参数估计习题一、填空题1、设总体2(,)X Nμσ，若2σ已知，总体均值μ的置信度为1α-的置信区间为：x x⎛-+⎝，则λ=；2、设由来自正态总体2(,0.9)X N μ的样本容量为9的简单随机样本，得样本均值5x=，则未知参数μ的置信度0.95的置信区间为；3、设12,X X为来自总体2(,)X Nμσ的样本，若1211999CX X+为μ的一个无偏估计，则C=；4、设12,,,nX X X为来自正态总体2(,)Nμσ的样本，,a b为常数，且0a b<<，则随机区间2211()(),n ni ii iX Xb aμμ==⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑∑的长度L的数学期望为；5、设ˆθ是未知参数θ的估计量，若称ˆθ为θ的无偏估计量，则ˆ()Eθ=；6、设12ˆˆ,θθ为总体未知参数θ的两个无偏估计量，若称1ˆθ比2ˆθ更有效，则1ˆ()Dθ1ˆ()Dθ；7、设θ为总体的未知参数，若由样本确定的两个统计量1ˆθ和2ˆθ，且12ˆˆθθ<，对于预先给定的α值（01α<<），满足12ˆˆ{}1Pθθθα<<=-，则称随机区间12ˆˆ(,)θθ为θ的1α-或100(1)%α-置信区间，其中为置信上限，为置信下限，称为置信度；8、设12,,,nX X X为来自正态总体2(,)Nμσ的一个样本，样本均值11niiX Xn==∑是的无偏估计量；9、设12,,,nX X X是取自总体X的一个样本，2()D Xσ=，则2211()1niiS X Xn==--∑为的无偏估计量；10、设12,,,n x x x 是取自总体2(,)XN μσ的一组样本值，则2σ的置信度为(1)α-的置信区间是 。

二、 选择题 1、 设总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，则总体均值μ的置信区间长度l 与置信度1α-的关系是（ ）.1-.1-.1-.A l B l C l D ααα当缩小时，缩短 当缩小时，增大当缩小时，不变 以上说法均错2、 设总体2(,)XN μσ，2σ已知，若样本容量n 和置信度1α-均不变，则对于不同的样本观测值，总体均值μ的置信区间的长度（ ）....A B C D 变长 变短 不变 不能确定3、 设随机变量12,,,n X X X 相互独立且同分布2(,)XN μσ，11ni i X X n ==∑，2211()1ni i S X X n ==--∑，2()i D X σ=，则2S （ ） 2....A B C D σσμ是的有效估计 是的无偏估计是的无偏估计 不能确定4、设ˆθ是未知参数θ的估计量，如果ˆ()E θθ=，则称ˆθ为θ的（ ） ....A B C D 有偏估计量 无偏估计量一致估计量有效估计量5、设总体X 的分布中，未知参数θ的置信度为1α-的置信区间是[]12,T T ，即12()1P T T θα≤≤=-，则下列说法正确的是（ ）1212121212.[,].[,]..[,]A T T t t ,t t B T T C D T T θθααθθθ∈对，的观测值，必有 以的概率落入区间区间以1-的概率包含 的数学期望E()必属于6、α越小，则1α-就越大，θ落在区间12ˆˆ,θθ⎡⎤⎣⎦内的概率就越大。

对于给定的置信度1α-，使12ˆˆ,θθ⎡⎤⎣⎦平均长度最小的区间估计是（ ）....A B C D 最好的区间估计 最差的区间估计无偏估计 以上说法均错7、设12,,,n X X X 是取自总体X 的一个样本，不是无偏估计量的是（ ）2211221111..()1.().1nnii i i n i i A X X B S X X n n C S X X D X n ====---∑∑∑==8、设12,,,n X X X 是取自总体2(,)XN μσ的一个样本，12211ˆ()n i i i k X X σ-+==-∑，若使2ˆσ为2σ的无偏估计量，则k =（ ） 1111....122(1)A B C D nn nn --9、设12,X X 是取自总体2(,)X N μσ的一个样本， μ的无偏估计量中最有效的是（ ）1122123124121121ˆˆ..22331114ˆˆ..4455A X XB X XC X XD X X μμμμ=+=+=+=+10、区间估计给出了估计的精度与可靠度(1)α-，其精度与可靠度是相互制约的，即（ ）....A B C D 精度越高（置信区间的长度越小），可靠度越低精度越高（置信区间的长度越大），可靠度也越高精度越低（置信区间的长度越小），可靠度越高精度越低（置信区间的长度越大），可靠度也越低三、 计算题和证明题 1、设12,,,n X X X 是总体2(,)XN μσ的一个简单随机样本，试证：2211()1n i i S X X n ==--∑（其中11n i i X X n ==∑）是()D X 的无偏估计量。

2、设12,,,n X X X 为取自总体20(,)XN μσ的简单随机样本，其中0μ为已知常数，选择统计量2012()nii XU μσ=-=∑，求2σ的1α-置信区间。

3、设12,X X 为来自总体(,1)N μ（μ未知）的一个样本，112212312211311ˆˆˆ,,334422X X X X X X μμμ=+=+=+，试证这三个估计量都是μ的无偏估计量，并确认最有效的一个。

。

4、 设12,,,n X X X 为取自总体2(,)N μσ的简单随机样本，试恰当选择常数C ，使1211()n i i i C X X -+=-∑为2σ的无偏估计。

5、 设12,,,n X X X 为取自总体2(,)XN μσ的简单随机样本，试证：估计量11ni i X X n ==∑，1n i i i W X α==∑（0i α≥为常数，11ni i α==∑）都是()E X 的无偏估计量。

6、 设从总体2(,)N μσ中分别抽取容量为12,n n 的两个独立样本，样本均值分别记为12,X X ，试证：对于任意满足1a b +=的常数a 和b ，12T aX bX =+都是μ的无偏估计量。

7、 设12100,,,X X X 为取自总体(,1)N μ的简单随机样本，测得均值为5，试求X的期望的置信度等于0.95的置信区间。

8、 从一批钉子中随机抽取16枚，测得其长度（单位：cm ）为2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10 2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11 假设钉子的长度2(,0.01)X N μ，求总体均值μ的置信度为99%的置信区间。

9、 从一批钉子中随机抽取16枚，测得其长度（单位：cm ）为2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10 2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11 假设钉子的长度2(,)XN μσ，求总体均值μ的置信度为99%的置信区间。

0.95(15) 1.7531t =10、 随机地取某种炮弹9发做试验，测得炮口速度的样本标准差11S =（米/秒）。

设炮口速度2(,)XN μσ，求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的95%的置信区间。

11、 假设0.50，1.25，0.80，2.00是来自总体X 的简单随机样本，已知ln Y X =服从正态分布(,1)N μ，求μ的置信度为0.95的置信区间。

12、 设某产品的性能指标2(,)XN μσ，现在随机抽取20个产品进行检测，检测后经计算得这些产品的性能指标均值 5.21x =，方差20.049s =，试求X 的标准差σ的置信区间为0.95的置信区间。

13、 有一大批糖果，现从中随机地取16袋，称得重量（克）如下：506，508，499，503，504，510，497，512 514，505，493，496，506，502，509，496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间。

14、 有一大批糖果，现从中随机地取16袋，称得重量（克）如下：506，508，499，503，504，510，497，512 514，505，493，496，506，502，509，496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体标准差σ的置信水平为0.95的置信区间。

15、 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0 设干燥的时间总体服从正态分布2(,0.6)N μ。

求μ的置信水平为0.95的置信区间。

16、设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0设干燥的时间总体服从正态分布2Nμσ。

求μ的置信水平为0.95的置信区间。

(,)17、从某种灯泡的总体中，随机抽取10个样本，测得其寿命（小时）为1520 1483 1827 1654 16311483 1411 1660 1540 1987试求方差的无偏估计。

18、设12,,,n X X X 是总体X 的一个样本，试证估计量11ni i X X n ==∑，1n i i i W a X ==∑（0i a ≥为常数，11ni i a ==∑），都是()E X 的无偏估计量，且X 的方差不超过W 的方差。

19、设12,,,n X X X 是取自总体X 的一个样本，()E X μ=，试证：22011ˆ()n i i S X n μ==-∑是总体方差的无偏估计量。

20、对样本12,,,n X X X 做变换()i i Y m X a =-（,a m 为常数，0m ≠），试证222(1);1(2)X Y Y X a m S S m =+=参数估计习题答案一、填空题 1、2u αλ=2、 (4.412,5.588)3、199819994、 211n a b σ⎛⎫- ⎪⎝⎭5、 θ6、 ≤7、 2ˆθ，1ˆθ，1α-或100(1)%α- 8、 μ 9、 2σ10、 2222122(1)(1),(1)(1)n s n s n n ααχχ-⎛⎫-- ⎪⎪-- ⎪⎝⎭二、选择题 1、 A 2、 C 3、 A 4、 B 5、 C 6、 A 7、 B 8、 D 9、 A 10、A三、计算证明题1、证：2221111()()()11n n i i i i E S E X X E X X n n ==⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦∑∑ 222222111111()()()()111n n n i i i i i E X nX E X nE X E X nE X n n n ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑22221()()()()()()11n nE X nE X D X E X D X E X n n ⎡⎤⎡⎤=-=--+⎣⎦⎣⎦-- 22()()()()()1n D X D X E X E X D X n n ⎡⎤=--+=⎢⎥-⎣⎦其中22()()(),()(),()i D X E X E X E X E X D X n===2、解：20212()()nii XU n μχσ=-=∑，于是222022112()()()nii Xn n ααμχχσ=--<<∑2σ的1α-置信区间为： 22220011221()(),()()n ni i i i X X n n ααμμχχ==-⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ 3、证： (),()1,(1,2)i i E X D X i μ===，于是1122121ˆ()()()3333E E X E X μμμμ=+=+= 213ˆ()44E μμμμ=+= 311ˆ()22E μμμμ=+= 故123ˆˆˆ,,μμμ均为μ的无偏估计量。