计数原理(高考真题+模拟新题)课标理数12.J2[2011·北京卷] 用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)课标理数12.J2[2011·北京卷] 14【解析】若不考虑数字2,3至少都出现一次的限制，对个位，十位，百位，千位，每个“位置”都有两种选择，所以共有24＝16个四位数，然后再减去“2222,3333”这两个数，故共有16－2＝14个满足要求的四位数．大纲理数7.J2[2011·全国卷] 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种大纲理数7.J2[2011·全国卷] B【解析】若取出1本画册，3本集邮册，有C14种赠送方法；若取出2本画册，2本集邮册，有C24种赠送方法，则不同的赠送方法有C14＋C24＝10种，故选B.大纲文数9.J2[2011·全国卷] 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有()A．12种B．24种C．30种D．36种大纲文数9.J2[2011·全国卷] B【解析】从4位同学中选出2人有C24种方法，另外2位同学每人有2种选法，故不同的选法共有C24×2×2＝24种，故选B.课标理数15.J2[2011·湖北卷] 给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色，当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如图1－3所示：图1－3由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案共有________种，至少有两个黑色正方形相邻．．的着色方案共有________种．(结果用数值表示)课标理数15.J2[2011·湖北卷] 2143【解析】(1)以黑色正方形的个数分类：①若有3块黑色正方形，则有C34＝4种；②若有2块黑色正方形，则有C25＝10种；③若有1块黑色正方形，则有C16＝6种；④若无黑色正方形，则有1种．所以共有4＋10＋6＋1＝21种．(2)至少有2块黑色相邻包括：有2块黑色相邻，有3块黑色相邻，有4块黑色相邻，有5块黑色相邻，有6块黑色相邻等几种情况．①有2块黑色正方形相邻，有(C23＋C13)＋A24＋C15＝23种；②有3块黑色正方形相邻，有C12＋A23＋C14＝12种；③有4块黑色正方形相邻，有C12＋C13＝5种；④有5块黑色正方形相邻，有C12＝2种；⑤有6块黑色正方形相邻，有1种．故共有23＋12＋5＋2＋1＝43种．课标理数12.J3[2011·安徽卷] 设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.课标理数12.J3[2011·安徽卷] 0【解析】a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10＝－C1121，a11＝C1021，所以a10＋a11＝－C1121＋C1021＝0.大纲理数13.J3[2011·全国卷] (1－x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为________．大纲理数13.J3[2011·全国卷] 0 【解析】 展开式的第r ＋1项为C r 20(－x )r ＝C r 20(－1)r x r 2，x 的系数为C 220，x 9的系数为C 1820，则x 的系数与x 9的系数之差为0.大纲文数13.J3[2011·全国卷] (1－x )10的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为________．大纲文数13.J3[2011·全国卷] 0 【解析】 展开式的第r ＋1项为C r 10(－x )r ＝C r 10(－1)r x r，x 的系数为－C 110，x 9的系数为－C 910，则x 的系数与x 9的系数之差为0.课标理数6.J3[2011·福建卷] (1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．10课标理数6.J3[2011·福建卷] B 【解析】 因为(1＋2x )5的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )r ＝2r C r 5x r，令r ＝2，则2r C r 5＝22C 25＝4×5×42＝40，即x 2的系数等于40，故选B.课标理数10.J3[2011·广东卷] x ⎝⎛⎭⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数是________．(用数字作答) 课标理数10.J3[2011·广东卷] 84 【解析】 先求⎝⎛⎭⎫x －2x 7中x 3的系数，由于T r ＋1＝C r 7x 7－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝C r 7x 7－2r (－2)r ，所以7－2r ＝3，所以r ＝2，即x 4的系数为C 27(－2)2＝84.课标理数11.J3[2011·湖北卷] ⎝⎛⎭⎫x －13x 18的展开式中含x 15的项的系数为________．(结果用数值表示)课标理数11.J3[2011·湖北卷] 17 【解析】 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 18x 18－r ⎝⎛⎭⎫－13x r＝()－1r ⎝⎛⎭⎫13r C r 18·x 18－32r .令18－32r ＝15，解得r ＝2.所以展开式中含x 15的项的系数为()－12⎝⎛⎭⎫132C 218＝17.课标文数12.J3[2011·湖北卷] ⎝⎛⎭⎫x －13x 18的展开式中含x 15的项的系数为________．(结果用数值表示)课标文数12.J3[2011·湖北卷] 17 【解析】 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 18x 18－r ⎝⎛⎭⎫－13x r＝()－1r ⎝⎛⎭⎫13r C r 18·x 18－32r .令18－32r ＝15，解得r ＝2.所以展开式中含x 15的项的系数为()－12⎝⎛⎭⎫132C 218＝17.课标理数8.J3[2011·课标全国卷] ⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40课标理数8.J3[2011·课标全国卷] D 【解析】 令x ＝1得各项系数和为⎝⎛⎭⎫1＋a1(2－1)5＝(1＋a )＝2, ∴a ＝1，所以原式变为⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5，⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )r ⎝⎛⎭⎫－1x 5－r ＝(－1)5－r 2r C r 5x 2r －5.令2r －5＝－1，得r ＝2； 令2r －5＝1，得r ＝3，所以常数项为(－1)5－222C 25＋(－1)5－323C 35＝(－4＋8)C 25＝40.课标理数14.J3[2011·山东卷] 若⎝⎛⎭⎫x －ax 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．课标理数14.J3[2011·山东卷] 4 【解析】 T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－a x 2r ＝C r 6x 6－r (－1)r a r 2x －2r ＝C r 6x 6－3r(－1)r a r 2，由6－3r ＝0，得r ＝2, 所以C 26a ＝60，所以a ＝4.课标理数4.J3[2011·陕西卷] (4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．20课标理数4.J3[2011·陕西卷] C 【解析】 由T r ＋1＝C r n a n －r b r 可知所求的通项为T r ＋1＝C r 6(4x )6－r (－2－x )r ＝C r 6(－1)r (2x )12－3r ，要出现常数项，则r ＝4，则常数项为C 46(－1)4＝15，故选C.大纲文数13.J3[2011·四川卷] (x ＋1)9的展开式中x 3的系数是________．(用数字作答) 大纲文数13.J3[2011·四川卷] 84 【解析】 本题主要考查二项展开式通项的应用. (x ＋1)9的展开式通项为T r ＋1＝C r 9x 9－r，所以x 3的系数是C 69＝9×8×73×2×1＝84.课标理数5.J3[2011·天津卷] 在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154 B.154 C ．－38 D.38课标理数5.J3[2011·天津卷] C 【解析】 由二项式展开式得，T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎫x 26－r ⎝⎛⎭⎫－2x r＝()－1r 22r －6C r 6x 3－r ，令r ＝1，则x 2的系数为()－1·22×1－6C 16＝－38.课标理数13.J3[2011·浙江卷] 设二项式⎝⎛⎭⎫x －ax 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．课标理数13.J3[2011·浙江卷] 2 【解析】 由题意得T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－a x r ＝()－a r C r 6x 6－32r ， ∴A ＝()－a 2C 26，B ＝()－a 4C 46. 又∵B ＝4A ，∴()－a 4C 46＝4()－a 2C 26，解之得a 2＝4. 又∵a >0，∴a ＝2.大纲理数4.J3[2011·重庆卷] (1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9大纲理数4.J3[2011·重庆卷] B 【解析】 由题意可得C 5n 35＝C 6n 36，即C 5n ＝3C 6n ，即n ！5！(n －5)！＝3·n ！6！(n －6)！，解得n ＝7.故选B.大纲文数11.J3[2011·重庆卷] (1＋2x )6的展开式中x 4的系数是______．大纲文数11.J3[2011·重庆卷] 240 【解析】 ∵(1＋2x )6的展开式中含x 4的项为C 46(2x )4＝240x 4，∴展开式中x 4的系数是240.[2010·绵阳三诊] 某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号、…、19号、20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组．那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是( )A ．16B ．21C ．24D ．90[2011·安徽示范学校月考] 设集合A ＝{0,2,4}，B ＝{1,3,5}，分别从A 、B 中任取2个元素组成无重复数字的四位数，其中能被5整除的数共有( )A ．24个B ．48个C ．64个D ．116个[2011·四川树德中学模拟] (C 14x ＋C 24x 2＋C 34x 3＋C 44x 4)2的展开式的所有项的系数和为()A ．64B ．224C ．225D ．256[2011·汕头期末] 设a 为函数y ＝sin x ＋3cos x (x ∈R )的最大值，则二项式6a x x ⎛ ⎝的展开式中含x 2项的系数是( ) A ．192 B ．182 C ．－192 D ．－182[2011·德州一中模拟] 为落实素质教育，山东省德州一中拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A 和一般课题B至少有一个被选中的不同选法种数是k ，那么二项式(1＋kx 2)6的展开式中x 4的系数为__________．[2011·宁波八校联考] 将正方体ABCD－A1B1C1D1的各面涂色，任何相邻两个面不同色，现在有5种不同的颜色，并且涂好了过顶点A的3个面的颜色，那么其余的3个面的涂色方案共有__________种．[2011·宁波模拟] 若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5等于()A．－10B．－5C．5D．10。