高考数学函数压轴题：1. 已知函数31()(,)3f x x ax b a b R =++∈在2x =处取得的极小值是43-. (1)求()f x 的单调递增区间； (2)若[4,3]x ∈-时，有210()3f x m m ≤++恒成立，求实数m 的取值范围. 2. 某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x 艘的产值函数R (x)=3700x + 45x 2 – 10x 3(单位：万元), 成本函数为 C (x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:（提示：利润 = 产值 – 成本）(1) 利润函数P(x) 及边际利润函数MP(x);(2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大(3) 边际利润函数MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么3. 已知函数155)(2++=x x x ϕ)(R x ∈，函数)(x f y =的图象与)(x ϕ的图象关于点)21,0(中心对称。

（1）求函数)(x f y =的解析式；（2）如果)()(1x f x g =，)2,)](([)(1≥∈=-n N n x g f x g n n ，试求出使0)(2<x g 成立的x 取值范围；（3）是否存在区间E ，使{}Φ=<⋂0)(x f x E 对于区间内的任意实数x ，只要N n ∈，且2≥n 时，都有0)(<x g n 恒成立 4．已知函数：)(1)(a x R a xa ax x f ≠∈--+=且 （Ⅰ）证明：f(x)+2+f(2a －x)=0对定义域内的所有x 都成立.（Ⅱ）当f(x)的定义域为[a+21,a+1]时，求证：f(x)的值域为[－3，－2]； （Ⅲ）设函数g(x)=x 2+|(x －a)f(x)| ,求g(x) 的最小值 .5. 设()f x 是定义在]1,0[上的函数，若存在*x )1,0(∈，使得()f x 在],0[*x 上单调递增，在]1,[*x 上单调递减，则称()f x 为]1,0[上的单峰函数，*x 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间. 对任意的]1,0[上的单峰函数()f x ，下面研究缩短其含峰区间长度的方法.（1）证明：对任意的21,x x )1,0(∈，21x x <，若)()(21x f x f ≥，则),0(2x 为含峰区间；若)()(21x f x f ≤，则)1,(1x 为含峰区间；（2）对给定的)5.00(<<r r ，证明：存在21,x x )1,0(∈，满足r x x 212≥-，使得由（1）所确定的含峰区间的长度不大于r +5.0；6. 设关于x 的方程0222=--ax x 的两根分别为α、β()βα<，函数14)(2+-=x ax x f （1）证明)(x f 在区间()βα,上是增函数；（2）当a 为何值时，)(x f 在区间[]βα,上的最大值与最小值之差最小7. 甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数()8+=x x f ，()12+=x x g ，及任意的0≥x ，当甲公司投入x 万元作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于()x f 万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；当乙公司投入x 万元作宣传时，甲公司投入的宣传费若小于()x g 万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险. 设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题： (1)请解释()()0,0g f ；(2)甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少宣传费(3)若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少投入费用原则，投入自己的宣传费：若甲先投入121=a 万元，乙在上述策略下，投入最少费用1b ；而甲根据乙的情况，调整宣传费为2a ；同样，乙再根据甲的情况，调整宣传费为2b ,, 如此得当甲调整宣传费为n a 时，乙调整宣传费为n b ；试问是否存在lim n n a →∞，n n b ∞→lim 的值，若存在写出此极限值（不必证明），若不存在，说明理由.8. 设)(x f 是定义域在]1,1[-上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.（l ）求证)(x f 在]1,1[-上是减函数；（ll ）如果)(c x f -，)(2c x f -的定义域的交集为空集，求实数c 的取值范围； （lll ）证明若21≤≤-c ，则)(c x f -，)(2c x f -存在公共的定义域，并求这个公共的空义域.9. 已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，其中a ∈N *，b ∈N ，c ∈Z 。

（1）若b>2a ，且f （sinx ）（x ∈R ）的最大值为2，最小值为－4，试求函数f （x ）的最小值；（2）若对任意实数x ，不等式4x ≤f （x ）≤2（x 2＋1）恒成立，且存在x 0，使得f （x 0）<2（x 02＋1）成立，求c 的值。

10. 已知函数14)(234-+-=ax x x x f 在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减； （1）求a 的值；（2）求证：x=1是该函数的一条对称轴；（3）是否存在实数b ，使函数1)(2-=bx x g 的图象与函数f(x)的图象恰好有两个交点若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由.11. 定义在区间（0，∞）上的函f(x)满足：（1）f(x)不恒为零；（2）对任何实数x 、q,都有)()(x qf x f q =.（1）求证：方程f(x)=0有且只有一个实根；（2）若a>b>c>1,且a 、b 、c 成等差数列，求证：)()()(2b f c f a f •； （3）（本小题只理科做）若f(x) 单调递增，且m>n>0时，有)2(2)()(nm f n f m f +==，求证：322m <<12. 已知三次函数c bx ax x x f +++=23)(在y 轴上的截距是2，且在),2(),1,(+∞--∞上单调递增，在（－1，2）上单调递减. (Ⅰ)求函数f (x)的解析式； (Ⅱ)若函数)ln()1()2(3)()(m x m x x f x h ++--'=，求)(x h 的单调区间.13. 已知函数33(1)()x a f x -=（0a ≠且1a ≠）． (1) 试就实数a 的不同取值，写出该函数的单调递增区间；(2) 已知当0x >时，函数在6)上单调递减，在(6,)+∞上单调递增，求a 的值并写出函数的解析式；(3) （理）记(2)中的函数的图像为曲线C ，试问是否存在经过原点的直线l ，使得l 为曲线C 的对称轴若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．(文) 记(2)中的函数的图像为曲线C ，试问曲线C 是否为中心对称图形若是，请求出对称中心的坐标并加以证明；若不是，请说明理由．14. 已知函数()log a f x x =和()2log (22),(0,1,)a g x x t a a t R =+->≠∈ 的图象在2x =处的切线互相平行.(Ⅰ) 求t 的值；（Ⅱ）设)()()(x f x g x F -=，当[]1,4x ∈时，()2F x ≥恒成立，求a 的取值范围.15. 设函数()f x 定义在R +上，对任意的,m n R +∈，恒有()()()f m n f m f n ⋅=+，且当1x >时，()0f x <。

试解决以下问题：（1）求(1)f 的值，并判断()f x 的单调性；（2）设集合{}{}(,)|()()0,(,)|(2)0,A x y f x y f x y B x y f ax y a R =++->=-+=∈，若A B ≠∅，求实数a 的取值范围；（3）若0a b <<，满足|()||()|2|()|2a bf a f b f +==，求证：322b <<+ 16. （理科）二次函数f(x)=)(2R b a b ax x ∈++、 （I ）若方程f(x)=0无实数根，求证：b>0；（II ）若方程f(x)=0有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证：f(－a)=)1(412-a ； （III ）若方程f(x)=0有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k ，使得41)(≤k f .(文科)已知函数f(x)=c bx ax ++2，其中.,,*Z c N b N a ∈∈∈（I ）若b>2a,且 f(sinx)(x ∈R)的最大值为2，最小值为－4，试求函数f(x)的最小值； （II ）若对任意实数x ，不等式)1(2)(42+≤≤x x f x 恒成立,且存在)1(2)(0200+<x x f x 使得成立，求c 的值。

17. 定义在（-1，1）上的函数f(x)满足：对任意x 、y (-1,1)都有。

（I ）求证：函数f(x)是奇函数； （II ）如果当时，有f(x)>0，判断f(x)在(-1,1)上的单调性，并加以证明；（III ）设-1<a<1，解不等式：18. 已知二次函数),,0(1)(2R b a bx ax x f ∈>++=设方程f(x)＝x 有两个实数根x 1、x 2. (Ⅰ)如果4221<<<x x ，设函数f(x)的对称轴为x ＝x 0,求证x 0>—1; (Ⅱ)如果201<<x ，且f(x)＝x 的两实根相差为2，求实数b 的取值范围. 19. 函数)(x f 的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意R x ∈，有0)(>x f ； ②对任意x 、R y ∈，有y x f xy f )]([)(=；③.1)31(>f 则（1）求)0(f 的值； （4分） （2）求证：)(x f 在R 上是单调增函数； （5分） （3）若ac b c b a =>>>2,0且，求证：).(2)()(b f c f a f >+ 20. （理）已知)0()1()(2≤++=a ax x In x f（1）讨论)(x f 的单调性；（2）证明：2),()11()311)(211(*444≥∈<+++n N n e n其中无理数)71828.2 =e . （文）设函数)(31)(23c b a cx bx ax x f <<++=，其图象在点))(,()),1(,1(m f m B f A 处的切线的斜率分别为a o -,.（1）求证：10<≤ab； （2）若函数)(x f 的递增区间为],[t s ，求]-[t s 的取值范围.21.设函数)10(3231)(223<<+-+-=a b x a ax x x f（1）求函数f(x)的单调区间，并求函数f(x)的极大值和极小值； （2）当x ∈[a+1, a+2]时，不等a x f ≤'|)(|，求a 的取值范围. 22. 已知函数1x x716x )x (f --+=，函数m x ln 6)x (g +=. （1）当1x >时，求函数f(x)的最小值；（2）设函数h(x)=(1－x)f(x)+16，试根据m 的取值分析函数h(x)的图象与函数g(x)的图象交点的个数.23. 已知二次函数t t t t y l c bx ax x f .20(8:,)(212≤≤+-=++=其中直线为常数）；2:2=x l .若直线l 1、l 2与函数f （x ）的图象以及l 1，y 轴与函数f （x ）的图象所围成的封闭图形如阴影所示.（Ⅰ）求a 、b 、c 的值；（Ⅱ）求阴影面积S 关于t 的函数S （t ）的解析式；（Ⅲ）若,ln 6)(m x x g +=问是否存在实数m ，使得y=f （x ）的图象与y=g （x ）的图象有且只有两个不同的交点若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.24. 已知()()()f x x x a x b =--，点A(s,f(s)), B(t,f(t)) (I) 若1a b ==,求函数()f x 的单调递增区间；(II)若函数()f x 的导函数()f x '满足：当|x|≤1时，有|()f x '|≤23恒成立，求函数()f x 的解析表达式；(III)若0<a<b, 函数()f x 在x s =和x t =处取得极值，且a b +=证明：与不可能垂直.25. 已知函数().)(2R m xx m x f ∈-=(1)设x x f x g ln )()(+=,当m ≥41时,求g(x)在[221,]上的最大值；(2)若),1[)](8[log 31+∞-=在x f y 上是单调减函数，求实数m 的取值范围.26. (本小题满分12分)已知常数a > 0, n 为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x 的函数.(1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论.(2) 对任意n ? a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n)答案：1.解：(1)2()f x x a '=+，由题意(2)404844(2)233f a a b f a b '=+=⎧=-⎧⎪⇒⎨⎨==++=-⎩⎪⎩， 令2()40f x x '=->得()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(2,)∞.(2) 31()443f x x x =-+，当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：- 4(-4，-2(-2,2(2,33-2)2) )单调递增单调递减单调递增1所以[4,3]x ∈-时，max 28()3f x =.于是210()3f x m m ≤++在[4,3]x ∈-上恒成立等价于2102833m m ++≥，求得(,3][2,)m ∈-∞-⋃+∞. 2.解：(1) P(x) = R (x) – C (x) = – 10x 3 + 45x 2 + 3240x – 5000 (x?N 且x?[1, 20]); 2分MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x 2 + 60x +3275 (x?N 且x?[1, 20]). 4分(2) P`(x) = – 30x 2 + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12) (x?N 且x?[1, 20]) 7分当1< x < 12时, P`(x) > 0, P(x)单调递增, 当 12 <x < 20时, P`(x) < 0 , P ( x ) 单调递减.∴ x = 12 时, P(x)取最大值, 10分 即, 年建造12艘船时, 公司造船的年利润最大. 11分 (3) 由MP(x ) = – 30( x – 1) 2 + 3305 (x?N 且x?[1, 20]).∴当1< x ? 20时，MP (x)单调递减. 12分 MP (x)是减函数说明: 随着产量的增加，每艘利润与前一台比较，利润在减少.1 3.解：（1）255)(x x x f -= ………………………………………………………………（6分） （2）由0)(5)(5)(2112<-=x g x g x g 解得1)(0)(11><x g x g 或即15505522>-<-x x x x 或解得1055105510+<<-><x x x 或或…………………………………（12分） （1） 由{}}{100)(><=<x x x x f x 或，又{}Φ=><⋂+-10)1055,1055(x x x 或， 当)1055,1055(+-∈x 时，0)(2<x g ，0)(5)(5)(2223<-=x g x g x g ， ∴对于3,2=n 时，)1055,1055(+-⊆E ，命题成立。