B
D
求△Dy
C
A
B
D
P 1
求θBC
C P
1
2a
P 1
A
2a B
D
【例7－5】用虚功原理求图示桁架BC杆转角θC ，各杆EA为常数。
PD
E
F
D
E
F1
a
a
AC
B
aa
1
AC
B
a
杆件 DE EF AD AE CE BE BF AC CB
NP -P 0
1
N 0a
杆长 a a
0 2P 0 2P 0 1P 1P
实际位移状态
d
d
NP
NP QP
QP MP
MP
dx d(△l)
dx
dx
内力虚功：U N d ( l) Q d M d
N NPdx EA
Q
kQPdx GA
M
MPd EI
x
由虚功原理 W ＝ U 得位移计算的一般公式
N E N Pd A x kG Q Q Pd A x M E M PIdx
应用虚力原理求结构的位移，与虚拟力的大小无关，为计算 方便虚拟力取单位1，故这种求位移的方法也称为单位力（荷载） 法。
3．虚功的计算 ⑴外力虚功的计算： W1 ⑵内力虚功的计算：
虚拟力状态
N
NQ
QM
M
dx
dx
dx
实际位移状态
d
d
N
NQ
QM
M
dx d(△l)
dx
dx
虚拟力状态
N
NQ
QM
M
dx
dx
dx
（b） 1lh3h3lh2 22 4
3．虚拟力状态 求△Cx
P
B
CB
D
q
A
A
C
P 1
求△Cy
P 1
B
C
A
求θC
m 1
B
C
A
求△DE
P 1 B
DC E P 1A
求θBC
m 1 m 1
B
C
A
求θB
m 1
B
C
A
求△Ex
B
C
P 1 E
A
4．解题步骤：
⑴ 画荷载下的弯矩MP图；
⑵ 在所求位移处，沿所求位移方向加单位荷载，并画M 图；
h ql 2 8
C
l/2 l/2
l/3 2l/3
l/2 l/2
A=lh
A=lh/2
A=2lh/3
h h
【例7－2】计算下列各对弯矩图的图乘结果。
h/2 h
2h
h
h/2
C2 C1
yC
h
y1
y2
l/2 l/2 （a）
l/2 l/2
C
（b）
（a）
1l h 1l hh lh 2 h
222 2223 12
位移△Cy和转角θC 。
q
A
B x2 EI
x1 C A
P 1
B x2
x1 C
l
l
l
l
MP(x1)=0 MP(x1) x1 q
M(x1) x1 M (x1)
MP(x2)
x2
l
MP(x2)=
1 2
qx
2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M (x2 ) x2
l
M(x2)x2l
CyE1I
MMPdxE 1I0l1 2q2 2 x(x2l)d2x274
⑶
由图乘
1 A EI
yC 求位移。
【例7－3】应用虚功原理（图乘法）求图示悬臂梁自由端C的竖向
位移△Cy和转角θC 。
q
A
B
C
EI
l
l
A 1 ql 2 2
q B
EI l
1 ql2 8
MP图
2l l
M图
1 M图
C l
Cy E 1(2 Ilq22l5 3 l2 3 lq82l3 2 l)
7 ql 4
（外力实功）W＝（内力实功）U，称为实功原理。
（外力虚功）W ＝（内力虚功）U ，称为虚功原理。 实功原理只能求单一荷载下，荷载作用点处沿荷载作用方向 的位移，实际应用价值不大。
虚功原理可求任意荷载下，任意位置、任意方向的位移，及 温度改变、支座移动引起的位移，具有广泛的应用价值。在虚功 原理中，力是虚拟的，而位移是真实的，所以该原理更确切应称 为虚力原理。
x
xC
于是虚功原理
可写作： 1 A EI
yC
注意***： ⑴ 两图在杆同侧，图乘为正；在杆两侧，图乘为负。
⑵ yC所在的弯矩图必须为同一直线，不是同一直线，需 分段图乘，并取和。
C1 A1 C2 A2 C3 A3
y1
y2
y3
1 EI
A
yC
E 1(IA1y1A2y2)
常用图形的面积和形心位置：
C
C
2
2
2
2
0
2 0 2 0 1 1
2a
2a
2a 2a
a 2a a 2a a a a
B F E 2 (2 A 2 P 2 a 2 2 a 1 2 P 2 1 a a ) (2 1 2 )E P 0 A .9E P 14 A
P 1
24 EI
CE 1(I2 lq22l23lq82l)1
m 1
ql 3 6 EI
【例7－4】用虚功原理求图示刚架C端的水平位移△Cx和转角θC 。
B EI
C
l
q EI
ql2/2
ql2/2
ql2/8
A
l
l l
P 1
m 1
1
MP图
M图
M图
C xE 1(2 lIq 2 2l2 3 l22 3 lq 8 2l2 l)3 8 q E 4lI
结构力学 虚功原理
第七章 静定结构位移计算 ·虚功原理
一、虚功原理
1．虚功的概念 PP
1
2
△11
△21
力在自身作用下产生的位移上作功称为（外力）实功，如P
在△11
力在其它因素产生的位移上作功称为（外力）虚功，如 P 在
△21
2．虚功原理 弹性体在外力作用下产生变形，根据功能原理，外力作功转 换为弹性体的变形能（内力功），储存在弹性体内。
CE 1I(2lq22l1 3)1q2E3l I
三、静定桁架的位移计算 桁架各杆只有轴力，计算位移的虚功原理公式为：
NNPl EA
N 为单位荷载下各杆轴力，NP为实际荷载下各杆轴力，l为杆长。 桁架所受荷载都是作用在结点上，单位荷载也必须加在结点上。
P
C
a
图示桁架
A
B
D
aa
求△Cx
C
P 1
A
M (x2 )
x2
l
M(x2) 1
C
1 EI
MMPdx
1 EI
l 0
12qx22dx2
ql 3 6 EI
m=1 m=1
2．图乘法
积分 MMPdx可用几何法（图乘法）求之。
y
MP
C MP图
B
AMMPdx
B
A x t gMPdx
A
B
dx
tgAxC
M
o
A
yC M 图 Bx
A yC
A — MP图的面积 yC — MP图形心所对 M 图的竖距
ql 4 EI
P 1
x1
P 1
【例7－1】应用虚功原理（积分法）求图示悬臂梁自由端C的竖向
位移△Cy和转角θC 。
q
A
B x2 EI
x1 C A
B x2
x1 C m=1
l
l
l
l
MP(x1)=0 MP(x1) x1 q
M(x1) 1 M (x1) x1
MP(x2)
x2
l
MP(x2)=
1 2
qx
2 2
N 、Q 、M 为单位荷载下的轴力、剪力和弯矩；
NP、QP、MP 为实际荷载下的轴力、剪力和弯矩。 二、静定梁、刚架的位移计算
1．积分法 以弯曲变形为主的杆件，如梁、刚架等，只计弯曲变形的虚 功，略去剪切、拉压变形的虚功，于是虚功原理 可简化为：
MMP EI
dx
等截面杆可写作：E1IMMPdx
【例7－1】应用虚功原理（积分法）求图示悬臂梁自由端C的竖向