高一数学秋季班（教师版）教师日期学生课程编号08课型同步复习课题基本不等式教学目标1.掌握基本不等式的概念；2.掌握几个重要不等式；3.掌握比较法，综合法，分析法证明不等式的基本思路；4.掌握简单基本不等式的相关证明问题；教学重点1.掌握不等式的使用条件；2.掌握不等式的变形；3.掌握多次使用不等式的方法；教学安排版块时长1知识梳理10 2例题解析60 3巩固训练40 4师生总结10 5课后练习60一、基本不等式：1.若,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号2.（1）“积定和最小”：ab b a 2≥+⇔如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值2P ；（2）“和定积最大”：22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ⇔如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S 。

3.若,a b R +∈，2222a b a b ab ++≥≥ 加权平均》算术平均》几何平均二、均值不等式：若a 、b 为正数，则2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号变式：222()22a b a b ab ++≥≥ 推广：123,,,,n a a a a L 是n 个正数，则12na a a n+++L 称为这n 个正数的算术平均数，12n n a a a ⋅⋅⋅L 称为这n 个正数的几何平均数， 它们的关系是：1212n nn a a a a a a n++⋅⋅⋅+≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅，当且仅当12n a a a ===L 时等号成立。

知识梳理基本不等式一、简单基本不等式问题【例1】条件“0>a 且0>b ”是结论“ab ba ≥+2”成立的 条件。

【难度】★【答案】充分非必要条件【例2】已知正数y x ,满足12=+y x ，求yx 11+的最小值。

判断下述解法正确与否，若不正确，请给出正确的解法，若正确，则说明理由。

y x xyxy y x xy y x y x 112422221,2110,0+∴≥∴≥+=≥+∴>>ΘΘ的最小值为24【难度】★【答案】不正确，忽略了前两个小不等式中的取等条件，当时，即，取得最小值。

【例3】如果正数d c b a ,,,满足4==+cd b a ，那么（ ） （A ）d c ab +≤，且等号成立时d c b a ,,,的取值唯一 （B ）d c ab +≥，且等号成立时d c b a ,,,的取值唯一 （C ）d c ab +≤，且等号成立时d c b a ,,,的取值不唯一 （D ）d c ab +≥，且等号成立时d c b a ,,,的取值不唯一 【难度】★★ 【答案】A2244,44,2c d ab a b ab cd c d +⎛⎫≤+=⇒≤=≤⇒+≥⇒ ⎪⎝⎭两个不等式取等号时相等，且取值唯一。

223ab ba223b a 2a b 3b b 2a 2a b a b 2a 1+=+≥++=+++=+b a 2a b =22b ,12a ,a 2b -=-==例题解析【例4】设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（ ） A ．a+b+ab1≥22 B (a+b)(a 1+b1)≥4 C 22ab≥a+b D b a ab +2≥ab【难度】★★【答案】D ， A,B 显然满足，而C 22222222a b a b a b a b ab ab+++≥⇒≥≥+【巩固训练】1、若x> -1则x 取什么值时x+11+x 的值最小？最小值是多少？ 【难度】★【答案】X=0，最小值是12、若01x <<，01y <<，且x y ≠，则在22,2,,2x y xy x y xy ++中最大的一个是_____________。

【难度】★ 【答案】【x y +】二、不等式的最值问题【例5】若1y x 22=+，则xy 的取值范围 【难度】★ 【答案】11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【例6】已知1,0>>y x ，且2)1(=-y x ，则y x +2的最小值 。

【难度】★★【答案】5,()240,1,12211511x y x y x x y y y y -=⇒=⇒+=+-+≥--f f【例7】已知+∈R y x ,，且32=+y x ，则12121+++y x 的最小值为 。

【难度】★★ 【答案】23()()()()22111222,,232216.1,221663x y x y R x y x y x y x y ++++⎛⎫+∈+=⇔+++=⇒+⋅≥=== ⎪++⎝⎭由取等。

【例8】如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC 、BD 相交于O ，记△BCO 、△CDO 、△ADO 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则231S S S +的取值范围是 . 【难度】★★ 【答案】()2,+∞1331222//,22S S S S DO CO BO AO BO AOAD BC AOD COB BO AO S S S DO CO DO CO +∴∆∆∴=∴=+=+≥⋅=Q 相似与，BO AO BO DO O BD DO CO==当且仅当时，时，即为中点时取等；由题意得，不可能，所以等号不可以取。

【例9】设a>b>0，求的最小值。

【难度】★★【答案】 ，此时等号成立条件是即a=2b所以等号成立条件是，即a=4，此时b=2【例10】x>-1，当x 为何值时，112+++x x x 的值最小？最小值是多少？【难度】★)b a (b 16a 2-+22a 642b a b 16)b a (b 16=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≥-b a b -=+≥-+22a )b a (b 16a 16642a 642=≥22a 64a =【解析】Θ x>-1 ∴112+++x x x =11)1()1(2+++-+x x x =1121111=-≥-+++x x当且仅当x=0时取最小值1。

【例11】()222222111,,1,++x y z x y z x y z++=非零实数满足则的最小值是【难度】★★【解析】1的妙用，可以从局部和整体妙用1，这也是针对于这类问题的基本思路。

答案是9【例12】已知1101,1x x x+-p p 则的最小值是？ 【难度】★★ 【解析】()111111=+1=2+4,1112x x x x x x x x x x x -⎛⎫++-+≥= ⎪---⎝⎭当且仅当时取等号。

【例13】函数)0,0(,2>>+=b a bax xy 最大值与最小值分别为 。

【难度】★★ 【解析】211,00,0,022x y x y x y x y b b ax b ab ab ax ax x x ====≤=-≥+⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭f p 时，时，【例14】2211,,1,a b R a b a b a b +⎛⎫⎛⎫∈+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭已知且求的最小值。

【难度】★★2211112,2,8.a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+≥+≥∴+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 错误解法：一正二定三相等再次忽略。

22,22a b a b++≥≥正确解法，利用“平方均值算术均值”：222111111115222222a b a b a b a b a b ab ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥=≥=Q ，252∴最小值是【例15】设y x ,都是正数，且使y x k y x +=+，求实数k 的最大值。

【难度】★★【解析】k 最大值为√2，方法一，两边同时平方，不要忘记K 大于0.方法二，参变分离，利用平方均值。

【例16】110.na b c n a b b c c a ++≥---f f 设，求使不等式成立的最大正整数【难度】★★★ 【解析】()()(),00,0.1111a ,a b c a b b c a c c a b b c a b b c a b b c ---⎛⎫⎛⎫≤-+=-+-+⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦----⎝⎭⎝⎭f f f f f 因为所以，有题设的不等式可以做一下变形，把n 单独提取出来，得到如下的变形n 故n=4.【例17】已知0>>y x ，1=xy ，求yx y x -+22的最小值及相应的y x ,的值。

【难度】★★ 【解析】()22222626222,2,1,x y xy x y x y x y xy y x x y x y x y -++-+==-+≥-====---当且仅当【例18】已知0,0,0,()1,x y z xyz x y z >>>++=求()()x y y z ++最小值。

【难度】★★【解析】()()()12x y y z y x y z xz xz xz++=⋅+++=+≥【巩固训练】1、已知2<x ，则2332-+-x x x 的最大值为 ，此时=x 。

【难度】★【解析】最大值是-1，x=1 2、若)b a ,,0,0(,1≠>>=+为正常数，且b a y x ybx a ，则实数y x +的取值范围 。

【难度】★【答案】)2,a b ab ⎡+++∞⎣3、已知()y2,,*,230,.x y z R x y z xz ∈-+=则的最小值是【难度】★ 【解析】()32y219=63,344x z x z x y z xz xz z x +⎛⎫=++≥== ⎪⎝⎭当且仅当时取最小值。

4、已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y9=1，求x+y 的最小值. 【难度】★★【答案】利用“1的代换”,∵x 1+y 9=1, ∴x+y=(x+y)·(x 1+y 9)=10+y x x y 9+.∵x ＞0,y ＞0,∴yxx y 9+≥2yxx y 9•=6.当且仅当y x x y 9=，即y=3x 时，取等号. 又x 1+y9=1,∴x=4,y=12. ∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16.5、已知正数a,b,x,y 满足a+b=10,ybx a +=1，x+y 的最小值为18，求a,b 的值. 【难度】★★ 【解析】 x+y=(x+y)(y b x a +)=a+x ay y bx ++b=10+xay y bx +. ∵x,y ＞0,a,b ＞0， ∴x+y≥10+2ab =18，即ab =4. 又a+b=10， ∴⎩⎨⎧==8,2b a 或⎩⎨⎧==.2,8b a三、基本不等式的应用【例18】直角三角形周长为2，则该三角形面积的最大值为【难度】★★ 【答案】3-2√2。

64711 【例19】某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析每辆客车运营总利润y （单位：10万元）与运营年数)(N x x ∈为二次函数关系，则每辆客车运营多少年，其运营的年平均利润最大?并求最大年平均利润。