M o ( F ) Fd
o 点称为力矩的中心，简称矩心；o 点到力 F 作用 线的垂直距离 d ,称为力臂。
力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动为正，反之为负。
力矩的单位：国际制
N，m
kN m
kg m
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
§2-2 力矩和力偶
一、 力矩
（一）力对点之矩
∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑MO(F)=0
上述三组方程是平面一般力系平 衡方程的三种表达形式，实际计算时 应根据问题的具体条件来选择其中的 一组方程。但不论采用哪种形式，都 只有写出三个独立的平衡方程才可以 求解三个未知量。
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第二章 平面力系
例1-8
已知F=15kN，M=3kN.m，求A、B处支座反力 解：
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第二章 平面力系
§2-2 力矩和力偶
二、力偶
1. 力偶的概念
把作用在同一物体上大小相等、方向相反但不共线的 一对平行力组成的力系称为力偶，记作（F,F`）
F
d
力偶臂
F'
力偶作用面
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第二章 平面力系
§2-2 力矩和力偶
二、力偶
2. 力偶矩
在力偶作用面内，力偶对物体的转动效应取决于力偶中力和力 臂乘积的大小以及力偶的转向。因此，在力学中用力的大小F与力 偶臂d的乘积Fd加上正负号作为度量力偶对物体的转动效应的物理 量，称为力偶矩。
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第二章 平面力系
§1-7 平面力系的平衡
二、平面一般力系的平衡条件
2、平面一般力系的平衡条件 其他形式：
∑Fx=0
二力矩式
∑MA(F)=0
∑MB(F)=0
其中A、B两点连线不能与x轴垂直。
三力矩式
M A ( F ) 0 M B ( F ) 0 其中A、B、C三点不能共线。。 M C ( F ) 0
1、画受力图，并建立坐标系
2、列方程
F
M
x
A
0 FAx 0
(F ) 0
FB 3 F 2 M 0 FB (3 2 15) / 3 11kN
F
y
0
FAy FB F 0 FAy F FB 4kN
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第二章 平面力系
力偶对物体的作用效应只有转动效应，而转动效应由 力偶的大小和转向来度量，因此，力偶系的作用效果也 只能是产生转动，其转动效应的大小等于各力偶转动效 应的总和。可以证明，平面力偶系合成的结果为一合力 偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。即：
M=M1+M2+…+Mn=∑Mi
(1.14)
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M M1 M2
Mn Mi =0
i 1
n
平面力偶系的平衡方程只有一个，只能求解一个未知数。
休息时间
y
Fx
F

（二）合力矩定理
合力对平面内任意一点之矩， F 等于所有分力对同一点之矩的代数 和。
o
r
d
x
A
y

Fy
x
M O F M O F1 M O F2 M O Fn
即：
Mo (FR ) Mo (F )
利用合力矩定理可以简化力矩的计算
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§1-7 平面力系的平衡
二、平面特殊力系的平衡条件
1、平面汇交力系的平衡条件 ∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑MO(F)=0
在平面汇交力系中，因∑MO(F) ≡0 ，所以其平衡方程为：
∑Fx=0
∑Fy=0
平面汇交力系的平衡条件有两个独立的方程，可以求解两个未 知数。
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第二章 平面力系
平面汇交力系平衡条件的应用 [例] 已知 P=2kN 求FCD , RA
推论1：力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的 转动效应。
推论2：只要保持力偶矩的大小、转向不变，可以同时改变力 偶中的力和力偶臂的大小，而不改变它对物体的转动 效应。 M M
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第二章 平面力系
§2-2 力矩和力偶
二、力偶
4. 平面力偶系的合成 在物体的某一平面内同时作用有两个或两个以上的 力偶时，这群力偶，就称为平面力偶系。
要想把力平移而又不改变其对物 体的作用效果，需要附加什么条件 呢？呢？
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第二章 平面力系
§1-7 平面力系的平衡
一、力的平移定理
作用在刚体上的力可平移到该刚体内任一指定点，但必 须同时附加一力偶才能与原力等效，附加的力偶矩等于原力 对该指定点之矩。
力的平移定理是力系简化的 基础。
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第二章 平面力系
§1-7 平面力系的平衡
二、平面一般力系的平衡条件
1、平面一般力系的合成 要将平面一般力系合成，可应用力的平移定理，将 力系中各力都平移到平面内的任一点O（简化中心）， 于是得到一个汇交于O点的平面汇交力系和一个附加的 平面力偶系。平面汇交力系可以合成为作用在O点的一 个力和一个力偶。 可见，平面一般力系合成的结果，是一个力和一 个力偶。
F1
80mm
休息时间
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第二章 平面力系
§1-7 平面力系的平衡
一、力的平移定理
平面一般力系：同一平面上的各力既不全汇交于一点，也不全
互相平行。
在分析计算中，我们需要对平面一般力系进行简化，即简化为平面 汇交力系和平面力偶系。这就需要将力的作用线进行平移，但使力离开作 用线，平行移动到任一点上，就会改变它对物体的作用效果。
第二章 平面力系
• 【例2.1】如图所示每1m长挡土墙
• 所受的压力的合力为F，它的大小为 • 160kN，方向如图所示。求土压力F
• 使墙倾覆的力矩。
• 【解】土压力F 可使墙绕点A倾覆， • 故求F 对点A的力矩。 • 采用合力矩定理进行计算比较方便。 • MA(F) =MA(F1)+MA(F2)=F1×h/3-F2b
平衡。力偶在任意轴上的投影等于零。
（2）力偶对其平面内任意点之矩，恒等于其力偶矩，而与矩心的
位置无关。
（3）力偶的等效性。在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶
矩大小相等，力偶的转向相同，则这两个力偶是等效的。
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第二章 平面力系
§2-2 力矩和力偶
二、力偶
根据力偶的等效性，可以得出以下两个推论：
解：①以AB杆为研究对象
②画AB杆的 受力图
③列平衡方程 ∑Fx=0 ∑Fy=0 ④解平衡方程

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第二章 平面力系
§1-7 平面力系的平衡
二、平面特殊力系的平衡条件
2、平面平行力系的平衡条件 ∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑MO(F)=0
Fx 0 M A ( F ) 0 M B ( F ) 0
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第二章 平面力系
§1-7 平面力系的平衡
二、平面一般力系的平衡条件
2、平面一般力系的平衡条件
Fx 0 M A ( F ) 0 M B ( F ) 0 M A ( F ) 0 M B ( F ) 0 M C ( F ) 0
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第二章 平面力系
§2-2 力矩和力偶
一、 力矩
（一）力对点之矩
实践经验告诉我们：力F使物体绕某点O转动的效应，不仅与 力F的大小成正比，而且还与力F的作用线到O点的垂直距离d 成正比。
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第二章 平面力系
§2-2 力矩和力偶
一、 力矩
（一）力对点之矩
l
d
A
o
将力F与O点到力F作用线的垂直距离d的乘积Fd并加上 正负号称为力F对O点的力矩，用MO(F)表示，即
第二章 平面力系
§2-2 力矩和力偶
二、力偶
4. 平面力偶系的合成
例1-7
两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 F1=F2 = 1.5KN F3=F4 = 1KN,求作用在板上的合力偶矩。
F3
mm 180
F4
F2
【解】
M M1 M 2
F1d1 F3d 2
1.5 0.08 1 0.18 0.3kN m
M ( F , F ' ) Fd 或 M Fd
力偶矩的正负号的规定和单位跟力矩相同 3. 力偶的三要素 （1）力偶矩的大小； （2）力偶的方向； （3）力偶的作用面。
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第二章 平面力系
§2-2 力矩和力偶
二、力偶
3. 力偶的性质
（1）力偶无合力，不能与一个力平衡和等效，力偶只能用力偶来
说明：
① 力矩是一个代数量； ② 力矩的大小与矩心的位置有关，同一个力对于不同 的矩心，力矩是不相同的。 ③力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如果 一个力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此力 的作用线必通过该点。
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第二章 平面力系
§2-2 力矩和力偶
一、 力矩
（一）力对点之矩
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第二章 平面力系
1、平面一般力系的合成
F1 F2 O F3 F'n F'1 M1 O Mn M2 F'2
Fn F'1
M3 F'3
F'R
F'2 M1 O M2 O Mn M3
=
F'n
+
F'3
=
O