（二）调和平均数
调和平均数(Harmonic mean)是均值的另 一种重要表示形式，由于它是根据变量值 倒数计算的，也叫倒数平均数，一般用字 母表示 Hm。 根据所给资料情况的不同，调和平均数可 分为：简单调和平均数和加权调和平均数 两种。

（二）调和平均数

1．简单调和平均数
n 1 1 1 x1 x2 xn n
i
由此可以看出，当权重mi相等时，则加权调和平 均数则转换为简单调和平均数。 例
（二）调和平均数
3．调和平均数是算术平均数的变形 在一定的条件下，加权调和平均数和加权算术 平均数只是计算形式不同，在经济内容上没有 实质性的区别，调和平均数是算术平均数的变 形，是在缺少总体单位的资料时才被迫使用的 计算平均数的一种方法。即：
3．根据组距数列确定中位数 如果我们掌握的资料是分组后得到的组 距数列，则确定中位数的步骤为： （1）确定中位数的位置 。 （2）计算累计次数，据以找出中位数 所在的组。 （3）利用以下公式，确定中位数的近 似值 f 1

i

i
2
（一）中位数
fi
下限公式： M e L 2 s m 1 fm s m 1 i
集中趋势（General tendency）是指分布 的定位，它是指一组数据向某一中心值靠 拢的倾向，或是表明一组统计数据所具有 的一般水平。 对集中趋势进行测度也就是寻找数据一般 水平的代表值或中心值。 对集中趋势的度量有数值平均数和位置平 均数之分。

4.1 数据分布的集中趋势测度
数据的特征和度量

（一）中位数
1．根据未分组数据确定中位数 对于未分组的数据，确定其中位数的具体 步骤为： （1）将变量按变量值大小从小到大进行 排列。 （2）确定中位数的位置，即中点位置。 一般的，设一组数据的个数为，则中点的 位置为（n＋1）/2 。 （3）确定中位数。

（一）中位数
如果观测值的数目n为奇数，则（n＋1） /2为整数，该位置上所对应的变量即为所 求的中位数 如果观测值的数目n为偶数，则 （n＋1） /2为非整数，则取位于中间位置的两个变 量值的算术平均数作为中位数。 例

（一）算术平均数
③加权算术平均数计算公式中频数的大小起着 重要作用，当变量值比较大的次数多时，平均 数就接近于变量值大的一方；当变量值比较小 的次数多时，平均数就接近于变量值小的一方。 可见，次数对变量值在平均数中的影响起着某 种权衡轻重的作用，因此被称为权数。 ④在加权算术平均数计算中当各组变量的权重 相等时，则权重的权衡轻重的作用也就消失了， 此时加权算术平均数转化为简单算术平均数的 计算形式。
x1 x 2 x3 x 4 x5 46 54 42 46 32 44 5 5
xi x n
（一）算术平均数
2．加权算术平均数 加权算术平均数计算的所依靠的数据是经 过一定整理的，即是根据一定规则分组的。 可分为 （1）由数列计算加权算术平均数 （2）根据组距计算加权算术平均数
xi f i xi f i n fi
（一）算术平均数

设某班级10名同学的年龄分别为：18， 19，17，18，17，18，19，18，18， 19。则根据简单平均数的公式，我们可 计算得到该班10名同学的平均年龄：
n 10
x i 18 19 17 18 17 18 19 18 18 19 x 18
集中趋势
算术平均数 调和平均数 几何平均数 中位数 众数 百分位数 四分位数
离中趋势
极差 四分位距 平均差 方差与标准差 标准分数 离散系数
分布形状
偏态测度 峰态测度
一、数值平均数
数值平均数又称均值（Mean），是根 据统计资料的数值计算而得到，在统计 学中具有重要的作用和地位，是度量集 中趋势的最主要的指标之一。 平均的对象可理解为变量 x ，平均数可 记为 x 。

（一）算术平均数
1．简单算术平均数 简单算术平均数是根据原始数据直接计算 均值。一般地，设一组数据为，其简单算 术平均数计算的一般公式可表达为 :

x1 x 2 x n x n
xi
n
（一）算术平均数

例如：为了研究目前大学中班级学生人 数的情况，从北京某大学抽样五个班级， 其学生人数分别为：46，54，42，46， x5 x2 分别表示 32。我们使用， x1… 该五个数据，计算其均值，可以写成：
fi
上限公式： M e U 2
fm 式中： L ——中位数所在组的下限； U ——中位数所在组的上限； S m 1 ——从低到高累计至中位数所在组前一组止的次数； S m 1 ——从高到低累计至中位数所在组后一组止的次数；
i
f m ——中位数所在组的次数； i ——中位数所在组的组距。
第4章 描述统计中的测度
数据的特征和度量
对于描述统计中的测度，主要可以分为三 个方面来描述： 一是数据的集中趋势，反映各数据向其中 心值靠拢或聚焦的程度； 二是分布的离散程度，反映各数据远离其 中心值的趋势； 三是数据分布的形状，即数据分布的偏态 和峰度。

4.1 数据分布的集中趋势测度

（三）几何平均数
1．简单几何平均数 假定有n个变量值x1,x2,……xn，则简单几 何平均数的基本计算公式为：

G n x1 x2 xn n
x
i 1
n
i
（三）几何平均数
2．加权几何平均数 当掌握的数据资料为分组资料，且各个变 量值出现的次数不相同时，应用加权方法 计算几何平均数。 加权几何平均数的公式为：
f m 1 ——从高到低累计至众数所在组后一组的次数；
i ——众数所在组的组距。
二、众数、中位数与均值的比较
（一）正态分布时三者的关系 正态分布是以算术平均数为对称轴，两边 频数相等。其中频数最大的标志值就是数 列居中位置的标志值，也就是权数最大、 最具有代表性的那个变量值。因此，正态 分布时，算术平均数、中位数和众位数（Median）是度量数据集中趋势的 另一重要测度，它是一组数据按数值的大 小从小到大排序后，处于中点位置上的变 量值。通常用表示Me。 定义表明，中位数就是将某变量的全部数 据均等地分为两半的那个变量值。其中， 一半数值小于中位数，另一半数值大于中 位数。 中位数是一个位置代表值，因此它不受极 端变量值影响。
Hm

1 xi
事实上简单调和平均数是权数均相等条件下的 加权调和平均数的特例。当权数相等时，就产 生了通常所说的加权调和平均数。例
（二）调和平均数
2．加权调和平均数 用公式表示为：

m1 m 2 m n Hm mn m1 m 2 x1 x2 xn
mi
mi mi x

（二）众数
1．未分组资料或单项数列资料众数 观察给定的数据，某个变量出现次数最 多，则该变量即为所求众数。这样的方 法确定比较容易，不需要计算。

（二）众数

2．根据组距变量数量确定众数,具体步骤为：
（1） 确定众数的位置。 将次数最多的组确定为众数组， 因为众数一定在次数最多的组里面。 （2）利用以下公式，确定众数的近似值： f m f m 1 下限公式： M o L i f m f m1 f m f m1 f m f m 1 上限公式： M e U i f m f m1 f m f m1 式中： L ——众数所在组的下限； U ——众数所在组的上限； f m ——众数所在组的次数； f m 1 ——从低到高累计至众数所在组前一组的次数；

（一）算术平均数
（1）由数列计算加权算术平均数 由单项变量数列计算加权算术平均数的基 础是要先将数据进行分组，即将n个数据 按变量值（xi）进行分组，并统计在各个 变量取值出现的次数，或称为频数（ fi ）。 其加权算术平均数的计算公式如下：

x1 f 1 x 2 f 2 x n f n x f1 f 2 f n

x Me Mo
二、众数、中位数与均值的比较
f
x Me Mo
图4.1单峰对称分布
x
f
f
x
Me
Mo
x
Mo
Me x
x
图4.2左偏分布平均数、中位数和众数的关系
图4.3右偏分布平均数、中位数和众数的关系
二、众数、中位数与均值的比较
（二）偏态分布时三者的关系 频数分布呈偏态时，算术平均数、中位数和 众数的计算结果不同。当右偏时，算术平均数 大于中位数，而中位数又大于众数，左偏时众 数大于中位数，中位数大于算术平均数。 在 偏态分布情况下，算术平均数、中位数和众数 的上述关系是容易理解的，由于算术平均数受 极端值影响，在发生右偏出现较大极端值时， 算术平均数将增加得更快，而中位数总是居于 中间位置，。 x Me Mo 左偏同样可作类似的解释，从而有
（一）算术平均数
年龄（岁）
17 18 19 合计
x
人数
2 6 2 10
f
人数比重
f
f
2/10 (0.2) 6/10 (0.6) 2/10 (0.2) 1
xi f i x 17 2 18 6 19 2 / 2 6 2 18 f
（一）算术平均数
（2）根据组距计算加权算术平均数 选择适当的组距来对数据进行分组，再求 加权平均数往往就简单、容易许多。根据 组距计算加权平均数的方法与上面所述的 数列加权平均数方法基本相同，只需以各 组的组中值来代替相应的x值即可

m1 m2 mn Hm mn m1 m2 x1 x2 xn