第22卷第2期空气动力学学报Vol.22,No.2 2004年06月ACTA AERODYNAMICA SINICA Jun.,2004文章编号:0258-1825(2004)02-0121-09湍流大涡数值模拟进展崔桂香,许春晓,张兆顺(清华大学工程力学系,北京100084)摘要:本文简要陈述湍流大涡数值模拟的原理、优点,着重讨论湍流大涡数值模拟方法的关键问题及其可能解决的途径,包括脉动的过滤、亚格子模型、近壁模型和标量湍流的大涡数值模拟中的特殊问题。

文章强调大涡数值模拟中亚格子应力的本质是可解尺度湍流和不可解尺度湍流动量间的输运,并以作者最近提出的新型亚格子模型说明发展亚格子模型的正确途径。

文章最后提出湍流大涡数值模拟近期需要迫切解决的问题和其他具有挑战性的方向。

关键词:湍流;大涡数值模拟;亚格子模型;近壁模型;标量湍流中图分类号:V211.3文献标识码:A*0引言复杂流动的准确数值预测是当前航空、航天器研究和设计中迫切需要解决的空气动力学前沿问题之一。

随着计算空气动力学方法的不断完善,计算机品质的不断提高,湍流的数值模拟方法成为提高数值预测航天器空气动力特性的瓶颈。

目前,数值预测湍流的方法有:直接数值模拟(DNS),大涡数值模拟(LE S)和雷诺平均模拟(RANS)。

直接数值模拟(DNS)是精确数值模拟湍流的方法,它的主要困难在于湍流是一种不规则多尺度运动,无论在空间上或者时间上湍流都有十分宽广谱。

准确数值模拟湍流既要精确计算大尺度流动;又要足够准确地计算小尺度运动。

在最简单的各向同性湍流中湍流的空间尺度有以下估计:L ma x/l mi n~Re3/4K,同样最大和最小时间尺度之比T max/t min~Re3/4K,它们都和流动的泰勒雷诺数Re K有关。

按照上述估计,空间网格数至少应有:N=N x@N y@N z~Re9/4K,运算量超过Re3K,航空航天器复杂绕流计算的网格数和运算时间远远超过上述估计。

因此,目前不具备直接数值模拟复杂工程湍流需要的计算机,湍流直接数值模拟只能作为低雷诺数简单湍流的研究工具。

工程中常用的复杂湍流数值模拟方法是求解雷诺平均的控制方程,这种方法只计算大尺度平均流动,而所有湍流脉动对平均流动的作用,即雷诺应力,用模型假设封闭。

由于雷诺应力主要由大尺度脉动贡献,而大尺度脉动和流动的几何特性密切相关,因此雷诺平均模式不是普适的,而是和流动有关,就是说,不存在对一切流动都适用的统一模式;对于不同类型的流动,模式的形式或系数需要修正,而这种修正常常带有经验性。

所以,雷诺平均模式不是理想的封闭方法。

湍流大涡数值模拟是有别于直接数值模拟和雷诺平均模式的一种数值预测湍流的方法。

这种方法是基于对各种尺度湍流脉动在输运和耗散中作用的认识:大尺度湍流脉动具有主要的能量和动量并支配湍流脉动的动量和能量输运;而湍动能的耗散主要发生在小尺度脉动中[1];根据这一认识产生了湍流大涡数值模拟。

它的具体实施方法如下:首先,用滤波方法将小尺度脉动从湍流脉动中去掉,假设空间任意一点的滤波函数为G(x-x0),最简单的滤波器是盒式滤波:G(G)=1,|G i|[$/2,G(G)=0,|G i|>$/2(1)利用滤波器对湍流速度场过滤,过滤后的速度脉动中不存在过滤尺度$以下的脉动成分,称为可解湍流:u i(x,t)=1$3mDu(y,t)G(x-y)d y(2)*收稿日期:2003-03-26;修订日期:2003-06-02.基金项目:国家自然科学基金资助项目(批准号:10272065,10232020).作者简介:崔桂香(1950-),女,清华大学工程力学系教授,从事湍流大涡数值模拟和标量湍流的研究.用盒式滤波器对Navier-Stokes方程做过滤运算,对于均匀盒式滤波器,过滤运算和空间或时间导数运算可交换,这时可解尺度流场的基本方程如下:5 u i5t+ u j 5 u i5x j=-1Q5 p5x i+v52 u5x j5x j+55x j( u i u j-u i u j)(3a)5 u i5x i=0(3b)公式(3a,3b)是可解尺度湍流的控制方程,它包含未知项S$i j=( u i u j-u i u j),称为亚格子雷诺应力。

亚格子应力是可解尺度脉动和过滤掉的小尺度脉动(称作不可解尺度脉动,或简称不可解脉动)间的动量输运,它需要用模型予以封闭。

通过以上简要介绍,可以理解湍流大涡数值模拟的优越性:(1)和雷诺平均模型相比,大涡数值模拟的亚格子模型具有较大的普适性。

湍流大涡数值模拟方法中需要封闭的量是亚格子应力,它和大尺度脉动的相关微弱。

亚格子应力是不可解小尺度脉动和可解尺度之间的动量交换,它和强烈依赖于流动边界的大尺度脉动相关性很小,因此合理的亚格子模型将有较大的普适性。

(2)湍流大涡数值模拟可以获得流动的动态特性,而雷诺平均模型只能提供定常的气动力特性。

湍流大涡数值模拟的解包含大于过滤尺度的所有脉动,由此可以获得速度谱以及气动力谱等,这些动态气动力特性对于近代航天器设计是十分重要的。

(3)湍流大涡数值模拟比直接数值模拟节省很大的计算量。

我们知道,理想的湍流直接数值模拟需要包含所有尺度的湍流脉动,一般最小的脉动尺度等于Kolmogorov耗散尺度G,流动的最大尺度L由流动的几何条件确定。

直接数值模拟的一维网格数应为: N DNS~L/G,而大涡数值模拟的一维网格数为:N L ES ~L/$可以节省网格数(N DNS)3-(N LES)3=[1-(G/$)3](N DNS)3,如果过滤尺度等于2倍柯氏耗散尺度的话,就可以比DNS节省87.5%的网格。

这里我们可以看到完全的湍流直接数值模拟中,绝大部分的计算量花费在耗散尺度中,对于高雷诺数流动,这是很不经济的计算。

湍流大涡数值模拟有以上的优点,人们希望这种方法可以用于实际工程设计。

事实上,湍流大涡数值模拟方法早在20世纪60年代就提出来了[2],几乎和湍流直接数值模拟平行发展。

由于人们对于计算机的发展过于乐观,期望理想的湍流直接数值模拟能够很快应用于工程实际,大涡数值模拟的研究曾经一度被忽视。

直到20世纪90年代初,人们认识到实现理想的湍流直接数值模拟太遥远。

于是,湍流界重新侧重湍流大涡数值模拟的研究,并且取得可观的进展。

例如,提出了非均匀过滤器的合理设计,以减小交换误差;明确了湍流大涡数值模拟方法必须具有2阶以上的精度;提出了亚格子动力模式等。

与此同时,湍流大涡数值模拟在一些典型复杂湍流算例的考核中取得了很好的结果;例如,平面扩压器[3]、绕圆柱流动[4]等。

在湍流大涡数值模拟的实际应用中,研究人员进一步发现若干需要解决的问题。

本文1至4节陈述正确应用湍流大涡数值模拟方法的要点和进一步需要研究的问题,包括:脉动的过滤、亚格子模型、近壁模型和标量湍流的大涡数值模拟中的特殊问题;本文强调大涡数值模拟中亚格子应力的本质是可解尺度湍流和不可解尺度湍流间的输运,准确反映该机制是建立合理亚格子模型的正确途径。

第5节介绍我们提出的新型亚格子模式;文章最后是关于大涡模拟方法的简要展望。

1合理的过滤尺度和过滤器的设计湍流大涡数值模拟方法的基础是将耗散性的小尺度脉动过滤掉。

合理的大涡数值模拟结果应当和过滤尺度无关。

高雷诺数湍流具有局部各向同性,我们可以将湍流脉动划分为三个尺度。

耗散尺度G、含能尺度L(湍动能最大值的尺度)和惯性子区尺度l in。

惯性子区尺度具有以下性质:L m l in m G(4)我们知道在惯性子区中的湍流脉动具有普适的统计特性,如-5/3次方能谱等。

如果湍流大涡数值模拟过滤尺度在惯性子区内,则亚格子湍流的输运特性具有某种普适的性质。

通常含能尺度和平均流动的特征尺度同一量级,比如,湍流边界层中含能尺度和边界层厚度同一量级,即L~D;惯性子区尺度和湍流脉动的泰勒微尺度同一量级,即l in~K。

因此湍流边界层内过滤尺度应当在以下范围内:D m$~K(5)过滤器尺度可以大于或等于计算网格尺度,而在几何结构上空间过滤器应当和网格相匹配。

如果数值计算采用均匀网格,三维空间过滤器是等尺度的,这种均匀过滤过程和求导数运算是可交换的,前面导122空气动力学学报第22卷出的公式(3a,3b)是精确的。

然而,复杂几何绕流的计算网格总是非均匀的,这时,空间过滤也是不均匀的,非均匀过滤过程和求导数运算不可交换,前面导出的公式(3a,3b)中有残余误差。

已经证明,非均匀过滤的残余误差和过滤尺度的平方成正比[5];同时文献[5]提出了修正过滤器的方法以减小残余误差。

总之,过滤器和求导的交换性曾经是一个问题,而现在已经有设计可交换过滤器的指导性原则。

2亚格子应力的模型亚格子应力模型是湍流大涡数值模拟的核心问题。

最早提出的亚格子应力模型是参照雷诺平均模式的唯象涡粘模型,例如,至今还常用的Smargorinsky 模型[6]:S$i j=2M t S i j-13S$kk D i j=(C s$)2 S i j(2 S i j S i j)/12-13S$kk D ij(6)Smargorinsky模型认为亚格子湍流具有混合长度型的涡粘系数,混合长度和过滤尺度同一量级,并用各向同性湍流的统计特性确定模型常数C s=0.18。

稍后,有人参照雷诺平均模式中的k-E模型的思想,建立亚格子涡粘模型。

它们同属涡粘类模型,而改进甚少、但计算量增加,所以没有得到推广。

涡粘模型的最大优点是简单,如果调整模型系数能够保证模型的亚格子耗散和实际亚格子耗散一致, Smargorinsky模型可以得到相当好的数值结果。

例如,在槽道或边界层中往往设置C s=0.10,或者更小。

Smargorinsky模型属于耗散型,就是说,在流场中任意一点都是从可解尺度湍流向不可解湍流输送能量,而不存在相反方向的能量传递,即所谓逆传。

而在实际复杂湍流中,已经发现可能存在局部逆传。

Smargorinsky模型的主要缺陷是总体上耗散过大,它属于唯象论模型。

前面曾经指出:亚格子应力实质上是可解尺度湍流和不可解尺度湍流间的动量输运。

从输运机制出发建立亚格子应力模型是正确的途径。

尺度相似模型(SSM)假定可解尺度中的最小尺度脉动和不可解尺度脉动具有相似性,根据这一假定,可以导出亚格子应力[7]:S$i j=C ss( u i u j- u i u j)(7)式(7)中系数C ss=1。

公式(7)的优点是能够比较准确地表达可解尺度和不可解尺度间的动量输运关系,这一点已由各向同性湍流的直接数值模拟结果证实。

由于SSM模型抛弃了涡粘假设,它不是单纯耗散性的,既可以由可解尺度湍流向不可解尺度湍流输送能量,也可以有逆传。

然而,SSM模型的致命缺点是严重耗散不足;此外,由于存在逆传(相当于负涡粘系数),数值计算的稳定性很差。