答案: 正确答案：因为 r 1 =1，r 2 =2，即 1，2 是 r 2 +pr+q=0 的两个实数根，所以 p=‐3，q=2，又因为 y ‐x =x.e 3x 是方 程的解． y(*)’=e 3x +3xe 3x ，(y*)"=3e 3x +3e 3x +9xe 3x =6e 3x +9xe 3x ． 将(y*)’，(y*)"代入方程可得 f(x)=3e 3x +2xe 3x ， 所以方程为：y"‐3y’+2y=(2x+3)e 3x ． 5. 综合题 1. 设 D 是由曲线 y=x 2 与直线 y=ax(a＞0)所围成的平面图形，已知 D 分别绕两坐标轴旋转一周所形成的旋转体 的体积相等，试求： (1)常数 x 的值； (2)平面图形 D 的面积．
2015 年河北省专升本考试
《数学》（理工类）真题
(总分 100, 考试时间 90 分钟) 1. 选择题 1. 选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 设
则当 x→1 时( )
A f(x)是比 g(x)高阶的无穷小 B f(x)是比 g(x)低阶的无穷小 C f(x)与 g(x)是同阶但不等价的无穷小
答案:A
4.
答案:D
5. 已知矩阵 A0 B1 C2 D3 答案:C
则，r(A)=( )
6. 下列无穷级数中，发散的是( )
答案:D 2. 填空题
1. 设 f(x)=
答案:正确答案：
则 f(ln2)=_____．
解析：因为 2. 曲线 f(x)=x 3 一 2x 2 +1，则拐点坐标为_____．
D f(x)与 g(x)是等价无穷小
答案:C
2. 由方程 e y +ln(x+y)=x 所确定的隐函数 y=f(x)的导数
()
答案:C
3. Z=e u sin v，而 u=xy，v=x+y，则 A e xy [ysin(x+y)+cos(x+y)] B e xy [xsin(x+y)一 cos(x+y)] C e xy [ysin(x+y)一 cos(x+y)] D e xy [xsin(x+y)+cos(x+y)]
=0 代入，得一 1+C 1 =0，即 C 1 =1．故所求特解为 ln|cosy|=e x ‐xe x ‐1．
4. 己知三阶矩阵 B=2I，其中 I 为单位矩阵，AX=B，求矩阵 X．
答案: 正确答案：|A|=‐2，故 A 可逆，由 AX=B=2I，可得 X=2A ‐1 ，利用初等变换求 A ‐1 。
答案:正确答案： 2. 求由曲线 y=x 2 ，
x=2 所围成的平面图形的面积．
答案:正确答案：
3. 微分方程 答案:
满足初始条件 y| x=0 =0 时的特解．
正确答案：微分方程可化为
即 xe x dx=tanydy，两端积分可得(x 一 1)e x +C 1 =一 ln|cosy|，将 y| x=0=1 处取得极值
点；(3)曲线 y=f(x)的渐近线．
，试求：(1)常数 a，b 的值；(2)曲线 y=f(x)的凹凸区间与拐
答案:正确答案：因为 f(x)在 x=1 处取的极值即 f'(x)=0． 所以 b=0．
令 f"(x)=0，得 x=2．
f(x)是水平渐近线，所以 k=0 无斜渐近线． 6. 证明题 1. 证明：当 0＜x＜1 时，(x 一 2)ln(1 一 x)＞2x．
5. 计算定积分 答案:正确答案：因为奇函数在对称区间积分为零，
6. 设 z=
，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数φ具有连续导数，求
答案:正确答案： 7. 计算二重积分
，其中 D 为由曲线
与直线 y=x 及直线 y=2 所围成的平面闭区域．
答案:正确答案： 8. 已知 y=C 1 e x +C 2 e 2x +xe 3x 是二阶常系数非齐次线性微分方程 y"+py’+qy=f(x)的通解，试求该微分方程．
所以 y=0 是
答案:正确答案：令 f(x)=(x 一 2)ln(1‐x)‐2x，
又因为 f'(0)=0，
所以 f'(x)＞0，即当 0＜x＜1 时，f(x)递增． 又因为 f(0)=0，所以当 0＜x＜1 时，f(x)＞0， 即当 0＜x＜1 时，(x 一 2)ln(1‐x)
＞2x．
2. 设 z=z(x，y)是由方程 y+z=xf(y 2 一 z 2 )所确定的函数，其中 f 为可导函数，证明： 答案:
正确答案：令 F(x，y，z)=xf 一 y—z， F’ x =f，F' y =2xyf'一 1，
所以
答案:正确答案： 3. 参数
方程处的切线方程为____．
答案:正确答案：
4. 设
则其全微分为_____．
答案:正确答案：
5. 答案:正确答案：2
在 x=1 处连续，则 a=______．
6. 设行列式
则 x=_____．
答案:正确答案：2 4. 解答题 1. 解答题解答时应写出推理、演算步骤。
1. 计算定积分