运输方案问题的优化模型
摘要：本文研究运输最优化问题。
运输问题(Transportation Problem)是一个典型的线性规划问题。
一般的运输问题就是要解决把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，在每个产地的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定一个使得总的运输费用最小的方案的问题。
本论文运用线性规划的数学模型来解决此运输问题中总费用最小的问题。
引入x变量作为决策变量，建立目标函数，列出约束条件，借助LINGO软件进行模型求解运算，得出其中的最优解，使得把某种产品从2个产地调运到3个客户的总费用最小。
关键词：LINGO软件运输模型最优化线性规划
1问题重述与问题分析
1、1 问题重述
要把一种产品从产地运到客户处,发量、收量及产地到客户的运输费单价如表1所示。
表1 运输费用表
客户1 客户2 客户3 发量产地1 10 4 12 3000 产地2 8 10 3 4000 需求量2000 1500 5000
这是一个供求不平衡问题，产品缺少1500个单位，因此决定运输方案应按下列目标满足要求：
第一目标，客户1为重要部门，需求量必须全部满足；
第二目标，满足其他两个客户至少75%的需要量；
第三目标，使运费尽量少；
第四目标，从产地2到客户1的运量至少有1000个单位。
1、2 问题分析
运输方案就是安排从两个产地向三个客户运送产品的最佳方案，目标是使运费最少。
而从题目来看产品的总量只有7000个单位，客户的需求量却有8500个单位，产品明显的缺了1500各单位，所以至少要按以下要求分配运输，首先
客户1为重要部门，需求量必须全部满足，从产地2到客户1的运量至少有1000个单位，即至少向客户1发2000个单位，且从产地2向客户1发的要大于等于1000个单位；其次满足其他两个客户至少75%的需要量，即至少得向客户2发1125个单位，至少向客户3发3750个单位。
最佳的运输方案就是满足了要求中的发量，而让运输费用最少的方案。
2、模型的假设
1）运输过程中道路畅通，无交通事故、交通堵塞等发生，运输车行驶正常；2）从产地到客户整个路途中，所走的路程都是最短的；
3）每一个产地都有一个固定的供应量，所有的供应量都必须配送到各个销地；4）每一个销地都有一个固定的需求量，整个需求量都必须由产地满足；
5）从任何一个产地到任何一个销地的物品运输成本和所运输的数量成线性比例关系；
6）这个成本就等于运输的单位成本乘以运输的数量。
3符号说明
A,2A表示该产品的两个产地；
①
1
②1B ,2B ,3B 表示该产品的客户； ③i a 表示产地i A 的产量； ④j b 表示销地j B 的销量；
⑤ij c 表示把物资从产地i A 运到销地j B 的单位运价; ⑥ij x 表示把物资从产地i A 运到销地j B 的运输量； ⑦min Z 表示将物资从产地i A 运到销地j B 总费用的最小值。
4、模型的建立与求解
设计运输方案，让运输费用最少而又满足客户的需求量，要解决这个问题，我们必须针对题目中的约束条件进行分析。
我们要让运输费用最少就是在满足需求的情况下把尽多的产品发给运费单价最少的客户。
设ij c 为从产地i A 到客户
j B 运费的单价，ij x 为从产地i A 到客户j B 的运输量，因此总运费为
∑∑==m i n
j ij ij x c 11
第i 个产地的运出量应小于或等于该地的生产量，即： i n
j ij a x ≤∑=1
第j 个销地的运入量应等于该地的需求量，即：
j m
i ij
b x
=∑=1
因此，运输问题的数学表达式为:
min
∑∑==m i n
j ij
ij x
c 11
..t s i n
j ij a x ≤∑=1
m i ,,2,1 =
j m
i ij b x =∑=1
n j ,,2,1 =
0≥ij x m i ,,2,1 = n j ,,2,1 =
称具有形如式以上式子的线性规划问题为运输问题.
∑∑==≠n
j j
m i i b
a 1
1
即运输问题的总产量不等于总需求量，这样的运输问题称为产销不
平衡的运输问题。
从题目中可以看出客户的需求量大于产量，所以属于产销不平衡的问题。
由于总生产量小于总需求量,虚设产地3,发量为1500个单位,到各个客户的运输单价为0。
绘制虚设产地以后的产地运到客户处,发量、收量及产地到客户的运输费单价如下表所示。
客户1 客户2 客户3 发量 产地1 10 4 12 3000 产地2 8 10 3 4000 产地3 0 0 0 1500 需求量
2000
1500
5000
很明显，决策变量为产地1，产地2，产地3三个产地分别向三个客户的发量。
由上分析，问题的目标是运输费用最少，于是有目标函数：
;312104810231322122111x x x x x x MinZ +++++=
约束条件有两类：一类是产地的生产量限制，另一类是个客户的需求量限制。
由于产地的产量总能发出并获利，产地的产量限制可以表示为：
150040003000
333231232221131211<=++<=++<=++x x x x x x x x x
考虑到个客户的需求量，需求量限制可以表示为：
5000
15002000
332313322212312111<=++<=++<=++x x x x x x x x x
又因为实际总产地的发量小于总客户的需求量即共不应求，由题目客户1为重要部门，需求量必须全部满足；满足其他两个客户至少75%的需要量；使运费尽量少；从产地2到客户1的运量至少有1000个单位，可知需求量的限制可以表示为：
100
37501125200021332313322212312111>=>=++>=++>=++x x x x x x x x x x
利用运输问题的求解方法,用LINGO 软件求解,在LINGO 中输入：
Minz=10*x11+8*x21+4*x12+10*x22+12*x13+3*x23; x11+x21=2000;
x11+x12+x13<=3000;
x21+x22+x23<=4000;
x31+x32+x33=1500;
x21>=1000;
x12+x22+x32>=1125;
x13+x23+x33>=3750;
x11+x12+x13+x21+x22+x23+x31+x32+x33<=8500; end
gin 9
运行结果为：
从以上结果可以看出最少运输费用为33750，最佳分配方案为：产地1向客户1的发量为1000个单位，产地2向客户1的发量为1000个单位，产地1向客户2的发量为375个单位，产地2向客户2的发量为750个单位，产地1不向客户3发，产地2向客户3发2250个单位。
运输方案如下表所示.
客户1 客户2 客户3 发量产地1 1000 375 0 3000 产地2 1000 750 2250 4000 产地3 0 0 1500 1500 需求量2000 1500 5000
5模型评价
优点：我们通过题目要求分析出了目标函数，写出了约束条件，建立了模型，该模型建立出了较理想状态下最优分配方案，可使运费最少。
缺点：该模型有一定的局限性，如现实中不能时刻都保证道路的畅通，为了
更贴近实际，应考虑道路的畅通性对运输过程中的影响。
另外，模型较简单，可能误差较大。
6、模型推广与应用
在经济高速发展的今天，我们更应该做一个好的决策，找一个好的方案让效益最好。
此模型可以用于求解运输的分配方案，如自来水的运输、货物的运输分配等。
只有建立合理的分配方案，按照分陪方案去实施，才能获得最大利益。
7、参考文献：
[1]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型[M]，北京:高等教育出版社，2003。
[2]王向东，戎海武，文翰，数学实验[M] ，北京:高等教育出版社，2004。
[3]钱湔，运筹学[M] ，北京:科学出版社，2000。
[4]张德富，高级算法[M] ，北京:国防大学出版社，2004。
[5]严蔚敏，陈文博，数据结构及应用算法教程[M] ，北京:清华大学出版社，2001。
7、附录：
Minz=10*x11+8*x21+4*x12+10*x22+12*x13+3*x23; x11+x21=2000;
x11+x12+x13<=3000;
x21+x22+x23<=4000;
x31+x32+x33=1500;
x21>=1000;
x12+x22+x32>=1125;
x13+x23+x33>=3750;
x11+x12+x13+x21+x22+x23+x31+x32+x33<=8500; end
gin 9。