波动方程的近轴解
沿坐标z方向传播的高斯光束虽然不是平面波，但光波的复振幅 可以近似表达如下：
u(x, y, z) = U (x, y, z)eikz 式中 U (x, y, z) 为坐标轴z的缓慢变化的函数， k 为传播常数， eikz 表示沿坐标z方向迅速变化的相位项, U (x, y, z) 则为坐标z的
=
A0
W0 W (z)
exp[−
W
r
2
2
(
z)
]
exp[ikz
+
ik
r2 2R(z)
+
iφ ]
其中
W (z)
= W0[1+
(
z z0
)2 ]1/ 2
=
W0[1+
( λz πW02
)2 ]1/ 2
z点的光斑尺寸
R(z) = z[1+ ( z0 )2 ] = z[1+ (πW02 )2 ]
z
λz
z处的波阵面的半径
z = ±z0 φ(z) = ±π / 4
பைடு நூலகம்
z → ±∞ φ(z) → ±π / 2
高斯光束参数间的关系
光束尺寸 波面半径 可以得到
W (z)
=
W0[1+
(
z z0
)2 ]1/ 2
= W0[1+
λz
(
πW0
2
)2 ]1/ 2
R(z) = z[1+ ( z0 )2 ] = z[1+ (πW02 )2 ]
q(z)
2q(z)
当 ξ 为复数时上式仍然是亥姆霍兹方程的解，但具有非常不同的特性，
称为高斯光束，上式表示高斯光束的复数包络。
当 ξ = −iz0, z0 为实数时，我们把 q(z) 表示为如下形式 1 = 1 −i λ
q(z) R(z) πW 2(z)
R(z), W (z) 为实数。
可以得到 u(r, z) = U (r, z)eikz
发散角（半角）为
θ
(z)
=
dw(z) dz
=
λ2z πW0
(π
2W04
+
z2λ 2 )−1/ 2
重要的情况是 z → ∞, 即远场的发散角为
θ0
=
limθ (z)
z→∞
=
λ π w0
光腰尺寸越大，发散角越小，越接近准直光。
准直距离
当 z = 0 时，θ = 0, 发散角随z的增大而增大， 当 z = π w02 / λ 时，θ (z) = λ /( 2π w0 ) = θ0 / 2, 所以称 2z0 = 2π w02 / λ 为“准直距离”或“焦深”或“共焦参数”。
Δx 为信号的空间宽度
θ / λ 为信号的空间谱宽度
根据测不准原理
2Δxi 2θ λ
2Δxi
2θ λ
≥
4
π
又称信号的空间带宽积
当光束的直径和发散角不大时，就称为旁轴光波或近轴光波。
高斯信号具有最小的空间带宽积
2Δxi2θ = 4 . λπ
2. 波动方程的近轴解和高斯光束的特性
在凹面反射镜构成的谐振腔中产生的激光束既不是均匀、无限扩 展的平面波，也不是球面波，而是结构特殊的高斯光束。本节我们从 波动方程出发，导出高斯光束解，并讨论它的特性。
z→0
此时，波阵面变成平面，即xy平面
W (0) = W0
U
(r,
0)
=
A0
exp(−
r2 W02
)
I
(r,
0)
=
I0
exp(−
2r 2 w02
)
称该平面为高斯光束的光腰，在光腰附近，高斯光束接近平面波。
当z足够大时，高斯光束趋近于球面波。z<0 的分布与z>0的分布关
于z=0对称。
发散度
光斑尺寸W(z)随z的增大而增大，表示光束是发散的，定义
第四章 高斯光束光学
1. 引言 2. 波动方程的近轴解和高斯光束的特性 3. 高斯光束通过透镜系统的变换
1. 光束的概念
在几何光学中，用“光线”来描述光在自由空间中的传播。 如果光波能量被约束在相对较小的“管道”空间中传播，该管道
半径为 Δx, 发散角为 θ , 就称为“细光束”，简称“光束”。 细光束当 Δx 和 θ 都趋于0的极限情形就是光线。
光强分布
I
(r,
z)
=
I 0[WW(0z ) ]2
exp[−
2r 2 W 2(z)
]
在垂直于z轴的任何一个平面上的光强都呈高斯分布，在光轴 上强度最大。
z=0平面上的性质
u(r,
z)
=
A0
W0 W (z)
exp[− r2 ]exp[ikz W 2(z)
+
ik
r2 2R(z)
+
iφ ]
lim R(z) = ∞
相移和波前
高斯光束的相位函数可表示为 ϕ(z) = kz + kr2 + φ(z)
2R(z)
第一部分kz对应于平面波的线性相移
由于 R(z) 和 φ(z) 是z的缓变函数，
第二部分近似是球面波对于平面波的修正,
第三项 φ(z) 是高斯光束的进一步修正。
φ
= arctan
z z0
=
λz arctan πW02
φ = arctan z = arctan zλ
z0
πW02
W0
=
( λ z0 π
)1/ 2
高斯光束的“光腰尺寸”
z0 为光束的瑞利范围(Rayleigh range)。
高斯光束的特性
u(r,
z)
=
A0
W0 W (z)
exp[− r2 ]exp[ikz W 2(z)
+
ik
r2 2R(z)
+
iφ ]
z
λz
πW 2(z) = λz λR(z) πW02
光腰位置选为原点z=0,有 R ∼ ∞, W = W0
一般情况下光腰位置不在原点，可以由给定位置的光束尺寸和 波面半径计算得到光腰尺寸和光腰位置的公式。
W02
=
W
2 (z)[1+
(πW 2(z))2] λR(z)
z
=
R(z)[1+
λR(z)
(
πW
缓慢变化的函数。
代入亥姆霍兹方程，得到U满足的方程：
∂2U [( ∂x2
+
∂2U ∂y2
+
∂2U ∂z2
)
+
2ik
∂U ∂z
]eikz
=
0
近轴近似下：
∂2U ∂x2
+
∂2U ∂y2
+ 2ik
∂U ∂z
=0
考虑旋转对称情况，近轴亥姆霍兹方程的一个解为
代表一个波面为旋转抛物面的波。
U = A0 exp(ik r2 )
z
2z
当x和y都不大时，(x, y
非常接近。
z) 它的波面和球面波 U = A0 exp(ikr) r
如果将z换成函数 q = z − ξ 得到近轴亥姆霍兹方程的另一个解，
波动中心位于 z = ξ
U = A0 exp[ik r2 ], q = z −ξ
q(z)
2q(z)
U = −ξ A0 exp[ik r2 ], q = z −ξ
2
(
z)
)2
]−1
当 R > 0 有 z > 0 表示光腰在波面左方，为一个沿传播方向发散的
高斯波
当 R < 0 有 z < 0 表示光腰在波面右方，为一个沿传播方向会聚
的高斯波
光束的质量评价
高斯光束作为典型的细光束，最接近于光线，在等同的光束截面