( )
( )
nk x 2 E n ,k = 2 n k2 2 + b 2 h 2 bhπ ， α x = nπh , β x = kπb n k b h
程(3.5)可写成：
( )
( )
( )
[
]
( )
[
]
(3.7)
同理, 由 2～12 边的转角协调可以得到类似方程(3.7)的 11 组方程(3.8)～(3.18)：
箱型结构的解析分析
沈建华
（ 广东省水利水电科学研究院，广州, 510610）
摘 要：本文从弹性薄板理论出发，将箱型结构分为六块相互约束的简支薄板。每一块板在板中承受局部荷载，
在四边承受待定的分布弯矩。通过板与板的边界转角协调分析，求解出每块板四边所受的分布弯矩，从而得到任 意荷载作用下箱型结构的解析解。 关键词：箱型结构 协调变形 解析解
9,k
∑ [L
]
(3.5)
293
mn z 2 E m,n = 2 m n2 2 + a 2 b 2 abπ 式中： α z = mπb , β z = nπa m n a b
km y 2 E k ,m = 2 k m2 2 + h 2 a 2 haπ ， (3.6) α y = kπa , β y = mπh k m h a mπx 前面的系数相等，则方 取前有限 N 项级数， m = 1, Λ , N ; n = 1, Λ , N ; k = 1, Λ , N ，并取两边 sin a
∑ 2D(mπ ) shα
2
∞
L1, m a 2
∑
(2.2)
∑
∞
∑
Wq( x, y =
∑∑ Aq
m =1 n =1
∞
m ,n
sin
nπy mπx sin a b
(2.3)
291
L1, m =
式中:
αm =
mπb a nπa βn = b
(2.4)
2 a 2 L2, m = a 2 L3, n = b 2 L4, n = b
m =1

1
y m
1, m
y +θ2 βm L5 , m −
( ) ]
0
= −∑∑ Az 0 m , n
m =1 n =1
∞
∞
nπ mπx ∞ ∞ sin − ∑∑ Ay 0 k , m b a k =1 m =1
mπx m − L10, k (− 1) E ky, m sin a k =1 kπ mπx sin h a
j =1 4
(i=1…4)
(3.1)
式中： ϕ z i , j 为 j 边弯矩作用而在 i 边产生的转角， ϕq z i 为外荷载作用在 i 边产生的转角。 同理，顶板、左侧板、右侧板、前侧板、后侧板对应四边的转角为：
ϕ iz = ∑ ϕ iz, j +ϕ qz,i
j =5 8
(i = 5 Λ 8)
ϕ ix = ∑ ϕ ix, j +ϕq ix
j
ϕ ix = ∑ ϕ ix, j +ϕq ix
j
ϕ iy = ∑ ϕ iy, j +ϕq iy
j
ϕ iy = ∑ ϕ iy, j +ϕq iy
j
(i, j = 3,7,9,11) (i, j = 4,8,10,12) (i, j = 9,10,1,5) (i, j = 11,12,2,6)
∂W ( x, y ) ∂W ( x, y ) , ,具体到 y=0,y=b, x=0,x=a 四条板边转角为： ∂y ∂x
式中:
∞ ∞ mπx nπ mπx + ∑∑ Aqm , n sin L3, n − L4, n (−1) m Em , n sin a b a m =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∂W1 ( x, y ) 2 b mπx = − + + ϕ 2 ( x) = θ α θ α ( ) ( ) sin L L ∑ 1, m 2 m 2, m 1 m ∑∑ ∂y 2 D m =1 a aD m =1 n =1 y =b ∞ ∞ nπ mπx mπx n m n ⋅ (−1) ( −1) + ∑∑ Aqm , n sin L3, n − L4, n (−1) Em , n sin b a a m =1 n =1 ∞ ∞ ∞ nπy a 2 ∂W ( x, y ) n − − + L L E ϕ3 ( y) = 1 ( 1 ) sin = ∑∑ 1, m 2, m ∑ m,n ∂x b 2 D n =1 x = 0 bD m =1 n =1 nπy ∞ ∞ mπ nπy + ∑∑ Aqm , n L3, nθ1 (β n ) + L4, nθ 2 (β n ) sin sin a b b m =1 n =1 nπy a ∞ 2 ∞ ∞ ∂W1 ( x, y ) n m L1, m − L2, m (−1) Em , n sin ϕ 4 ( y) = (−1) − = ∑∑ ∑ ∂x b 2 D n =1 x = a bD m =1 n =1 nπy ∞ ∞ mπ nπy + ∑∑ Aqm , n ⋅ (−1) m L3, nθ 2 (β n ) + L4, nθ1 (β n ) sin sin b a b m =1 n =1 1 1 chx θ1 ( x ) = − shx shx x 1 1 θ 2 (x ) = cthx − x shx mn Em , n = 2 2 2 m n 2 + π ab a 2 b2 ∂W1 ( x, y ) 2 ∞ ∞ b ∞ mπx ( ) ( ) = + + θ α θ α sin L L ∑ ∑∑ 1 , 1 2 , 2 m m m m ∂y a aD m =1 n =1 y = 0 2 D m =1
∫ ∫
∫ ∫
mπx a a mπx f 2 ( x) sin 0 a b nπy f3 ( y ) sin 0 b b nπy f 4 ( y ) sin 0 b
a 0
f1 ( x) sin
(2.5)
D 为板的刚度。 板的转角为：
ϕ1 ( x) =
1 前言
箱型结构在工程中应用相当广泛，比如土建中的箱型基础，水箱等。对于箱型结构，目前还 没有一套解析方法计算其内力与变形,一般按双向板来计算 或用有限元方法计算。按双向板计算 时比较简单，但无论是以简支或以固支作为其边界条件都同实际情况差距较大，而有限元方法可 以计算各种复杂箱型结构，但存在建模比较麻烦，实际应用不方便的缺点。 对于单块的矩形简支板，无论是板中承受 荷载或板边承受分布力矩，在薄板理论中有用 级数表示的解析解
[
]
[
]
[
]
[
[
]
[
]
(2.6)
2.7)
3 箱形结构的变形
一箱形结构如图 2 所示，承受外荷载作用。解除 12 条边的约束代以板边弯矩， （由于板边的剪力与板 面内的张力对简支板的挠度不产生影响，在此不予考 虑。 ）于是箱形结构变为 6 块简支板，每块板中承受外 荷载，板四边承受分布弯矩，板与板之间刚性连接，转 角相互协调。假设 12 条边的弯矩为 Mi(i=1,2…12),其 正负方向规定如图 3。 图 2 箱形结构的 12 条边划分
将式(2.6)代入式(3.4)得到：
b ∑ − 2Dz [θ (α )L
m =1 ∞

1
z m
1, m
z +θ2 αm L2, m −
( ) ]
0
2 aDz 0 2 aDy 0
3, n
mπx m z − L4, n (− 1) E m + , n sin a
]
h ∑ − 2Dy [θ (β )L
292
图 3 箱形结构 6 块板之间的弯矩 图 3 中 Dx0 ， Dx1 ， Dy 0 ， Dy1 ， Dz 0 ， Dz1 分别为左侧板，右侧板，前侧板，后侧板，底板， 顶板的刚度。 3.1 板边转角 底板在外荷载和板边弯矩 M1, M2, M3, M4 的作用下，板四边的转角为
ϕ i z = ∑ ϕ z i , j +ϕq z i
z bθ α z bθ 2 α m hθ β y 2 N m+ n z L1,m + 1 m + 1 m L2,m − L3,n ( −1) n − L4,n (− 1) E m ,n ∑ 2 Dz 0 2 2 Dz Dy aDz 0 1 0 n =1 N N hθ β y 2 ∞ nπ m + 2 m L6,m + (− 1)n − ∑ Ay1k ,m kπ L11,k − L12,k (− 1) E ky,m = −∑ Az 0 m ,n ∑ 2 Dy1 aDy1 k =1 b h n =1 k =1
： (2.1)
W ( x, y ) = W1 ( x, y ) + W2 ( x, y ) + W3 ( x, y ) + W4 ( x, y ) + Wq ( x, y )
其中：
W1 ( x, y ) = mπ (b − y ) mπ (b − y ) mπ (b − y ) mπx − ch α m cthα m sh sin a a a a m =1 m ∞ L2, m a 2 mπy mπy mπy mπx − W2 ( x, y ) = ch α m cthα m sh sin 2 a a a a m =1 2 D (mπ ) shα m 2 ∞ L3, nb nπ (a − x ) nπ (a − x ) nπ (a − x ) nπy − ch W3 ( x, y ) = β n cthβ n sh sin 2 b b b b ( ) π β 2 D n sh n =1 n 2 ∞ L4, nb nπx nπx nπx nπy − W4 ( x, y ) = ch β n cthβ n sh sin 2 b b b b n =1 2 D (nπ ) shβ n