阶线性微分方程的研究与应用
摘要：本文分析了一阶线性微分方程的几种初等解法类型以及应用，总结出了这些不同类型方程可借助变量变换或积分因子化成变量分离方程和恰当方程两种类型，从而归纳了一阶微分方程的求解问题以及应用领域。
矢键i司：变量变换积分因子变量分离方程恰当方程
引言
对于一阶微分方程的初等解法，通常我们把他们归结为方程的积分问题，虽然一般的一阶方程没有初等解法，但是对于一些有限的有初等解法的类型，它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分，因此，掌握这些类型方程的解法还是有重要实际意义的，下面我们就对这些类型方程的解法一作以总结。
微分方程
微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的尖系式，形如
般)”
的方程，称为一阶线性微分方程。
1、变量变换方法
形如的方程，称为变量分离方程，这里的(1・1) f(x))g(y)分别x, y的连续函数. 如果g(y) 土0,我们将(1・1)改写成二f(x)dx,两边积分得，gCy)
(1-2)
其中c任意常数。
例1求方程
£=pa)y
的通解，其中P(X)是X的连续函数。
解将变量分离，得到
—=p(x)dx y
两边积分，即得
In |y|= / p(x) dx+ C 这里c是任意常数，由对数定义，即有
lyl y=
g/ p(x)dx+c 土gCgJ p(x)dx
求解方程生一¥ dx y
将变量分离，得到
y d y=・x d x,
两边积分，即得
因而，通解为
这里c是任意正常数。
或者解出y,写出显函数形式的解
y=
dy y | . y
例3求解方程〒=-+tan- dx X X
y dy du
解这是齐次微分方程，以・二u及子二X —+U代入，则原方程变为
K dx dx
du I
A+u=u+anu
du tan u
dx X
将上式分离变量，即有
cot udu =—
x
两边积分，得到
n I sm U1 = n I xl +c,
这里F是任意常数，整理后得到原方程的通解为
例4 求方程X+2jxy=y (x<0)
y 以一P及二曙X半+ (LI代入，则原方程变为dx
临甥P
(1-3)
分离变量，
du dx
两边积分，得到(1-3)的通解
Jp- = In(-x) + c 于是
p = In(-x) + c .2
(In (・x)+c>0)
其中c是任意常数。
即得原方程的通解
y = X In C-x) + c 12
(ln(=x) + c > 0)
及解
y=0 (in (=x) + c < 0
解将方程改写为半
dx
2、常数变易法
例
1求方程空二丄访的通解。
dx 2x=y A
解 原方程不是未知函数y 的线性微分方程，但我们可将它改写为
dx 2x - y2
dy y dx2
把x 看作未知函数，y 看作自变量，首先，求出齐次线性微分方程
dx2
爲二尹
的通解为
其次，利用常数变易法求非齐次线性微分方程(1)的通解。
把
c 看成cCy ), 微分⑵'得到
代入(1)，得到
dy
积分之，即可求得
从而，原方程的通解为
X 于 2(E - In II y II)
这里的c 为任意常数。
3、 积分因子法
例1 求解方程y d x+(y ・x)d y=0.
A A JV nil
dx dy
y2 + 2c(y)y,
----- ,N=y-x,—— 1, — = — 1，方程不是恰当的°
3yox
___ 3N_
因为a y#dx二一■只与y有尖，故方程有只与y有尖的积分因子y
J（-訓y
以p = w乘方程两边，得到
Ydx—xdy dy
因而，通解为
一阶微分方程的应用
一般来说，用常微分方程去解决某些实际问题的过程分以下三个步骤：l、建立方程对所研究的问题，根据已知定律或公式以及某些等量尖系列出微分方程和相应的初值条件
n、求解方程
m、分析问题
通过已求得的解的性质，分析实际问题。
应用一：等角轨线
求这样的曲线或曲线族，使得它与某已知曲线族的每一条曲线相交成给定的角度. 这样的曲线称为己知曲线的等角轨线•当所给定的角为直角时，等角轨线就称为正交轨线•等角轨线在其它很多学科（如天文、气象等）中都有应用•下面就来介绍求等角轨线的方法.
应用二：动力学问题
前面已经说过，动力学的基本定律是牛顿第二定律fsa,这也是用微分方程来解决动力学的基本矢系式，的右端明显地含有加速度a，a是位移对时间的二阶导数•列出微分方程的矢键就在于找到外力f和位移及对时间的导数一一速度的尖系•只要找到这个尖系，就可以由f=ma列出微分方程了・
在求解动力学问题时，要特别注意力学问题中的定解
条件，如初值条件等.
例2物体由高空下落，除受重力作用外，还受到空气阻力的作用，在速度不太大的情况下(低于音速的4/5),空气阻力可看做与速度的平方成正比•试证明在这种情况下，落体存在极限速度
V_1。
解设物体质量为m空气阻力系数为k，又设在t时刻物体的下落速度为V，于是在时刻物体所受的合外力为
f=mg-k
这里，建立的坐标系，使得重力m前向向下，与运动方向一致，空气阻力方向向上，与
运动方向相反。
从而，根据牛顿第二定律可列出微分方程
唸F ■加
因为是自由落体，所以有
v(0)= 0
解得上式得
积分得
即可求出V的大小。
应用三：光学问题
例1抛物线的光学性质车灯的反射镜面一■旋转抛物面解如图设旋转轴0X轴光源在(0,0)
In 11+11= In 心
,
V/ OMNHNMR,
.巾 n/OMN 二伽厶MR ‘ tanZQMH=
= r
1—— xy tan/MMR 二亠
i y
得微分方程yy+2xyLy=0,即
分离变量
dx
tl+d 町士血帝一 I
tdt djc
z
积分得
L:y=y(x)设M(x, y )为上任一点,MT 为切线，MN 为法线,
平方化简得
所求旋转轴为0X轴的旋转抛物面方程为
以上我们逐一分析、归纳出了一阶微分方程的初等解法，通过总结，我们会发现这几种类型的方程可以借助变量变换或积分因子联系起来，最终都可以化为变量分离方程或恰当方程。
这样，我们以后遇到类似的方程时，利用上面总结的方法就能迎刃而解了。