《解三角形》常见题型总结1、1正弦定理和余弦定理1、1、1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1 在ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c、【点拨】本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。
解：【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。
例2在ABC 中，已知c=+，C=30，求a+b的取值范围。
【点拨】此题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的三角函数，然后再求解。
解：∵C=30，c=+，∴由正弦定理得：∴a=2(+)sinA,b=2(+)sinB=2(+)sin（150-A）、∴a+b=2(+)[sinA+sin(150-A)]=2(+)2sin75cos(75-A)= cos(75-A)① 当75-A=0，即A=75时，a+b取得最大值=8+4；② ∵A=180-(C+B)=150-B,∴A＜150，∴0＜A＜150,∴-75＜75-A＜75，∴cos75＜cos(75-A)≤1，∴＞ cos75==+、综合①②可得a+b的取值范围为(+,8+4>考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC中，tanB=tanA，判断三角形ABC的形状。
【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC的形状。
解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得：,即，，、∴为等腰三角形或直角三角形。
【解题策略】“在△ABC中，由得∠A=∠B”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B或∠A+∠B=”的导出过程。
例4在△ABC 中，如果，并且B为锐角，试判断此三角形的形状。
【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC的形状。
解：、又∵B为锐角，∴B=45、由由正弦定理，得,∵代入上式得：考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式例5在△ABC中，求证、【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将转化为、证明：由正弦定理的变式得：同理【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。
例6在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，C=2B，求证、【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用、证明：【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。
考察点4：求三角形的面积例7在△ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，若,求△ABC的面积S、【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA 及边c，再求面积。
解：由题意，得∴B为锐角，由正弦定理得【解题策略】在△ABC中，以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到，要记准、记熟，并能灵活应用，例8已知△ABC中a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，△ABC的外接圆半径为12，且,求△ABC 的面积S的最大值。
【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。
解：【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相结合，通过讨论三角函数值的取值，求得面积的最大值。
考察点5：与正弦定理有关的综合问题例9已知△ABC的内角A,B极其对边a,b满足求内角C本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识，考察运算能力、分析能力和转化能力。
解法1：（R为△ABC的外接圆半径），又∵A,B为三角形的内角，当时，由已知得综上可知，内角、解法2：由及正弦定理得，，，从而即又∵0＜A+B＜π，【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法，熟练运用三角恒等变换公式是解题的关键。
例10在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c,且c=10,，求a,b及△ABC的内切圆半径。
【点拨】欲求边，应将已知条件中的边角统一，先求角再求边。
解：变形为又∴△ABC是直角三角形。
由解得【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。
------------------------------------------『易错疑难辨析』易错点利用正弦定理解题时，出现漏解或增解【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。
例1（1）在△ABC中，（2）在△ABC中，（1）由正弦定理得（2）由正弦定理得【点拨】（1）漏解，由（0＜B＜180）可得因为b＞a,所以两解都存在。
（2）增解。
由（0＜B＜180）可得，因为b＜a,根据三角形中大边对大角可知B＜A,所以不符合条件，应舍去。
【正解】（1）由正弦定理得又∵0＜B＜180（经检验都符合题意）（2）由正弦定理得又∵0＜B＜180∵b＜a,根据三角形中大边对大角可知B＜A，不符合条件，应舍去，。
易错点忽略三角形本身的隐含条件致错【易错点解析】解题过程中，忽略三角形本身的隐含条件，如内角和为180等造成的错误。
例2在△ABC中，若求的取值范围。
【错解】由正弦定理得【点拨】在上述解题过程中，得到了后，忽略了三角形的内角和定理及隐含的均为正角这一条件。
【正解】由正弦定理可知∴0＜B＜45，＜＜1、∴1＜＜3，故1＜＜3、『高考真题评析』例1（xx广东高考）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若则【命题立意】本题主要考察正弦定理和三角形中大边对大角的性质，解题的关键是确定角C的值。
【点拨】在△ABC中，又，故，由正弦定理知又a＜b，因此从而可知，即。
故填1、【名师点评】解三角形相关问题时，应灵活掌握边角关系，实现边角互化。
例2（xx北京高考）如图1-9所示，在△ABC中，若则【命题立意】本题考查利用正弦定理解决三角形问题，同时要注意利用正弦定理得到的两解如何取舍。
【点拨】由正弦定理得，∵C为钝角，∴B必为锐角，故填1【名师点评】在范围内，正弦值等于的角有两个，因为角C为钝角，所以角B必为锐角，防止忽略角的范围而出现增解ABC1图1-9例3（xx湖北高考）在△ABC中，则等于（）【命题立意】本题考查正弦定理及同角三角函数基本关系式，解题的关键是确定角B的范围。
【点拨】由正弦定理得∵＞，，∴B为锐角。
，故选D【名师点评】根据三角形性质大边对大角准确判断角B的范围，从而确定角B的余弦值。
例4（xx天津高考）在△ABC中，（1）求证；（2）若，求的值。
【命题立意】本题主要考察正弦定理、两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，同时考察基本运算能力。
证明：（1）在△ABC中，由正弦定理及已知，得。
于是即因为＜B-C＜，从而B-C=0，所以B=C 、解：（2）由和（1）得，故又0＜2B＜，于是从而，。
所以【名师点评】（1）证角相等，故由正弦定理化边为角。
（2）在（1）的基础上找角A与角B的函数关系，在求2B的正弦值时要先判断2B 的取值范围。
1、1、2 余弦定理『典型题剖析』考察点1：利用余弦定理解三角形例1：已知△ABC中，求A，C和。
【点拨】解答本题可先由余弦定理列出关于边长的方程，首先求出边长，再由再由正弦定理求角A，角C，也可以先由正弦定理求出角C，然后再求其他的边和角。
解法1：由正弦定理得，解得或6、当时，当时，由正弦定理得解法2：由＜，＞，知本题有两解。
由正弦定理得，或，当时，，由勾股定理得：当时，，∴△ABC为等腰三角形，。
【解题策略】比较两种解法，从中体会各自的优点，从而探索出适合自己思维的解题规律和方法。
三角形中已知两边和一角，有两种解法。
方法一利用余弦定理列出关于第三边的等量关系列出方程，利用解方程的方法求出第三边的长，这样可免去判断取舍的麻烦。
方法二直接运用正弦定理，先求角再求边。
例2：△ABC中，已知，求A，B，C【点拨】解答本题可由余弦定理求出角的余弦值，进而求得各角的值。
解法1：由余弦定理得：。
因为所以。
因为所以因为所以解法2：由解法1知，由正弦定理得，因为＞，所以B＞C，所以角C应该是锐角，因此。
又因为所以【解题策略】已知三角形三边求角，可先用余弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止增解或漏解。
考察点2：利用余弦定理判断三角形的形状例3：在△ABC中，已知且，试判断△ABC的形状。
【点拨】本题主要考察利用正弦定理或余弦定理判断三角形的形状，从问题的已知条出发，找到三角形边角之间的关系，然后判断三角形的形状。
解法1：（角化边）由正弦定理得，由，得。
又由余弦定理的推论得。
即。
又为等边三角形。
解法2：（边化角）又，又∵A与B均为的内角，∴A=B、又由，得，，即由余弦定理得，而0＜C＜180，又为等边三角形。
【解题策略】已知三角形关系中的边角关系式判断三角形的形状，有两条思考路线：一是化边为角，求出三个角之间的关系式；二是化角为边，求出三条边之间的关系式，种转化主要应用正弦定理和余弦定理。
例4：已知钝角三角形ABC的三边求k的取值范围。
【点拨】由题意知△ABC为钝角三角形，按三角形中大边对大角的原则，结合a,b,c的大小关系，故必有C角最大且为钝角，于是可有余弦定力理求出k的取值范围。
解：＞0，＜，＜，解得-2＜k ＜6、而k+k+2＞k+4，∴k＞2、故2＜k＜6、故k的取值范围是【解题策略】应用三角形三边关系时，应注意大边对大角。
考察点3：利用余弦定理证明三角形中的等式问题例5在中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，（1）求证（2）求证【点拨】本题考察余弦定理及余弦定理与二倍角公式的综合应用。
证明：（1）左边右边，故原式成立。
（2）左边右边，故原式成立。
【解题策略】（1）小题利用余弦定理将角化为边。
（2）小题先降幂，然后利用余弦定理将角化为边。
例6在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c。
（1）求证（2）求证【点拨】本题考察余弦定理及余弦定理与两角和差正弦公式的综合应用证明：（1）由得；。
又∵∴故原式成立。
（2）左边右边。
故原式成立。
考察点4：正余弦定理的综合应用例7：在中，已知【点拨】本题主要考察正、余弦定理的综合应用。
解：∵a＞0,c＞0,由正弦定理得或、由知a＞b,若则与已知矛盾。
【解题策略】本题边未知，已知一角，所以考虑使用余弦定理得a，c的关系，再结合正弦定理求注意特殊角的三角函数值，如：例8：设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求A的大小；（2）求的值。
【点拨】本题考察余弦定理，和角、差角的正弦公式的综合应用。
解：（1）由余弦定理得所以（2）。
例9：设得到内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求边长a；（2）若的面积S=10，求的周长。