第三节 函数的极限
一、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义 ：设函数()x f 当x 大于某一个正数时有定义，如果对于任意给定的0>ε（任意小）总存在正数X ，当X x >时，一定有 那么常数A 称为函数()x f 当∞→x 时的极限，记为()A x f x =∞
→lim ，或
()()∞→→x A x f 。
例1 ：证明 1）65
6lim =+∞→x
x x ； 2）()101lim 1
<<=∞→a a x x 证明：1）对于任给的（任意小）0>ε， 取ε
5
=X ，当X x >时有
所以65
6lim
=+∞→x
x x 。
（如图6） 注 1：直线6=y 称为函数x
x y 5
6+=
的水平渐近线。
2）对于任给的（任意小）0>ε， 要使ε<-11x
a ，即()
()εεεε+-<<⇔+<<-1log 11log
111a a
a a a a x
x
当10<<a 时，指数函数是递减的，所以 令()()⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧
+--=εε1log 1
,1log 1max a a M ，则当()0<>-x x M 时有 当()0>>x M x 时有 即当M x >时总有
所以()101lim
1<<=∞
→a a x
x 。
注2:∞→x 有两个方向，一个方向越来越大，一个方向越来越小。
有些函数当自变量向不同的方向变化时，函数越来越接近的数可能不相
同。
我们来考虑函数()x x f arctan =（如图7）。
因此有时我们需要考虑某一个方向的极限，即所谓的单侧极限。
注 3：当0>x 时，且x 无限增大。
即+∞→x 。
则定义中的X x >改为
X x >，极限记为()A x f x =+∞
→lim 。
当0<x 时，且x 无限增大。
即-∞→x 。
则定义中的X x >改为X x -<，极限记为()A x f x =-∞
→lim 。
例2：证明：0sin lim
=+∞→x
x
x 证明：对于任给的（任意小）0>ε， 取ε
1
=X ，当X x >时有
所以0sin lim
=+∞→x
x
x 。
二、自变量趋于有限值时函数的极限 1）、函数极限的定义
定义 ：设函数()x f 在点0x 的某一去心邻域内有定义。
如果对于任意给定的正数ε（任意小），总存在正数δ，使得对于适合不等式
δ<-<00x x 的一切x ，对应的函数值()x f 都满足不等式
那么常数A 就叫做函数()x f 当0x x →的极限。
记为()A x f x
x =→0
lim ，或
()()0,
x x A x f →→。
例3 ：证明 3
2
121lim 221=---→x x x x 。
证明：对于任给的（任意小）0>ε， 令311<-x ，则有3
23111>⇒<-<-x x x
取⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=εδ,3
1
min ，当δ<-<10x 时有
所以3
2
121lim 221=---→x x x x 。
例4：证明20211lim 0
x x x
x +=+→。
证明：对于任给的（任意小）0>ε， 令10<-x x ，则有00011x x x x x x +<⇒<-<-
取⎪⎭⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++=εδ020211,1min x x ，当δ<-<00x x 时有
所以20211lim 0
x x x
x +=+→。
例5：证明0cos cos lim 0
x x x x =→。
证明：证明：对于任给的（任意小）0>ε，
00
0002
sin 22sin 2sin
2cos cos x x x x x x x x x x -<-<-+=-（注解） 取εδ=，当δ<-<00x x 时有 所以0cos cos lim 0
x x x x =→。
注4：函数极限的几何意义（如图9）。
前面我们考虑的自变量趋于有限值时函数的极限是同时考虑从左右两边趋近于这个有限数。
有时我们也选考虑从一边趋近于这个有限数，即所谓单侧极限。
如函数
()⎩⎨⎧<+≥+=0
3
01
22
x x x x x f 当0→x 时，此函数从左右两边越来越接近的数是
不一样的。
（如图10）
注5：当x 从右边趋近于0x 时，即00,x x x x →>，我们记作+→0x x ，只需把上面定义中的δ<-<00x x （去心邻域）改为δ+<<00x x x （右半邻域）；把()A x f x
x =→0
lim 或()()0,x x A x f →→改为()A x f x x =+
→0
l i m 或()()+→→0
,
x x A x f ；
当x 从左边趋近于0x 时，即00,x x x x →<，我们记作-→0x x ，只需把上面定义中的δ<-<00x x （去心邻域）改为00x x x <<-δ（左半邻域）；把()A x f x
x =→0
lim 或()()0,x x A x f →→改为()A x f x x =-→0
l i m 或
()()-→→0
,
x x A x f 。
例6：证明：44
44lim
2
22=+--+
→x x x x
证明：对于任给的（任意小）0>ε，
24244
442
2-=-+=-+--x x x x x （注意2>x ）
取εδ=，当δ+<<22x 时有 所以44
44lim
2
22=+--+
→x x x x 。
2）、函数极限的性质
性质1 ：（唯一性）如果数B A ,是函数()x f 当0x x →时的极限，则一定有B A =。
证明 ：假设B A ≠。
无妨设B A >，取2
B
A -=ε。
因为()A x f x x =→0lim ，
所以存在正数1δ，当10δ<-x x 时有
又因为()B x f x
x =→0
lim ，因此存在正数2δ，当20δ<-x x 时有
取{}21,m ax δδδ=，当δ<-0x x 时有 这是一个矛盾，从而证明B A =成立。
性质 2 ：（局部有界性）如果()A x f x
x =→0
lim
，则存在正数M ,δ，当δ<-<00x x 时，一定有()M x f <。
证明 ：因为()A x f x
x =→0
lim ，取1=ε，则存在正数δ，当δ<-<00x x
时有 即有 取
则得所证结论。
性质3：（局部保号性）如果()A x f x
x =→0
lim 而且0>A （或0<A ）那么就
存在着点0x 的某一去心邻域当x 在该邻域内时就有()0>x f （或
()0<x f ）。
证明 ：如果0<A ，我们取2
A
-=ε，因为()A x f x x =→0lim ，所以一定
存在正数δ当δ<-<00x x 时有 即有()02
2<=-+
<A
A A x f 。
性质4：如果在0x 的某个去心邻域内有()0≥x f （或()0≤x f ）,而且
()A x f x x =→0
lim ，那么0≥A （或0≤A ）。
证明 ：设当δ<-<00x x 时有()0≤x f 。
用反证法，假设这时有
0>A ，根据性质3，存在的一个去心邻域有，这与当时有矛盾。
所以0≤A 。
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作业：1题1、4小题、2题1、2小题、5题、7题。
思考题：你认为用极限的定义去证明极限的存在，最难处理的是哪个步骤？处理这个步骤你有何经验？。