2二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分•把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13. （x y y 、x ）4的展开式中x 2y 3的系数为4解：x y y. x x 2y 2（ . x 、y ）4，只需求（..x . y ）4展开式中的含xy 项的系数:C ： 614.设等差数列｛a m ｝的前n 项和为s m .若a 5 5a 3则S ，S 5解：Q a n 为等差数列，S 9 9a 5 9S55a315.设OA 是球O 的半径,M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球 O 的表面得到圆C.若圆C 的面积等于—,则球O 的表面积等于4设球半径为R ，圆C 的半径为r ,由4 r 2 7 ,得r 2 7.44面积等于8ABCD 勺面积的最大值为 ___________2 2 2解：设圆心O 到AC 、BD 的距离分别为d 2,则d - +d ? OM 3.四边形 ABCD 的面积 S -| AB | |CD | 2 （4 d 12）（4- d 22） 8 （d 12 d 22） 5 2 三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效） 3 解：由cos(A C) cosB ，得 B3代入 cos(A C) cosB 得 cos(A C) cos(A C)3然后利用两角和与差的余弦公式展开得 sin AsinC -；4又由b 2 ac ，利用正弦定理进行边角互化,因为OC由R 2寻24-R 2-得R 2 2.故球O 的表8416.已知 AC BD 为圆 o ：x 2 y 24的两条相互垂直的弦,垂足为M （1^2），则四边形设ABC 的内角A 、BC 的对边长分别为 a 、b 、c cos(A C)cosB 3 2,b ac 求 B2(A C)DE 平面beg(I )证明：AB AC(II )设二面角 A BD C 为60 °，求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小。
解：(I )连结BE , Q ABC AEG 为直三棱柱，RBC 90 ,设点B 1到面BDC 的距离为h , B 1C 与平面 BCD 所成的角为。
禾U 用〔S B1BC DEBCDh ,可求得 h 2.3 ,又可3 3求得 Be 4、3 sin ——-30 .B 1C 2即BQ 与平面BCD 所成的角为30 .故B或 2。
当 (B 2时， 3 33由 cosB cos(A C)1 ，进而得cos(A C)应舍去。
得 sin 2 B sin Asin C ，进而得 sin B2cos(A C) 318.(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)如图，直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1中，分别为 AA 、BG 的中点Q E 为B 1C 的中点, BE EC 。
又 DE 平面 BCC 1 ,BD DC (射影相等的两条斜线段相等)而 DA 平面ABC , AB AC(相等的斜线段的射影相等)。
(II )求B 1C 与平面BCD 所成的线面角，只需求点3到面BDC 的距离即可。
作 AG BD 于 G ，连 GC ，则 GC BD ,AGC 为二面角A BD C 的平面角,AGC 60 .不妨设AC2、3 ,则 AG 2,GC 4 .在 RT ABD 中,由AD AB BD AG ，易得 AD 6 .2 1，矛盾,19.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）设数列 a n 的前n 项和为S n ，已知印1,S n , 4a n 2 （I ）设b n a n i 2a n ，证明数列｛b n ｝是等比数列（II ）求数列｛a n ｝的通项公式。
1 3-，公差为上的等比数列.2 4第（II ）问中由（I ）易得a n 1 2a n3 2n 1，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：a n 1 pa n q n （p,q 为常数），主要的处理手段是两边除以 q n 120.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有 5名工人，其中有3名女工人。
先 采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随即抽样） 从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技 术考核。
（I ）求从甲、乙两组个抽取的人数；（n ）求从甲组抽取的工人中恰有 1名女工人的概率；（川）记 表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望。
解：（I ）由于甲组有10名工人，乙组有5名工人，根据分层抽样原理，若从甲乙两组中共 抽取3名工人进行技术考核，则从甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人。
(III ) 的可能取值为0, 1, 2, 3解: (I ) 由 a 1 1,及 Sn 14a n 2，有 a 1 a 2 4a 1 2, a 23印 2 5, da 2 2印 3由Sm 4a n 2 ,. •① 则当n2 时，有 S n 4a n 12 .......... ②②—①得 a n 1 4a n 4a n 1, an 12a n 2(a n 2a . J又Qb nan 12a n ,b n 2b n 1 ｛b n ｝是首项0 3，公比为2的等比数列.n 1an 1an32n 12n4 (II )由(I )可得 b n a n 1 2a n 3 2 3（n 1）；(3n 1) 2n 2评析：第（I ）问思路明确，只需利用已知条件寻找b n 与b n 的关系即可（II ）从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率P CCC 615数列｛是首项为31=0*6/75+1*28/75+2*31/75+3*10/75=8/573a >b >0的离心率为 —，过右焦点F 的直线L 与C 相 3交于AB 两点，当L 的斜率为1时，坐标原点O 到 L 的距离为辽。
2(I )求a , b 的值;uuu ULU uuu(n ) C 上是否存在点P,使得当L 绕F 转到某一位置时，有 OP =OA +OB 成立？若存在，求出所有的P 的坐标与 L 的方程；若不存在，说明理由。
解:(1 )设 F(c,0)，直线 l : x0，由坐标原点O 到I 的距离为二Z2则|0,;c|守，解得c仝，a 、、3,b 3(II )由(I )知椭圆的方程为2X C :―3y 2 21 .设 A (X 1,屮)、B (X 2, y 2)由题意知I 的斜率为一定不为 0,故不妨设my 1 代入椭圆的方程中整理得 2 2(2 m 3)y 4my 40 ,显然由韦达定理有：比 y 2 •假设存在点P,使OOP4m 2 m 2 3uuu uuuOA OB 成立，则其充要条件为:4 2m 2 3'P (0)C 2C 075，P(1)晋C 3 C 42 C2 C 5 G 2。
C 528方，P ( 3)c 2C2C52) 1 P (0)P (1) P( 3)7521.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)已知椭圆312 22x 2 3y 2 4x 1x 2 6y 1y 26 o 即 2xj 3y 126,2x 22 3y 226.令g(x) 2x 2 2x a ,其对称轴为x均大于1的不相等的实根，其充要条件为-o 由题意知X 1、X 2是方程g(x) 0的两个 2⑴当x ( 1,X 1)时，fx0, f (x)在(1,X 1)内为增函数； ⑵当X(X 1,X 2)时，f x0, f (x)在(X 1,X 2)内为减函数；⑶当X (X 2,)时，f x 0, f (x)在(X 2,)内为增函数;1 2点P 的坐标为(xX 2, y y 2)，点p 在椭圆上，即(X i X 2)2(力 y 2)22故 2x 1x 2 3y 1 y 22将 x 1x 2 (my 1 1)( my 2 1) m y 1y 2 m( y 1y 2)1及①代入②解得 m 2y 1 V 2 2 或 2x 1 x 2=卓 22 2m 2 32 ?即 P(3,:J).2 2 2 吕时陀*'i ：x 乎y 1； 子时‘pyx 討.22.(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效) 设函数f(x)= x 2+ aln 1+x 有两个极值点 捲,X 2,且 x-|< x 2 o n)证明：1-2ln 2 f (x)>4(I)求a 的取值范围，并讨论 f (x)的单调性; 2a 2x 2x a解：(I ) f x 2x(x 1)1 x 1 x2 2整理得2x 1 3y 1又A B 在椭圆上, 4 8a g( 1) a，得0(II )由(I ) g(0) a 0, X2 0, a (2x 2+2x2)2X2 x22aln 1 x2 2 2x2(2x 2+2x2)ln 1 x22 2 1x2(2x22x)ln 1 x (x -),2x 2(2x 1)ln 2x 2(2x 1)ln 1 x⑴当1(2,0)时，h x 0,h(x)在［*,0)单调递增;⑵当(0,)时，h x h(x)在(0,)单调递减。
(£,o)时,h x h( 2) 1 2ln 24故f x2h(x2) 1 2In2。
4。