请计算
o
t
h(t)=-4.9t +6.5t+10
请计 0 t 0.5和 1 t 2时的平均速度v : 算 h 2
o
t
f(x ) f ( x ) 2 1 上述问题中的变化率可用式子 表示 x2 x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
平均变化率定义:
• 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
微积分主要与四类问题的处理相 关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大（小）值等问题 最一般、最有效的工具。
• 2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
练习：
• 过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当 Δx=0.1时割线的斜率.
又如何求 瞬时速度呢?
如何求（比如，
当Δt趋近于0时,平均 t=2时的）瞬时速度？ 速度有什么变化趋势?
通过列表看出平均速度的变化趋势
：
瞬时速度
• 我们用
t 0
lim h(2 t ) h(2) 13.1
t
表示 “当t=2, Δ t趋近于0时,平均速度趋于确 定值-13.1”.
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面 的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单 位：秒）存在函数关系 h 2 h(t)=-4.9t +6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
o t
65 计算运动员在0 t 这段时间里的平均速度， 49
65 h( ) h(0) 10 49
h v 0 t
思考下面问题； 1）运动员在这段时间里是静止的吗？
2）你认为用平均速度描述运动员的状态有什么问题吗？
瞬时速度.
• 在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速 度.
变化率问题
• 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的 过程,可以发现,随着气球内空气容量的增 加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度, 如何描述这种现象呢?
• 气球的体积V(单位:L)与半径r 4 3 (单位:dm)之间的函数关系是 V (r ) r
3 3V 3 • 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 r (V ) 4
我们来分 析一下:
3V r (V ) 4
3
• 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球 的过程,可以发现,随着气球内空气容 量的增加,气球的半径增加越来越慢. 从数学角度,如何描述这种现象呢?
• 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r (1) r (0) 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 r (1)极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
• 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
h ( t t ) h ( t ) 0 0 lim t 0 t
导数的定义:
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2－2
1.1. 《变化率与导数》
教学目标
• 了解导数概念的实际背景，体会导数的 思想及其内涵;了解函数的平均变化率; 教学重点： • 函数的平均变化率;导数概念的实际背景， 导数的思想及其内涵;
一、变化率问题
导数研究的问题
变化率问题
研究某个变量相对于另一个变量变化 的快慢程度．
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δf=Δy==f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
思考?
• 观察函数f(x)的图象
y f(x2 ) f ( x1 ) 平均变化率 x x2 x1
y
Y=f(x)
表示什么?
f(x2) f(x2)-f(x1)=△y A f(x1)
B
直线AB 的斜率
x2-x1=△x x x1 x2
O
做两个题吧!
• 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则 Δy/Δx=( ) D A 3 B 3Δx-(Δx)2 C 3-(Δx)2 D 3-Δx • 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx
1 0 0.62(dm / L)
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r (2) r (1) 0.16(dm) 气球的平均膨胀率为 r (2) r (1) 显然
2 1 0.16(dm / L)
0.62>0.16
思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平 均膨胀率是多少?
练习：
1.质点运动规律s=t +3,则在时间(3,3+t)中
2
相应的平均速度为( A ) A. 6+t C.3+t 9 B. 6+t+ t D.9+t
• 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直 线运动,求在4s附近的平均变化率.
25 3t
小结：
f ( x ) f(x2 ) f ( x1 ) • 1.函数的平均变化率 x2 x1 x
(1 x )3 13 2 2 k 3 3x ( x ) 3 3 0.1 0.1 3.31 (1 x ) x
二、导数的概念
问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒） 存在函数关系 h h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?