第5章 振动和波动5-1 一个弹簧振子 m=：0.5kg , k=50N ；'m ，振幅 A = 0.04m ，求 (1) 振动的角频率、最大速度和最大加速度；(2) 振子对平衡位置的位移为 x = 0.02m 时的瞬时速度、加速度和回复力; (3) 以速度具有正的最大值的时刻为计时起点，写出振动方程。

频率、周期和初相。

A=0.04(m) 二 0.7(rad/s) 二-0.3(rad)⑷10.11(Hz) T 8.98(s)2 n、5-3证明：如图所示的振动系统的振动频率为1 R +k 2式中k 1,k 2分别为两个弹簧的劲度系数，m 为物体的质量V max 二 A =10 0.04 = 0.4(m/s) a max 二 2A =102 0.04 =4(m/s 2) ⑵设 x =Acos(，t ：；；■『)，贝Ud x vA sin(，t 「)dtd 2xa一 dt 2--2Acos(「t 亠 ^ ) - - 2x当 x=0.02m 时，COS (；：, t :忙)=1/ 2, sin( t 「)= _、一3/2，所以 v ==0.2、.3 ==0.346(m/s) 2a = -2(m/s )F 二 ma = -1(N)n(3)作旋转矢量图，可知：2x =0. 0 4 c o st(1 0)25-2弹簧振子的运动方程为 x =0.04cos(0.7t -0.3)(SI)，写出此简谐振动的振幅、角频率、严...U ・」|1岛解：以平衡位置为坐标原点，水平向右为 x 轴正方向。

设物体处在平衡位置时，弹簧 1的伸长量为Xg ,弹簧2的伸长量为x 20，则应有_ k ] X ]0 ■木2乂20 = 0当物体运动到平衡位置的位移为 X 处时，弹簧1的伸长量就为x 10 X ，弹簧2的伸长量就为X 20 -X ，所以物体所受的合外力为F - -k i (X io X )k 2(X 20 -x)- -(匕 k 2)x2d x (k i k 2)dt 2 m上式表明此振动系统的振动为简谐振动，且振动的圆频率为5-4如图所示，U 形管直径为d ,管内水银质量为 m ,密度为p 现使水银面作无阻尼 自由振动，求振动周期。

由牛顿第二定律得d 2xm —2 dt 2 二-(k i k 2)x 即有 =0习题5-4图解：以平衡时右液面位置为坐标原点，向上为 x 轴正方向，建立坐标系。

右液面偏离原点为至x 时，振动系统所受回复力为：空 2x Tgx4 2振动角频率；叮R ,转动惯量为J ,轻弹簧劲度系数为 k ,物体质量为m ,现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手， 不计一切摩擦和空气阻力。

试证明该系统作简谐振动，并求其作微小振动的周期。

解：弹簧、滑轮、物体和地球组成的系统不受外力作用，非保守内力作功之和为零，系统机 械能守恒，以物体的平衡位置为坐标原点向下为 x 轴正方向，建立坐标系。

设平衡时弹簧伸1 2 1 v 2k (x %)存h对上式两边求导:v a k(x l 0)v Jmva -mgv = 0R R从上式消去V ,且将（1）式代入，得到k 2ax xJm R 2R 2k J mR 2振动周期T =2n2m n d 2rg5-5如图所示，定滑轮半径为长 l o ，有：mg 二 kl o(1)物体位于x 位置时 （以原点为重力势能零点）说明系统作简谐振动。

振动周期为:丁吞實25-6如图所示，轻弹簧的劲度系数为k ,定滑轮的半径为 R 、转动惯量为J ,物体质量为m ，将物体托起后突然放手，整个系统将进入振动状态，用能量法求其固有周期。

解：设任意时刻t ，物体m 离平衡位置的位移为 X ，速率为V ，则振动系统的总机械能式中C 为滑轮的重力势能，为一常量，上式两边对t 求导得v a kxv Jmva = 0R Rk2a = - --- ----- x x+ m R 2R 2k J mR 25-7如图所示，质量为10g 的子弹，以％ =1000m ；s 速度射入木块并嵌在木块中，使弹 簧压缩从而作简谐运动， 若木块质量为4.99kg ，弹簧的劲度系数为8 103 N m ，求振动的振解：先讨论子弹与木块的碰撞过程， 在碰撞过程中，子弹与木块组成的系统的动量守恒,C 2J R 2mV二恒量于是=2J mR 2 n R 2k幅。

（设子弹射入木块这一过程极短）习题5-6图mv o 二(m m)vmv ov =m m然后系统做简谐振动，因为简谐振动过程中机械能守恒，所以振幅 统的机械能确定，已知初始时刻系统的势能为零，所以有1 .2 1 2 (m m )v kA 2 25-8如图所示，在一个倾角为 二的光滑斜面上，固定一个原长为I 。

、劲度系数为k 、质量可以忽略不计的弹簧，在弹簧下端挂一个质量为 m 的重物，求重物作简谐运动的平衡位置和周期。

解: 设物体处在平衡位置时弹簧伸长量为 x 0 ,则• a , mg sin 日 mg sin J - kx 0 x 0 二 k平衡位置距O1点为：|0 x 0 =l 0 mgSin " k以平衡位置为坐标原点，如图建立坐标轴Ox ，当物体运动到离开平衡位置的位移为x处时，弹簧的伸长量就是x ° x ,所以物体所受的合外力为F 二 mg sin - k(x 0 x)即 F 二-kx物体受力与位移成正比而反向，即可知物体做简谐振动国，此简谐振动的周期为5-9两质点分别作简谐振动， 其频率、振幅均相等，振动方向平行。

在每次振动过程中，它们在经过振幅的一半的地方时相遇，而运动方向相反。

求它们相差，并用旋转矢量图表示=2(m/s) A 可由初始时刻系0.01 4.99I 8 1032 = 0.05mT =2习题5-9图5-10 一简谐振动的振幅 A = 24 c m 、周期T = 3s ,以振子位移x = 12cm 、并向负方向运动时为计时起点，作出振动位移与时间的关系曲线，并求出振子运动到 最短时间。

2 n 2 nn解：依题意可得，•‘二〒=§,又由旋转矢量法可知‘飞 所以振动方程为： x = 0.24cos(— t )(m)33质点运动到x = -12c m 处最小相位变化为 n 3，所以需要最短时间为醴n 3t T3 = 0.5(s)2 n2 n5-11如图所示，一轻弹簧下端挂着两个质量均为 m = 1.0kg 的物体B 和C ,此时弹簧伸长2.0c m 并保持静止。

用剪刀断连接 B 和C 的细线，使C 自由下落，于是 B 就振动起来。

选B 开始运动时为计时起点，B 的平衡位置为坐标原点，在下列情况下，求B 的振动方程(1) x 轴正向向上； (2) x 轴正向向下。

出来。

解：根据题意，两质点分别在A A和---处相向通过，由此可以画出相应的旋转矢量图，从旋转矢量图可得两个简谐振动的相位差为2 4n 或nx = -12c m 处所需的习题5-11图解：已知 m=1kg,l BC = 0.02m ,可得 k = 2mg/l BC = 1000（N/m ）k—10d0(rad/s) m当以B 的平衡位置为坐标原点，振动振幅为A=0.02-mgk =0.02-0.01 =0.01(m)由题意知，振动初速度 v 0 =0⑴x 轴正向向上时：x 0二-0.01(m)= ■■:⑵x 轴正向向下 时：X o =0.01(m) 即=0振动方程为 x =0.01cos(10、10t)(m)5-12劲度系数为k 的轻弹簧，上端与质量为m 的平板相联，下端与地面相联。

如图所 示，今有一质量也为 m 的物体由平板上方h 高处自由落下，并与平板发生完全非弹性碰撞。

以平板开始运动时刻为计时起点，向下为正，求振动周期、振幅和初相。

振动方程为x0.01cos （10.10t 二）（m ）习题5-12图解：物体下落与平板碰撞前速度：v = 2ghmv 二（m m ）v 0所以物体与平板碰撞后共同运动的速度:在x 处，物体和平板受力:F = 2mg _k （x= -kx见旋转矢量图，有:|xo |<P =兀 +arccos （』）=兀 +arccosAm 2g 2 mgkh5-13在一平板上放一重 9.8N 的物体，平板在竖直方向作简谐振动，周期 T =0.50s ,振幅A =0.020m ，试求(1) 重物对平板的压力 F ；(2) 平板以多大振幅运动时，重物将脱离平板 ？解：以平衡位置为坐标原点，向下为x 轴正方向，物体在 x 处时，习题5-13图以平衡位置为坐标原点，向下为x 轴正方向，建立坐标系。

依题意:则：T =222V oX 。

• 2om 2g 2 2gh/4 k 2 k/2m=丄 Jm 2g 2 +mgkh k mg Omg 一 N = ma - -m 2x2 2N 二 mg m ■ x = 9.8 16二 x2⑴重物对平板的压力 F -9.8 16二x(2)当N=0时重物将脱离平板，由N =9.8 - 16： "x ^a^O ，得X max = -0.062(m), A = x max| = 0.062(m)5-14 —木块在水平面上作简谐运动，振幅为 5.0c 频率为, 一块质量为 m 的较小 木块叠在其上，两木块间最大静摩擦力为 0.4m g ,求振动频率至少为多大时， 上面的木块将 相对于下面木滑动？解：以平衡位置为坐标原点，向右为 x 轴正方向，建立坐标系，小木块在 x 处：22 n F - -m • x2二'T在最大位移处，F 最大，F max =m 2x当F max ■ f s ,即m 「2A —\mg 时小木块开始相对于大木块滑动，由此得：5-15 一台摆钟的等效摆长 L = 0.995m ，摆锤可上下移动以调节其周期。

该钟每天快1分27秒。

假如将此摆当作一个质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向下移 动多少距离，才能使钟走得准确？解：设原摆钟周期为 T ,钟走时准确时，其钟摆长为L ，周期为T ,则T _ 24 60 60 87 _ 86487 T 24 60 60 86400工L " 「2 『86487弓而 (一)2L0.995 = 0.997(m)L T 86400。

Fx。

1 匚Axx'习题5-14图振动频率至少应略大于8.85= 1.4(Hz)1.4Hz 时，上面小木块相对于下面木块滑动。

L -L =0.002(m) =2(mm) 应将摆锤下移2mm。

5-16 一弹簧振子，弹簧的劲度系数 k = 25N m ，当物体以初动能 0.2J 和初势能0.6J振动时，求(1) 振幅；(2) 位移是多大时，势能和动能相等 ？ (3) 位移是振幅的一半时，势能多大 ？解：(1)E =E k0E p 0 =0.2 0.6 = 0.8(J)x ，A=0.179(m)211 A 21121⑶当 x A 时，E p k( )kA E = 0.2( J) 2 p2 24 2 45-17 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，两个振动的振动方程为人=0.04cos(2t) (SI)x 2 =0.03cos(2t -巧(SI)6求合振动的振幅和初相。