第五章 曲线运动一知识点总结（一） 曲线运动1、曲线运动的特点：①、作曲线运动的物体，速度始终在轨迹的切线方向上，因此，曲线运动中可以肯定速度方向在变化，故曲线运动一定是变速运动；②、曲线运动中一定有加速度且加速度和速度不能在一条直线上，加速度方向一定指向曲线运动凹的那一边。

2、作曲线运动的条件：物体所受合外力与速度方向不在同一直线上。

中学阶段实际处理的合外力与速度的关系常有以下三种情况：①、合外力为恒力，合外力与速度成某一角度，如在重力作用下平抛，带电粒子垂直进入匀强电场的类平抛等。

②、合外力为变力，大小不变，仅方向变，且合外力与速度垂直，如匀速圆周运动。

③、一般情误况，合外力既是变力，又与速度不垂直时，高中阶段只作定性分析。

3、运动的合成与分解：运动的合成与分解包含了位移、加速度、速度的合成与分解。

均遵循平行四边形法则。

（一般采用正交分解法处理合运动与分运动的关系）中学阶段，运动的合成与分解是设法把曲线运动（正交）分解成直线运动再用直线运动规律求解。

常见模型： 船渡河问题； 绳通过定滑轮拉物体运动问题（二） 平抛运动1、平抛运动特点：仅受重力作用，水平方向匀速直线运动，竖直方向自由落体，是一种匀变速曲线运动；轨迹是条抛物线。

2、平抛运动规律：（从抛出点开始计时） （1）、速度规律： V X =V 0V Y =gt V 与水平方向的夹角tg θ=gt/v 0（2）、位移规律： X=v 0t (证明：轨迹是一条抛物线)Y=221gt S 与水平方向的夹角tg α=gt/2v 0=tg 21θ（3）、平抛运动时间t 与水平射程X平抛运动时间t 由高度Y 决定，与初速度无关；水平射程X 由初速度和高度共同决定。

（4）、平抛运动中，任何两时刻的速度变化量△V=g △t （方向恒定向下）（三） 平抛运动实验与应用[实验目的]描述运动轨迹、求初速度[实验原理]利用水平方向匀速运动x=v 0t ，竖直方向自由落体y=221gt 得y g x V 20=测出多组x 、y 算出v 0值，再取平均值。

（四）匀速圆周运动1、物体运动的轨迹是圆周或是圆周一部分叫圆周运动；作圆周运动的物体相等时间内通过的弧长相等称为匀速圆周运动。

2、描述匀速圆周运动的有关量及它们的关系： （1）、线速度： （2）、角速度： （3）、周期： （4）、频率： （5）、向心加速度：虽然匀速圆周运动线速度大小不变，但方向时刻改变，故匀速圆周运动是变速运动；向心加速度大小不变但方向时刻改变（始终指向圆心），故匀速圆周运动是一种变加速运动。

（五）圆周运动动力学1、匀速圆周运动特点：（1）速度大小不变 无切向加速度；速度方向改变 有向心加速度a=R Rv 22ω= （2）合外力必提供向心力2、变速圆周运动特点：（1）速度大小变化 有切向加速度；速度方向改变 有向心加速度。

故合加速度不一定指向圆心。

（2）合外力不一定全提供向心力，合外力不一定指向圆心。

3、向心力表达式：4、处理圆周运动动力学问题般步骤： （1）确定研究对象，进行受力分析；（2）建立坐标系，通常选取质点所在位置为坐标原点，其中一条轴与半径重合； （3）用牛顿第二定律和平衡条件建立方程求解。

二 例题分析例1、关于运动的合成与分解，下列说法正确的是：（ BCD ） A 、两个直线运动的合运动一定是直线运动；B 、两个互成角度的匀速直线运动的合运动一定是直线运动；C 、两个匀加速运动的合运动可能是曲线运动；D 两个初速为零的匀加速直线运动互成角度，合运动一定是匀加速直线运动； 说明：本例题作为概念性判断题，可采用特例法解决。

例2、如图所示，在研究平抛物体运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格边长L=1.25cm,若小球在平抛运动途中的几个位置如图中的a,b,c,d 。

则小球平抛运动的初速度的计算式为v 0=( )(用L g 表示).其值是( )(g=9.8m/s 2)例3、房内高处有白炽灯S ，可看成点光源，如果在S 所在位置沿着垂直于墙的方向扔出一个小球A ，如图所示，不计空气阻力，则A 在墙上的影子的运动情况是（ D ）A 、加速度逐渐增大的直线运动，B 、加速度逐渐减小的直线运动C 、匀加速直线运动，D 、匀速直线运动。

例4、在“研究平抛运动”实验中，某同学只记录了小球运动途中的A 、B 、C 三点的位置，取A 点为坐标原点，则各点的位置坐标如图所示，下列说法正确的是：（ B ）A 、小球抛出点的位置坐标是（0，0）B 、小球抛出点的位置坐标是（-10，-5）C 、小球平抛初速度为2m/sD 、小球平抛初速度为0.58m/s例5、如图所示为皮带传动装置，右轮半径为r ，a 为它边缘的一点，左侧是大轮轴，大轮半径为4r ，小轮半径为2r 。

b 为小轮上一点，它到小轮中心距离为r ，c 、d 分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动中不打滑，则：（ C D ）A 、a 点与b 点线速度大小相等；B 、a 点与b 点角速度大小相等；C 、a 点与c 点线速度大小相等；D 、a 点与d 点向心加速度大小相等； 本例主要考查线速度、角速度、向心加速度概念，同时抓住两个核心：若线速度一定时，角速度与半径成反比；若角速度一定，线速度与半径成正比。

例6、如图所示，A 、B 两质点绕同一圆心按顺时针方向作匀速圆周运动，A 的周期为T 1，B 的周期为T 2，且T 1＜T 2，在某时刻两质点相距最近，开始计时，问： （1）何时刻两质点相距又最近？ （2）何时刻两质点相距又最远？ 分析：选取B 为参照物。

AB 相距最近，则A 相对于B 转了n 转， 其相对角度△Φ=2πn相对角速度为ω相=ω1-ω2经过时间：t=△Φ/ω相=2πn/ω1-ω2=1221T T T nT （n=1、2、3…）（2）AB 相距最远，则A 相对于B 转了n-1/2转， 其相对角度△Φ=2π（n-21） 经过时间：t=△Φ/ω相=（2n-1）T 1T 2/2（T 2-T 1）（n=1、2、3…） 本题关键是弄清相距最近或最远需通过什么形式来联系A 和B 的问题，巧选参照系是解决这类难题的关键。

例7.如图所示，位于竖直平面上的1/4圆弧光滑轨道，半径为R ，OB 沿竖直方向，上端A 距地面高度为H=2R ，质量为m 的小球１从A 点由静止释放，与在Ｂ点质量为Ｍ的小球２正碰，小球１被反弹回Ｒ/2处，小球２落在水平地面上C 点处，不计空气阻力，求：(1)小球１再次运动到轨道上的B 点时，对轨道的压力多大?(2)小球落地点C与B点水平距离S是多少?解：(1)设小球1再次到B点时的速度为，根据机械能守恒定律有：mgR/2= ①根据向心力公式有；②由①②式得=2mg(2)设小球１碰前在Ｂ的速度为，碰撞后小球2的速度为，而小球１的速度大小仍为，由机械能守恒定律得: ③由动量守恒定律得：ｍ= -m M ④由①③④式得: ⑤小球2从B到C做平抛运动,设时间为t,则有⑥S= t ⑦由⑤⑥⑦式得S=例8.(16分)半径为R的光滑半圆环形轨道固定在竖直平面内，从与半圆环相吻合的光滑斜轨上高h=3R处，先后释放A、B两小球，A球的质量为2m，B球质量为m，当A球运动到圆环最高点时，B球恰好运动到圆环最低点，如图所示。

求：⑪此时A、B球的速度大小v A、v B。

⑫这时A、B两球对圆环作用力的合力大小和方向。

解：(1)对Ａ分析：从斜轨最高点到半圆轨道最高点，机械能守恒，有2ｍｇ(3R-2R)= （2分）解得（1分）对Ｂ分析：从斜轨最高点到半圆弧最低点，机械能守恒，有3ｍｇR = （2分）解得（1分）(2)设半圆弧轨道对A、B的作用力分别为，方向竖直向下，方向竖直向上根据牛顿第二定律得（2分）（2分）解得（2分）根据牛顿第三定律所以A、B对圆弧的力也分别为方向竖直向上，方向竖直向下，所以合力F=5mg ，（2分）方向竖直向下。

（2分）例9、（12分）质量为M的小物块A静止在离地面高的水平桌面的边缘，质量为的小物块B沿桌面向A运动并以速度与之发生正碰（碰撞时间极短）。

碰后A离开桌面，其落地点离出发点的水平距离为L。

碰后B反向运动。

求B后退的距离。

已知B与桌面间的动摩擦因数为。

重力加速度为。

解：A落地过程是平抛运动，则有（1分）（1分）∴（1分）B与A碰撞动量守恒（4分）B返回有（3分）∴（2分）例10、(19分)如图所示，均光滑的水平面和半圆弧轨道相切，轨道半径为Ｒ；球１静止在切点Ｂ，球２位于Ａ点，以某一速度向小球１运动并与之正碰，球１能通过最高点落到Ａ点，球２运动到与圆心同一水平线就返回，已知AB=2R，两球质量均为ｍ．求：球２的速度．解：设碰撞后球1的速度为,球2速度为,球1到圆弧轨道最高点的速度为,两球碰撞时动量守恒,则有m =m ｍ①(4分)球２运动到与圆心同以水平线的过程，机械能守恒，则有②(3分)球１运动到最高点的过程，机械能守恒，则有③(3分)球１从最高点到Ａ点过程做平抛运动，设时间为ｔ，则有④(2分)⑤(2分)由④⑤得= (1分) 代入③得= ⑥(1分) 由②得= ⑦(1分)把⑥⑦代入①得= (2分)例11(16分)城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥，如图所示，桥面为圆弧形的立交桥AB，横跨在水平路面上，长为L=200m，桥高h=20m。

可以认为桥的两端A、B与水平路面的连接处的平滑的。

一辆汽车的质量m=1040kg，以=25m/s的速度冲上圆弧形的立交桥，假设汽车冲上立交桥后就关闭了发动机，不计车受到的阻力。

试计算：（g取10m/s2）⑪小汽车冲上桥顶时的速度是多大？⑫小汽车在桥顶处对桥面的压力的大小。

.解: 由题意，车从A点到桥顶过程，机械能守恒．设到桥顶时速度为．则有(4分)解得=15m/s (2分)(2)L=200m h=20m 根据几何知识可求得圆弧形的半径R,代入数据可解得R=260m (2分)设车在桥顶时，桥面对它的作用力为Ｎ，则N和ｍｇ提供向心力，根据牛顿第二定律得(4分)解得Ｎ=9.5×103N (2分)根据牛顿第三定律,车对桥顶的压力=9.5×103N (2分)例12（20分）喷墨打印机的原理示意图如图所示，其中墨盒可以发出墨汁液滴，此液滴经过带电室时被带上负电，带电多少由计算机按字体笔画高低位置输入信号加以控制。

带电后液滴以一定的初速度进入偏转电场，带电液滴经过偏转电场发生偏转后打到纸上，显示出字体。

计算机无信号输入时，墨汁液滴不带电，径直通过偏转板最后注入回流槽流回墨盒。

设偏转极板板长L1=1.6cm，两板间的距离d=0.50cm，两板间的电压U=8.0×103V，偏转极板的右端距纸的距离L2=3.2cm。

若一个墨汁液滴的质量为m=1.6×10-10kg，墨汁液滴以v0=20m/s的初速度垂直电场方向进入偏转电场，此液滴打到纸上的点距原入射方向的距离为s=2.0mm。