常微分方程的积分因子每一个微分方程转化为恰当方程之后，可以运用恰当方程的公式进行求解，因此转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤，转化成恰当方程需要求解出积分因子，因此积分因子的求解变得非常重要。

课本中只介绍了仅关于x 或仅关于y 的积分因子，这还远远不够。

此论文主要研究几类微分方程积分因子的求法，从而使微分方程的求解变得较简便。

积分因子的定义：若对于一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=其中(),M x y ，(),N x y 在矩形域内是,x y 的连续函数，且有连续的一阶偏导数．若存在连续可微的函数(),0x y μ≠，使得()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+≡，为一恰当方程，即存在函数V ，使Mdx Ndy dV μμ+=． 则称(),x y μ为方程（1）的积分因子．通过计算可得，函数(),x y μ为0Mdx Ndy +=积分因子的充要条件为：()()M N x y μμ∂∂=∂∂，即M N NM x y y x μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 1.1、定义1 若方程 0),(),(=+dy y x N dx y x M (1) 的左端恰好是某个二元函数),(y x u 的全微分，则称(1)式为恰当微分方程. 1.2、定义2 如果存在连续可微的函数μ=0),(≠y x μ，使得 ),(y x μdx y x M ),(+ ),(y x μdy y x N ),(=0 为一恰当微分方程，即存在函数v ，使dv Ndy Mdx ≡+μμ， 则称),(y x μ为方程(1)的积分因子.1.3 、定义3 函数),(y x μ为(1)的积分因子的充要条件是y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)(μ，即是μμμ)(x Ny M y M xN ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 2.1 结论1：方程（1）具有积分因子μ=)(y x ±μ的充要条件为1))((-∂∂-∂∂M N x Ny M =)(y x F ±积分因子为μ=⎰±±)()(y x d y x F e证明：""⇒设μ=)(y x ±μ为方程的积分因子，y x t +=，则dt d y t x μμμμ=∂∂∂∂=∂∂,（2）由(1)得 x N yM ∂∂-∂∂=dt d M N y x μμ)()(1-+ ∴M N xNy M -∂∂-∂∂=dt d y x μμ)(1+≡)(y x F +∴1))((--∂∂-∂∂M N x Ny M =)(y x F +为方程具有形如)(y x ±μ积分因子的必要条件. ""⇐ 若M N xN y M -∂∂-∂∂≡)(y x F + 取μ=⎰++)()(y x d y x F e 则有x NyM ∂∂-∂∂≡)(y x F +)(M N - 即x N N y x F y x MF y M ∂∂++≡++∂∂)()(,两边乘以μ且由（2），得 μμμ)(x N y M y M x N∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 即y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)(μ⇒μ为原方程的积分因子.同理得1))((-+∂∂-∂∂M N x Ny M =)(y x f -命题得证。

结论2：方程（1）具有积分因子μ=)(xy μ的充要条件为x Ny M ∂∂-∂∂=)(xy F 1)(--Mx Ny积分因子为μ=⎰)()(xy d xy F e证明：""⇒设μ=)(xy μ为方程的积分因子，xy t =，则ydt d x μμ=∂∂,x dt d y μμ=∂∂（3）由(1)得 x N yM ∂∂-∂∂=dt d Mx Ny xy μμ)()(1- ∴Mx Ny x Ny M -∂∂-∂∂=dt d xy μμ)(1≡)(xy F∴1))((--∂∂-∂∂Mx Ny x Ny M =)(xy F 为方程具有形如)(xy μ积分因子的必要条件. ""⇐ 若Mx Ny xN y M -∂∂-∂∂≡)(xy F 取μ=⎰)()(xy d xy F e则有x Ny M ∂∂-∂∂≡)(xy F )(Mx Ny - 即x N Ny xy F xy MxF y M ∂∂+≡+∂∂)()(,两边乘以μ且由（3），得 μμμ)(x N y M y M x N∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 即y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)(μ⇒μ为原方程的积分因子.从而得证. 结论3：方程（1）具有积分因子μ=)(22y x ±μ的充要条件为 1))((-∂∂-∂∂My Nx x N y M =)(22y x F ±积分因子为μ=⎰±±)()(22222y x d y x F e证明：""⇒设μ=)(22y x +μ为方程的积分因子,22y x t +=，则dt d xx μμ2=∂∂,dt d y y μμ2=∂∂ （4） 由(1)得 x Ny M ∂∂-∂∂=dt d My Nx y x μμ)22()(122-+ ∴My Nx xNy M -∂∂-∂∂=dt d y x μμ)(222+≡)(22y x F + ∴1))((--∂∂-∂∂My Nx x N y M =)(y x F +为方程具有形如)(y x ±μ积分因子的必要条件.""⇐ 若M N xN y M -∂∂-∂∂≡)(y x F + 取μ=⎰++)()(y x d y x F e 则有x NyM ∂∂-∂∂≡)(y x F +)(M N - 即x N N y x F y x MF y M ∂∂++≡++∂∂)()(,两边乘以μ且由（2），得 μμμ)(x N y M y M x N∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 即y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)(μ⇒μ为原方程的积分因子.同理得1))((-+∂∂-∂∂M N x Ny M =)(y x F -所以命题得证.结论4：方程（1）具有积分因子μ=)(x yμ的充要条件为x N yM ∂∂-∂∂=)(x y F 12)(-+x M x Ny积分因子为μ=⎰-)()(x yd x y F e证明：""⇒设μ=)(x y μ为方程的积分因子，x y t =，则2x y dt d x-=∂∂μμ,x dt d y 1μμ=∂∂（5）由(1)得 x N y M ∂∂-∂∂=dt d x M xyN x y μμ)1()(12--∴x M x Ny xNy M +∂∂-∂∂2=dt d x y μμ)(1-≡)(x y F∴x N yM ∂∂-∂∂=)(x y F 12)(-+x M x Ny 为方程具有形如)(xy μ积分因子的必要条件. ""⇐ 若x M x Ny x Ny M +∂∂-∂∂2≡)(x y F ,取μ=⎰-)()(xyd x y F e则有x N y M ∂∂-∂∂≡)(xy F 12)(-+x M x Ny 即x N Ny xy F xy MxF yM ∂∂+≡+∂∂)()(,两边乘以μ且由（5），得μμμ)(x N y M y M x N∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 即y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)(μ⇒μ为原方程的积分因子.从而得证. 结论5：假设（1）式中),(y x M 和),(y x N 满足关系x N y M ∂∂-∂∂=)()(y Mg x Nf -，其中)(),(y g x f 分别为x 和y 的连续函数，则方程（1）的积分因子为:⎰⎰+=dyy g dx x f )()(exp(μ）证明：由),(y x M 和),(y x N 存在关系得)()(x Nf x Ny Mg y M +∂∂=+∂∂两边同乘以μ，得⎰⎰+dy y g dx x f )()(exp(）)]([y Mg y M +∂∂=⎰⎰+dy y g dx x f )()(exp(）)]([x Nf x N +∂∂从而y M ∂∂)(μ=x N ∂∂)(μ根据定义3知⎰⎰+=dyy g dx x f )()(exp(μ）为方程（1）的积分因子.结论6：变量分离方程0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 有积分因子)()(1x P y N =μ.证明：用)()(1x P y N =μ乘以变量分离方程两端，得0)()()()(=+dy y N y Q dx x P x M这个方程是恰当方程，因此变量分离方程的积分因子为)()(1x P y N =μ结论7：设函数)(xy f +)(xy g 连续可微且)(xy f ≠)(xy g ，则方程 0)()(=+dy xy xg dx xy yf有积分因子1)])()([(--=xy g xy f xy μ证明：令xy u =，则原方程可化为)()]()([=+-du u g dx x u g u f u两边乘以1)])()([(--=xy g xy f xy μ，得0)]()([)(=--du u g u f u u g x dx这是一个恰当微分方程，因此原方程有积分因子1)])()([(--xy g xy f xy∴得证.例题例1求()20y x dx xdy --=的积分因子． 解 因为2M y x =-，N x =-，且1M y ∂=∂，1N x ∂=-∂，则2M Ny x N x ∂∂-∂∂=-， 于是积分因子为22dx xe x μ--⎰==．例2 求()()cos sin sin cos 0y x x x dx y x x x dy -++=的积分因子．解 因为cos sin M y x x x =-，sin cos N y x x x =+，且1M Ny xM ∂∂-∂∂=-， 于是积分因子为(),dyyx y e e μ⎰==．例3求方程()()3223322223230x x y y y dx y xy x x ++-+++-=的积分因子．解 因为322323M x x y y y =++-， 322223N y xy x x =++-，且()12M N N M y x x y -⎛⎫∂∂--=- ⎪∂∂+⎝⎭，只与x y +有关，于是有积分因子 ()()22,d x y x y x y ex y μ-++⎰==+参考文献[]1王高雄, 朱思铭，周之铭，王寿松，李艳会.常微分方程（第三版）［M ］.北京：高等教育出版社，2006.[]2王兴涛.常微分方程［M ］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2003. []3丁同仁.常微分方程基础［M ］.上海：上海科学技术出版社，2003.。