直线与方程知识点总结一、直线基本知识 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角① 关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00. ③ 倾斜角α的围000180α≤<.④ 0,900≥︒≤︒k α； 0,18090 k ︒︒α （2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在。

②经过两点),(),,(222111y x P y x P （21x x ≠）的直线的斜率公式是1212x x y y k --=（21x x ≠） ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。

2、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ⇔=。

特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。

（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。

如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。

二、直线的方程 1、直线方程的几种形式注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。

（1）若2121y y x x ≠=且，直线垂直于x 轴，方程为1x x =；（2）若2121y y x x =≠且，直线垂直于y 轴，方程为1y y =； （3）（3）若2121y y x x ≠≠且，直线方程可用两点式表示） 2、线段的中点坐标公式若两点),(),,(222111y x P y x P ，且线段21,P P 的中点M 的坐标为),(y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x 3. 过定点的直线系①斜率为k 且过定点),(00y x 的直线系方程为)(00x x k y y -=-；②过两条直线0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线l 2不在直线系中. 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点设两条直线的方程是0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。

2.几种距离 （1）两点间的距离平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离公式21221221)()(y y x x P P -+-=特别地，原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离22y x OP += （2）点到直线的距离点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离2200BA C By Ax d +++=（3）两条平行线间的距离两条平行线0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l 间的距离2212BA C C d +-=（注意：① 求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；② 求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。

）补充：1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角（2）．已知斜率k 的围，求倾斜角α的围时，若k 为正数，则α的围为(0,)2π的子集，且k=tan α为增函数；若k 为负数，则α的围为(,)2ππ的子集，且k=tan α为增函数。

若k 的围有正有负，则可所围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角围。

2、利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。

注：斜率变化分成两段，090是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。

3. 两条直线位置关系的判定：已知 0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l ，则：（1）0212121=+⇔⊥B B A A l l（2）;0,0-//1221122121≠-=⇔C A C A B A B A l l （3）;0,0-1221122121=-=⇔C A C A B A B A l l 重合与（4）1l 与2l 相交01221≠-⇔B A B A如果2220A B C ≠时，则：(1)1221121-=•⇔⊥B AB A l l(2)⇔21//l l ）不为0,,(222212121C B A C CB B A A ≠=；(3)1l 与2l 重合⇔）不为0,,(222212121C B A C CB B A A ==(4)1l 与2l 相交⇔）不为0,(222121B A B BA A ≠4. 有关对称问题常见的对称问题： （1）中心对称①若点),(11y x M 及),(22y x N 关于),(b a P 对称，则由中点坐标公式得⎩⎨⎧-=-=1122y b y x a x②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用21//l l ，由点斜式得到所求直线方程。

（2）轴对称 ①点关于直线的对称若两点),(111y x P 与),(222y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称，则线段21P P 的中点在对称轴l 上，而且连接21P P 的直线垂直于对称轴l 上，由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-•--=++++1)(0)2()2(12122121B A x x y y C y y B x x A ⎩⎨⎧==⇒22y x 可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标),(22y x （其中21,0x x A ≠≠） ②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。

注：①曲线、直线关于一直线b x y +±=对称的解法：y 换x ，x 换y . 例：曲线0),(=y x f 关于直线2-=x y 对称曲线方程是0)2,2(=-+x y f②曲线0),(:=y x f C 关于点),(b a 的对称曲线方程是0)2,2(=--y b x a f 5. 两条直线的交角①直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的围是),0(π，当 90≠θ时21121tan k k k k +-=θ.②两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ.6. 直线l 上一动点P 到两个定点A 、B 的距离“最值问题”： (1) 在直线l 上求一点P ，使PB PA +取得最小值，① 若点B A 、位于直线l 的同侧时，作点A （或点B ）关于l 的对称点/A 或/B ,.)(//即为所求点，则点于交或连接P P l AB B A② 若点B A 、位于直线的异侧时，连接AB 交于l 点P ，则P 为所求点。

可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可.（2）在直线l 上求一点P 使PB PA -取得最大值， 方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”① 若点B A 、位于直线l 的同侧时，连接AB 交于l 点P ，则P 为所求点。

② 若点B A 、位于直线的异侧时，作点A （或点B ）关于l 的对称点/A 或/B ,.)(//即为所求点，则点于交或连接P P l AB B A(3) 22PB PA +的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。

7. 直线过定点问题：① 含有一个未知参数，12)1(-+-=a x a y 1)2(+-+=⇒x x a y （1） 令202-=⇒=+x x ，将3)1(2=-=y x 式，得代入，从而该直线过定点)3,2(-② 含有两个未知参数0)2()3(=-++-n y n m x n m 0)12()3(=-+-++⇒y x n y x m令⎩⎨⎧-+-=+1203y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒7371y x从而该直线必过定点)73,71(-8. 点到几种特殊直线的距离（1）点00(,)P x y 到x 轴的距离0||d y =。

（2）点00(,)P x y 到y 轴的距离0||d x =.（3）点00(,)P x y 到与x 轴平行的直线y=a 的距离0||d y a =-。

（4）点00(,)P x y 到与y 轴平行的直线x=b 的距离0||d x a =-. 9. 与已知直线平行的直线系有：（1）平行于直线)(00//C C C By Ax C By Ax ≠=++=++的直线可表示为（2）平行于直线)(//b b b kx y b kx y ≠+=+=的所有直线为10. 易错辨析：（1） 讨论斜率的存在性：解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：① 斜率不存在时，是否满足题意；② 斜率存在时，斜率会有怎样关系。

（2）注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解； （求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。

） （3） 直线到两定点距离相等，有两种情况：① 直线与两定点所在直线平行； ② 直线过两定点的中点。

（求解过某一定点的直线方程时，较为常见。

） （4）过点),(00y x A ，平行于x 轴的直线方程为0y y = 过点),(00y x A ，平行于y 轴的直线方程为0x x =。