第1节黄金分割
一、兔子问题和斐波那契数列
1.兔子问题
问题与解答
意大利数学家斐波那契（L.Fibonacci，1170-1250）在《算盘书》（1202年）中曾经收录一个有趣的民间数学问题——兔子问题，叙述如下：
设初生的兔子一个月以后成熟，而一对成熟兔子每月会生一对兔子。

假设每次生的一对兔子都是一雌一雄。

且所有的兔子都不病不死，那么，又发一对初生兔子开始，12个月后会有多少对成熟兔子呢？
我们可以一个月一个月地往下数来求出答案。

第1个月有1对初生兔子；第2个月有1对成熟兔子；第3个月有1对成熟兔子和1对初生兔子；第4个月有两对成熟兔子和1对初生兔子；第5个月有3对成熟兔子和两对初生兔子；第6个月有5对成熟兔子和3对初生兔子；等等。

这样一直数到第13个月，知道有144对成熟兔子，这就是答案。

现在从第1个月后起，把每个月的成熟兔子的对数列出：
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144
这就是即将介绍的“斐波那契数列”的前12项。

“兔子问题”的另外一种提法是：
第1个月是一对成熟兔子，类似繁殖；到第12个月时，工有多少对兔子？
这个问题的条件与上一个问题不同，第1个月就已经是一对成熟的兔子了。

这个问题的要求也与上一个问题不同，不是问“到第12个月后”，而是问“到第12个月时”；不是问“有多少对成熟兔子”，而是问“共有多少对兔子”。

这次解决问题时，我们把“一个月一个月地数”的办法，换成“列表”的办法。

简单起见，把初生兔子叫做“小兔子”；把成熟兔子（能生小兔子的兔子）叫做“大兔子”。

于是列出下面的表框后，一列一列地往表里填数。

ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ月
份
1123581321345589144大
兔
对
数
小
01123581321345589兔
对
数
这个过程看起来似乎与上面“一个月一个月地数”的办法没有什么两样，但是由于表格的优点，很快就会发现规律，大大加快了填表的速度。

我们会发现如下三条规律：第一，每个月小兔子的对数，都等于上个月大兔子的对数，这是因为只有大兔子才能生小兔子；第二。

每个月大兔子的对数，等于上个月大兔子对数与小兔子对数的和，这是因为上个月的大兔子到这个月还是大兔子，上个月的小兔子到这个月长成了大兔子；第三，每个月大兔子的对数，等于上个月大兔子对数与上上个月大兔子对数之和，这是因为上上个月大兔子的对数，就是上个月小兔子的对数。

发现这些规律以后，便可以机械地向右延伸这个表格，速度就大大加快了。

这是“列表”及“寻找规律”带来的好处。

可以很快得到，到第12个月时有大兔子144对，小兔子89对，共有兔子144+89=233对。

2. 斐波那契数列
1）递推公式
用表示第n个月大兔子的对数，则根据上面找到的规律，有二阶递推公式
等差数列公式
（其中a与d是常数）
是一阶递推公式。

【思考题】请构造一个三阶递推公式。

2）斐波那契数列
令n=1,2,3，…依次写出，就是
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377，……
这就是我们从“兔子问题”得到的数列，称为“斐波那契数列”。

其中的任意一个数，都叫“斐波那契数”。

2、相关的问题
斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来的，如果它在其他方面没有应用，就不会有强大的生命力。

发人深省的是，斐波那契数列确实在许
多问题中出现。

1. 跳格游戏
如图，一个人站在“梯子格”的起点处向上跳，从格外只能进入第一格，在格中，每次可向上跳一格或两格，问：可以用多少种方法，跳到第n格？
解：设跳到第n格的方法有种。

由于他跳入第1格只有一种方法；跳入第2格，必须先跳入第1格，所以也只有一种方法，从而
能一次跳入第n格，只有第n-1和n-2两格，跳入第n格的方法数是跳入第n-1格的方法数与跳入第n-2格的方法数之和。

即。

综上得递推公式（n=3,4,5，……）
容易知道，跳格数列就是斐波那契数列。

1,1,2,3,5,8,13,21,34，……
2. 连分数
不是一个普通的分数，而是一个分母上有无穷多个“1”的繁分数，我们通常称这样的分数为“连分数”。

上述连分数可以看做是中，把x的表达式反复代入等号右端得到的。

例如，第一次代入得到的是
反复迭代，就得到上述的连分数
这一全部由1构成的连分数，是最简单的一个连分数。

通常，求连分数的值，如同无理数的值一样，常常需要求它的近似值。

如果把该连分数从第n条分数线截住，即把第n+1条分数线上、下的部分都删去，就得到该连分数的第n次近似值，记作。

对照可算得
发现规律后可以改一种算法，直接由前一个近似值，推算下一个近似值：
例如
顺序排起来，这个连分数的近似值位次为
3. 黄金矩形
1）定义：一个矩形，如果从中截去一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长之比，与原矩形的一样（即剩下的矩形与原矩形相似），则称该矩形为黄金矩形。

黄金矩形可以用上述方法无限地分割下去。

2. 试求黄金矩形的宽与长之比（也称为“黄金比”）。

解：设黄金比为x，则有。

将变形为，解得，其正根为。

称为“黄金比”。

3）黄金矩形与斐波那契数列的联系
为讨论黄金矩形与斐波那契数列的联系，我们把黄金比化为连分数，去求黄金比的近似值。

化连分数时，沿用刚才“迭代”的思路，先把等号右侧设法化出一个与等号左侧相同的表达式，再对等号右侧的这个表达式进行“反复迭代”：
反复迭代，得
它与我们上段中研究的连分数一样。

因此，黄金比的近似值写成分数表达的数列也是，其分子、分母都是由斐波那契数列构成，且这一分数数列的极限就是刚刚定义的黄金比的值。

3、黄金分割
1.定义：把任一线段分割成两段，使，如图。

这样的分割叫黄金分割，这样的比值也叫黄金比。

2. 求此黄金比
解：设此黄金比为x，不妨设全段长为1，则大段长为x，小段长为1-x。

故有，即。

解得，其正根为，恰是刚才的黄金比。

所以，这两个黄金比是一回事，故用同一个名称。

3. 黄金分割的尺规作图
设有线段AB，作BD⊥AB，且BD=AB，连接AD。

作⊙D（DB）交AD于E，再作⊙A（AE）交AB于C，如图。

则,C即为AB的黄金分割点。

证：不妨令
，证毕。

4. 黄金分割、黄金比的美
黄金分割之所以称为“黄金”分割，黄金比之所以称为“黄金”，是比较这一“分割”和这种“比”在视觉上给人极大的愉悦感，非常难得，如黄金一样珍贵。

黄金比，是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一。

认为它表现了恰到好处的“和谐”。

下面举一些例子：
1）人体各部分的比
人体是美的，这是因为人体的许多许多部分存在黄金分割、黄金比。

肚脐分割头和脚；印堂分割口和头顶；肘关节分割肩和中指尖；膝盖分割髋关节和足尖等都是黄金分割。

2）著名建筑物各部分的比
如埃及的胡夫金字塔，塔高137m与底边长277m之比为0.629；古希腊的巴特农神殿，其大理石柱廊的高度占整个神殿高度的0.618，都是黄金比的近似值。

3）美观矩形的宽长比
以黄金比为宽长比的矩形称为黄金矩形，给人和谐、愉悦的美感，
常常在建筑、家具中采用。

如多数国家的国旗，均采用黄金矩形的矩形。

4）风景照片中地平线位置的安排
风景照片中地平线的位置，并不是安排在中间最好；往往是安排在黄金分割的位置比较美观。

当然，有上、下两种安排，都可以构成黄金分割。

（如图，书上P52，图2.1.8，照片是把海平线安排于“下”的一种。

）
5）正五角星的线段比
据数学史家考证，最早就是从正五角星的线段比发现了黄金比。

如图。

6）其他
舞台报幕者的最佳站位，在整个舞台宽度的0.618处较美。

小说、戏剧的高潮出现，在整个作品的0.618处较好。

4、优选法
1.华罗庚的。