部还需要进行排列。
【例3】有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有____________种。
【解析】将数学书与外文书分别捆在一起与其它3本书一起排，有55A 种排法，再将3本数学书
之间交换有33A 种，2本外文书之间交换有22A 种，故共有223355A A A =1440种排法。
【评述】这里需要说明的是，有一类问题是两个已知元素之间有固定间隔时，也用“捆绑法”解决。
如：7个人排成一排，要求其中甲乙两人之间有且只有一人，问有多少种不同的排法？可将甲乙两人和中间所插一人“捆绑”在一起做“大元素”，但甲乙两人位置可对调，而且中间一人可从其余5
人中任取，故共有1200552215 A A C 种排法。
四、相间问题“插空法”
元素不相邻问题，先安排好其他元素，然后将不相邻的元素按要求插入排好的元素之间的空位和两端即可。
【例4】某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。
如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ）
A.6
B.12
C.15
D.30
【解析】原来的5个节目中间和两端可看作分出6个空位。
将两个新节目不相邻插入，相当于从
6个位置中选2个让它们按顺序排列，故有3026=A 种排法，选（D ）。
评述：本题中的原有5个节目不需要再排列，这一点要注意。
请练习以下这道题：马路上有编号为1、2、3、···10的十盏路灯，为节约用电又能照明，现准备把其中的三盏灯，但不能关掉相邻的
两盏或三盏，两端的灯也不许关掉，求不同的关灯方式有多少种？可得结果为36C =20种。
你能很快求
解吗？
五、分球问题“隔板法”
计数问题中有一类“分球问题”，说的是将相同的球分到不同的盒中。
【例5】将10个相同的球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，要求每个盒中至少一个球，问有多少种不同的放法？这时可以用“隔板法”解题。
【解析】即将10个相同的球排成一排，中间看作有9个空，从中选出3个不同的空插入3个“隔
板”，则每一种插法对应一种球的放法，因此共有39C =84种不同的放法。
用“隔板法”可很快地解决
以下问题。
六、正难则反“排除法”
有些问题从正面考虑较为复杂而不易得出答案，这时，从反面入手考虑，往往会取得意想不到的效果。
【例6】以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 （ ）
A.70个
B.64个
C.58个
D.52个
【解析】直接统计较繁，可从反面入手。
从8个顶点中任取4个有48C 种取法，而四点共面的情
况有6个表面和6个对角面，因此结果为581248=-C 个，选（C ）。
七、先选后排“综合法”
“先选后排”是解排列组合问题的一个重要原则。
一般地，在排列组合综合问题中，我们总是先从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上。
【例7】四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共_____种。
【解析】先从4个盒中选1个成为空盒有14C 种。
再把4个球分成3组每组至少1个，即分为2，
1，1的三组，有2211
1224A C C C 种。
最后将三组球放入三个盒中，进行全排列有33A 种。
因此，放法共有211134214
3224*6*6144C C C C A A ⨯⨯==种。
评述：本题涉及到了“分组问题”，这是组合中一种重要的题型，它有三种情况：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组。