（2）沿与水平面成30°倾角的微面上的全应力和正 应力。
l30o 1/ 2, m30o 3 / 2
px xl xym py xyl ym
px
2 2
30, py
1 2
0
y
C
0
30
O
° 0
0
B 45°
0
x
A
n l2 x m2 y 2lm xy
n
1 2
30
例 2.4.1
例2.4.1：当应变为常量时，ex =a, ey =b , gxy =c ，试求对应的位移分量。
x2 y2
f
(x)
(2)将 x代y 入平衡微分方程第二式
xy
3q0 h3l
x2 y2
f
(x)
y
y
xy
x
fy
0
y
2q0 h3l
xy3
f
(x) y
g(x)
例 2.3.1
例2.3.1：在负载结构中，某点O处的等厚平行四面体各面的 受力情况如图所示（平面应力状态）。试求（1）主应力的 大小及方向（2）沿与水平面成30°倾角的微面上的全应力 和正应力。
先求应力分量 x , y , xy ：
y
C
0
30
O
° 0
0
B 45°
0
x
A
CB面上
y 0, xy 0
例 2.3.1
先求应力分量 x , y , xy ：
AB面上: 方向向量:
2
2
l45o 2 , m45o 2
y
C
0
30
O
° 0
n lm(σ y σx ) (l 2 m2 ) xy
f2x by df2x c
x
dx
f2x v0 c x
u u0 ax y, v v0 by (c )x
例 2.6.1
q
试列出图示问题的边界条件。
h
(1) x 0,
hx a
ux0 0, vx0 0
y
(2) x a, l 1, m 0; fx 0, fy 0
l( x )xa m( xy )xa fx m( y )xa l( xy )xa f y
u a, v b, v u c x y x y
u f1y ax, v f2x by
u v c
y x
u , v c
y
x
例 2.4.1
例2.4.1：当应变为常量时，ex =a, ey =b , gxy =c ，试求对应的位移分量。
u f1y ax, v f2x by
u
面应力分量 x , y , xy ，且它们不沿z方向变化，仅
为x、y的函数。可以认定此问题是平面应力问题。
图 2-14
例 2.1.3
如图所示的几种受力体是否是平面问题？若是， 则是平面应力问题，还是平面应变问题？
qq z
qqzq
oo o xx o x
o
zz
z
yy y
y
qqqzy
平非面平应面力变问问题题
Oz
x
fy fx
fy
fy fx
fx
y
fx
fy fy fx
yx
x
xy
y
x y yx xy
习题 1-8
• 试画出图1-5中的三角形薄板的正的面力和 体力的方向。
x
fx
fy
fx
fx
fy
fy
fy fx
y
Oz
第2章 题库
✓例题 ✓习题
第2章 例题
➢ §2.1 ➢ §2.2 ➢ §2.3 ➢ §2.4 ➢ §2.6 ➢ §2.7 ➢ §2.8 ➢ §2.9 ➢习题课
y
f1y ax df1y
ydyຫໍສະໝຸດ v cxf2x by df2x c
x
dx
例 2.4.1
例2.4.1：当应变为常量时，ex =a, ey =b , gxy =c ，试求对应的位移分量。
u f1y ax, v f2x by
f1y ax df1y
y
dy
f1y u0 y
面力的符号规定：当面力的指向沿坐标轴的正方向 时为正，沿坐标轴的负方向时为负。
习题 1-4
• 应力和面力的符号规定有什么区别？试分别画出 正面和负面上的正的应力和正的面力的方向。
y y yx 正面
x
xy x f y
xy
x
fx
yx
负面
y
fy fx fy
fx
fy
fx
习题 1-7
• 试画出图1-4中矩形薄板的正的体力，面力 和应力的方向。
例 2.2.1
例2.2.1：如图所示单位宽度薄板悬梁，跨度为l，其
上表面承受三角形分布载荷作用，体力不计。试根据
材料力学中的应力表达式 方程导出另两个应力分量。
x
2q0 h3l
x3
y
，由平衡微分
解:(1)将 代x 入平衡微分方程第一式
x
2q0 h3l
x3 y
x
x
yx
y
fx
0
xy
3q0 h3l
例 2.1.1
➢例
如果某一问题中， z zx zy 0 ，只存在
平面应力分量 x , y , xy ，且它们不沿z方向变化， 仅为x、y的函数，试考虑此问题是否就是平面应力
问题？
答：平面应力问题，就是作用在物体上的外力，约束
沿 z 向均不变化，只有平面应力分量 x , y , xy ，且
习题 1-4
• 应力和面力的符号规定有什么区别？试分别 画出正面和负面上的正的应力和正的面力的 方向。
答：应力的符号规定：当作用面的外法线指向坐标 轴的正方向时（即正面时），这个面上的应力（不 论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正， 沿坐标轴的负方向为负。相反，当作用面的外法线 指向坐标轴的负方向时（即负面时）这个面上的应 力就以沿坐标轴的负向为正，正向为负。
仅为 x，y 的函数的弹性力学问题，因此，此问题是
平面应力问题。
例 2.1.2
➢（本章习题2－1）
如图2－14，试分析说明，在不受任何面力作 用的空间体表面附近的薄层中，其应力状态接近 于平面应力的情况。
答中，：可在以不受认任为何在面该力薄作层用的的上z 空下O间表y 体面x表都面无附面近力的，薄且层在 薄层内所有各点都有 z zx zy 0，只存在平
0
B 45°
0
0
1 2
(0
σx)
x
A
x 2 0
例 2.3.1
（1）求主应力的大小及方向
x 2 0 , y 0, xy 0
1 2
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
tan 1
1 xy
x
y
C
0
30
O
° 0
0
B 45°
0
x
A
1,2 (1 2) 0
1 arctg( 2 1)
例 2.3.1
《弹性力学》习题库
第1章 第2章 第3章
第1章 习题
✓1-2 ✓1-4 ✓1-7 ✓1-8
习题 1-2
• 一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否 作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质 地基能否作为理想弹性体？
答：一般的混凝土构件可以作为理想的弹性 体，而钢筋混凝土构件不可以作为理想的弹 性体；一般的岩质地基不可以作为理想弹性 体，而土质地基可以作为理想的 弹性体。