2019-2020年高考数学大题综合练习（二）1.已知函数22()2sin 2sin ()6f x x x π=--，x R ∈. （1）求函数()y f x =的对称中心；（2）已知在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()262B b c f aπ++=，ABC ∆的外接圆半径为△ABC 周长的最大值.【解析】()1cos 21cos 2()cos(2)cos 263f x x x x x ππ⎡⎤=----=--⎢⎥⎣⎦1cos 2sin 2cos 222x x x =+-12cos 2sin(2)26x x x π=-=-. （1）令26x k ππ-=（k Z ∈），则212k x ππ=+（k Z ∈）， 所以函数()y f x =的对称中心为(,0)212k ππ+k Z ∈；（2）由()262B b c f a π++=，得sin()62b c B aπ++=1cos 22b c B B a ++=，sin cos B a B b c +=+，sin sin cos sin sin A B A B B C +=+，sin sin cos sin A B B A B =+，又因为sin 0B ≠，cos 1A A -=，即1sin()62A π-=， 由0A π<<，得5666A πππ-<-<， 所以66A ππ-=，即3A π=，又ABC ∆3a A ==，由余弦定理得2222222cos ()3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-2223()()()44b c b c b c +≥+-+=，即6b c +≤，当且仅当b c =时取等号，所以周长的最大值为9.2.如图,在梯形ABCD 中,//,120AB CD BCD ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，AD CD BC CF ===，点M 是线段EF 的中点.（1）求证：EF ⊥平面BCF ；（2）求平面MAB 与平面FCB 所成的锐二面角的余弦值.【解析】（1）在梯形ABCD 中，∵//,,120AB CD AD BC BCD =∠=︒，∴60,120DAB ABC ADC ∠=∠=︒∠=︒，又∵AD CD =，∴30DAC ∠=︒，∴30CAB ∠=︒，∴90ACB ∠=︒，即BC AC ⊥.∵CF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD .∴AC CF ⊥，而CF BC C ⋂=∴AC ⊥平面BCF .∵//EF AC ，∴EF ⊥平面BCF .（2）建立如图所示空间直角坐标系，设1AD CD BC CF ====,则()()()30,0,0,3,0,0,0,1,0,,0,1C A B M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴()33,1,0,,1,1AB BM ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u u r .设()1,,n x y z =u u r 为平面MAB 的一个法向量， 由110,0,n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u u r 得3030x y x y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪ 取1x =，则131,3,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u r ， ∵()21,0,0n =u u r 是平面FCB 的一个法向量，∴1212219cos 3134n n n n θ⋅===⋅++u u r u u r u u r u u r .3.某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等制划分标准为：85分及以上，记为A 等；分数在[)70,85内，记为B 等，分数在[)60,70内，记为C 等；60分以上，记为D 等.同时认定A ，B ，C 为合格，D 为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[]50,100内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C ，D 的所有数据茎叶图如图2所示.（1）求图1中x 的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲，乙两校C 等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X 表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.【解析】（1）由题意，可知100.012100.05610x +⨯+⨯0.018100.010101+⨯+⨯=，∴0.004x =.∴甲学校的合格率为1100.0040.96-⨯=， 而乙学校的合格率为210.9650-=， ∴甲、乙两校的合格率均为96%.（2）样本中甲校C 等级的学生人数为0.01210506⨯⨯=，而乙校C 等级的学生人数为4.∴随机抽取3人中，甲校学生人数X 的可能取值为0，1，2，3，∴()343101030C P X C ===，()12643103110C C P X C ===， ()2164310122C C P X C ===，()36310136C P X C ===，∴X 的分布列为数学期望12310265EX =⨯+⨯+⨯=.4.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，且过点,22P ，动直线l ：y kx m -+交椭圆C 于不同的两点A 、B ，且0OA OB ⋅=u uu r u u u r（O 为坐标原点）. （1）求椭圆C 的方程.（2）讨论2232m k -是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.【解析】（1）由题意可知2c a =，所以222222()a c a b ==-，即222a b =，① 又点,22P 在椭圆上，所以有2223144a b+=，② 由①②联立，解得21b =，22a =，故所求的椭圆方程为2212x y +=. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，可知12120x x y y +=.联立方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 化简整理得222(12)4220k x kmx m +++-=，由2222168(1)(12)0k m m k ∆=--+>，得2212k m +>， 所以122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+，③ 又由题知12120x x y y +=，即1212()()0x x kx m kx m +++=，整理为221212(1)()0k x x km x x m ++++=.将③代入上式，得22222224(1)01212m km k km m k k -+-⋅+=++. 化简整理得222322012m k k--=+，从而得到22322m k -=.5.已知等差数列{a n }的首项为1，公差为d ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且对任意的*n ∈N ，692n n n S b a =--恒成立．（1）如果数列{S n }是等差数列，证明数列{b n }也是等差数列；（2）如果数列12n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求d 的值； （3）如果3d =，数列{c n }的首项为1，1(2)n n n c b b n -=-≥，证明数列{a n }中存在无穷多项可表示为数列{c n }中的两项之和．【解析】（1）设数列{}n S 的公差为d '，由692n n n S b a =--， ①111692(2)n n n S b a n ---=--≥， ②①-②得1116()9()()n n n n n n S S b b a a ----=---， ③即169()n n d b b d -'=--，所以169n n d d b b -'+-=为常数， 所以{}n b 为等差数列．（2）由③得1699n n n b b b d -=--，即139n n b b d -=+， 所以11111111133()11322332311112222n n n n n n n d d d b b b b b b b ------++++--+===+++++是与n 无关的常数， 所以103d -=或112n b -+为常数． ①当103d -=时，3d =，符合题意； ②当112n b -+为常数时， 在692n n n S b a =--中令1n =，则111692a b a =--，又11a =，解得11b =，…8分 所以11113222n b b -+=+=，此时111333311322n d d b ---+=+=+，解得6d =-． 综上，3d =或6d =-．（3）当3d =时，32n a n =-，由（2）得数列1{}2n b +是以32为首项，公比为3的等比数列，所以11313=3222n n n b -+=⋅⋅，即1=(31)2n n b -． 当2n ≥时，11111(31)(31)322n n n n n n c b b ---=-=---=， 当1n =时，也满足上式，所以13(1)n n c n -=≥．设(1)n i j a c c i j =+<≤，则113233i j n ---=+，即133(31)2i j i n ---+=，如果2i ≥，因为3n 为3的倍数，13(31)i j i --+为3的倍数，所以2也为3的倍数，矛盾．所以1i =，则1333j n -=+，即213(2,3,4,)j n j -=+=L ．所以数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．6.已知函数2()ln (R)f x x ax x a =++∈.（1）讨论函数()f x 在[1,2]上的单调性；（2）令函数12()()x g x e x a f x -=++-，e =2.71828…是自然对数的底数，若函数()g x 有且只有一个零点m ，判断m 与e 的大小，并说明理由.【解析】（1）由已知0x >，且2121()2x ax f x x a x x++'=++= ①当280a ∆=-≤时，即当a -≤≤()0f x '≥则函数()f x 在[1,2]上单调递增②当280a ∆=->时，即a <-或a >2210x ax ++=有两个根，4a x -=，因为0x >，所以4a x -=1°1≤时，令(1)30f a '=+≥，解得3a ≥- ∴当3a -≤<-a >()f x 在[1,2]上单调递增2°当124a -+<<时，令(1)30f a '=+<，9(2)02f a '=+>， 解得932a -<<- ∴当932a -<<-时，函数()f x在上单调递减，在2]上单调递增； 3°当24a -+≥时，令9(2)02f a '=+≤，解得92a ≤- ∴当92a ≤-时，函数()f x 在[1,2]上单调递减； （2）函数121()()ln x x g x ex a f x e x ax a --=++-=--+ 则11()()x g x ea h x x -'=--= 则121()0x h x e x -'=+>，所以()g x '在(0,)+∞上单调增 当0,(),,()x g x x g x →→-∞→+∞→+∞，所以()R g x '∈ 所以()g x '在(0,)+∞上有唯一零点1x当11(0,),()0,(,),()0x x g x x x g x ''∈<∈+∞>，所以1()g x 为()g x 的最小值 由已知函数()g x 有且只有一个零点m ，则1m x =所以()0,()0,g m g m '==则1110ln 0m m e a m e m am a --⎧--=⎪⎨⎪--+=⎩则11111ln ()()0m m m e m e m e m m ------+-=，得11(2)ln 0m m m e m m ----+= 令11()(2)ln (0)x x p x x e x x x --=--+>，所以()0,p m = 则121()(1)()x p x x e x-'=-+，所以(0,1),()0,(1,),()0x p x x p x ''∈>∈+∞< 所以()p x 在(1,)+∞单调递减，因为1111(1)10,()(2)1(2)0e e e p p e e e e e e e ---=>=--+=--< 所以()p x 在(1,)e 上有一个零点，在(,)e +∞无零点. 所以m e <.。