习题四1. 复级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑都发散,则级数1()n n n a b ∞=±∑和1n n n a b ∞=∑发散.这个命题是否成立?为什么?答.不一定．反例:2211111111i ,i n n n n n n a b n n n n ∞∞∞∞=====+=-+∑∑∑∑发散 但2112()i n n n n a b n∞∞==+=⋅∑∑收敛 112()n nn n ab n∞∞==-=∑∑发散 241111[()]n nn n a b nn ∞∞===-+∑∑收敛. 2.下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛?(1)2111i n n n +∞=+∑ (2)115i ()2nn ∞=+∑ (3) π1e i n n n∞=∑(4) 1i ln n n n ∞=∑ (5) 0cosi 2n n n∞=∑解 (1) 211111i 1(1)i 1(1)i n n nn n n n n n n +∞∞∞===++-⋅-==+⋅∑∑∑ 因为11n n∞=∑发散,所以2111i n n n +∞=+∑发散(2)1115i (22nnn n ∞∞==+=∑∑发散 又因为15i 15lim()lim(i)0222n nn n →∞→∞+=+≠ 所以115i()2nn ∞=+∑发散 (3)πi11e 1nn n n n∞∞===∑∑发散,又因为π111ππcos isin e 1ππ(cos isin )i nn n n n n n n n n n ∞∞∞===+==+∑∑∑收敛,所以不绝对收敛.(4)11i 1ln ln n n n n n∞∞===∑∑ 因为11ln 1n n >- 所以级数不绝对收敛. 又因为当n=2k 时, 级数化为1(1)ln 2k k k∞=-∑收敛当n=2k+1时, 级数化为1(1)ln(21)k k k ∞=-+∑也收敛所以原级数条件收敛(5) 0000cosi 1e e 1e 11()()2222222n n n nn n n n n n n e -∞∞∞∞====+=⋅=+∑∑∑∑ 其中0e()2n n ∞=∑ 发散,01()2n n e ∞=∑收敛所以原级数发散.3.证明:若Re()0n a ≥,且1n n a ∞=∑和21n n a ∞=∑收敛,则级数21n n a ∞=∑绝对收敛.证明:设2222i ,(i )2i n n n n n n n n n n a x y a x y x y x y =+=+=-+因为1nn a ∞=∑和21n n a ∞=∑收敛所以21111,,(),n n n n n n n n n n x y x y x y ∞∞∞∞====-∑∑∑∑收敛又因为Re()0n a ≥,所以0n x ≥且2lim lim 0n n n n x x →∞→∞== 当n 充分大时, 2n n x x <所以21nn x∞=∑收敛2222222()n n n n n n a x y x x y =+=-- 而212nn x∞=∑收敛，221()n n n xy ∞=-∑收敛所以21nn a∞=∑收敛，从而级数21nn a∞=∑绝对收敛.4.讨论级数10()n n n z z ∞+=-∑的敛散性解 因为部分和11()1nk k n n k s z z z ++==-=-∑，所以，1,1n z s <→-当时 1,0n z s =→当时，1,n z s =-当时不存在.当i e z θ=而0θ≠时（即1,1z z =≠），cosn θ和sinn θ都没有极限,所以也不收敛．,n z s →∞当>1时.故当1z =和1z <时,1()n n n zz ∞+=-∑收敛.5.幂级数(2)nnn C z ∞=-∑能否在z=0处收敛而在z=3处发散.解： 设1limn n nC C ρ+→∞=，则当12z ρ-<时，级数收敛，12z ρ->时发散.若在z=0处收敛,则12ρ>若在z=3处发散, 则11ρ<显然矛盾,所以幂级数(2)nnn C z ∞=-∑不能在z=0处收敛而在z=3处发散6.下列说法是否正确?为什么?(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.(2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散. (2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的. 7.若0nn n C z ∞=∑的收敛半径为R,求0nn n n C z b ∞=∑的收敛半径。

解： 因为111111lim lim n n n n n n nn C C b C C b R b b+++→∞→∞=⋅= 所以 R R b '=⋅ 8.证明：若幂级数0nn n a z∞=∑的系数满足n ρ=，则(1)当0ρ<<+∞时, 1R ρ=(2) 当0ρ=时, R =+∞ (3) 当ρ=+∞时, 0R = 证明：考虑正项级数2120......nn nn n a za z a z a z ∞==++++∑由于n n z ρ==⋅，若0ρ<<+∞，由正项级数的根值判别法知，当1z ρ⋅<时，即1z ρ<时，0n n n a z ∞=∑收敛。

当1z ρ⋅>时，即1z ρ>时，2n n a z 不能趋于零,1n 级数发散.故收敛半径1R ρ=.当0ρ=时, 1z ρ⋅<,级数收敛且R =+∞.若ρ=+∞,对0,z ∀≠当充分大时,必有2nn a z 不能趋于零,级数发散.且0R =9.求下列级数的收敛半径，并写出收敛圆周。

(1) 0(i)np n z n∞=-∑ (2) 0p nn n z ∞=⋅∑(3) 121021(i)2n n n n z n ∞--=--⋅⋅∑(4) (1)0i ()(1)n n n n z n ∞+=⋅-∑解: (１)111limlim()lim(1)1(1)111p p p p n n n n n n n n R →∞→∞→∞==-=+++∴=收敛圆周i 1z -<(2)(1)lim 11p p n n n R →∞+==所以收敛圆周1z <(3) 记 12121()(i)2n n n nn f z z ---=-⋅⋅ 由比值法,有21212121(21)2()1lim lim ()2(21)2n n n n n n n n n z f z z f z n z ++-+→∞→∞+⋅⋅==-⋅⋅要级数收敛,则z 级数绝对收敛,收敛半径为R =所以收敛圆周z (4) 记 (1)i ()()(1)nn n nf z z n +=⋅-11,11lim n n n n z n+0, Z-1≤∞Z-1>→∞-={若若所以11z -≤时绝对收敛,收敛半径1R =收敛圆周11z -<10.求下列级数的和函数. 【(1)11(1)n nn nz ∞-=-⋅∑ (2) 20(1)(2)!nnn z n ∞=-⋅∑ 解: (1)11limlim 1n n n nC n C n +→∞→∞+==故收敛半径R=1,由逐项积分性质，有：-1011(1)(1)1z nn n n n n z nz dz z z ∞∞==-=-=+∑∑⎰所以-1211(1)(),11(1)n n n z nz z z z ∞='-⋅==<++∑于是有：11211(1)(1)1(1)n nn n n n znz z n z z z ∞∞--==-⋅=--⋅=-<+∑∑(2) 令：20()(1)(2)!nnn z s z n ∞==-⋅∑ 11limlim 0.(21)(22)n n n n C C n n +→∞→∞==++故R=∞, 由逐项求导性质211()(1)(21)!n nn z s z n -∞='=-⋅-∑ 2222+1100()(1)(1)(1)(1)(22)!(2)!(2)!n m n n m n n m n z z z s z m n n m n -∞∞∞===''=-⋅=-⋅=-=--⋅-∑∑∑由此得到()()s z s z ''=-即有微分方程()()0s z s z ''+=故有：()cos sin s z A z B z =+， A, B 待定。

200(0)[(1)]11(2)!nnz n z A A n ∞====-⋅=⇒=∑由S2101(0)sin cos [(1)]00(21)!n nz n z s z B z B n -∞=='=-+=-⋅=⇒=-∑所以20(1)cos .(2)!nnn z z R n ∞=-⋅==+∞∑11.设级数0n n C ∞=∑收敛，而0n n C ∞=∑发散，证明0n n n C z ∞=∑的收敛半径为1证明：因为级数0nn C∞=∑收敛设11lim .n n n n n C Z z C Z λ++→∞=若nnn C z∞=∑的收敛半径为1则1z λ=现用反证法证明1λ=若01λ<<则1z >，有1lim 1n n n CC λ+→∞=<，即0n n C ∞=∑收敛，与条件矛盾。

若1λ>则1z <，从而0nnn C z∞=∑在单位圆上等于nn C∞=∑，是收敛的，这与收敛半径的概念矛盾。

综上述可知，必有1λ=，所以11R λ==12.若0nnn C z∞=∑在0z 点处发散，证明级数对于所有满足0z z >点z 都发散.证明：不妨设当10z z >时，0nn n C z ∞=∑在1z 处收敛则对1z z ∀>，0nnn C z∞=∑绝对收敛，则0nnn C z∞=∑在点0z 处收敛所以矛盾,从而0nnn C z∞=∑在0z z >处发散.13.用直接法将函数ln(1e )z -+在0z =点处展开为泰勒级数,(到4z 项),并指出其收敛半径.解:因为1e ln(1e )ln()e zzz -++=奇点为(21)πi(0,1,...)k z k k =+=±所以πR = 又ln(1e )ln 2z z -=+=e 1[ln(1e )]1e 2zzz z--=-'+=-=-+22e 1[ln(1e )](1e )2zzz z --=-''+=-=-+ 203e e [ln(1e )]0(1e )z zzz z ---=--+'''+==+2(4)43e (14e e )1[ln(1e )](1e )2z z z z z z ----=--++==-+于是，有展开式2423111ln(1e )ln 2...,π22!24!2z z z z R -+=-+-+=14.用直接法将函数211z +在1z -<点处展开为泰勒级数,(到4(1)z -项)解：i z =±为211z +的奇点，所以收敛半径R =又211(),(1)12f z f z ==+ 2221(),(1)(1)2z f z f z -''==-+223261(),(1)(1)2z f z f z -+''''==+ 3242424(),(1)0(1)z z f z f z -''''''==+ 24(4)(4)2524240120(),(1)0(1)z z fz f z -+==+于是，()f z 在1z =处的泰勒级数为24211113(1)(1)(1)...,12244!z z z R z =--+---+=+15.用间接法将下列函数展开为泰勒级数，并指出其收敛性.(1) 123z -分别在0z =和1z =处(2)3sin z 在0z =处 (3) arctan z 在0z =处(4) (1)(2)zz z ++在2z =处(5) ln(1)z +在0z =处 解 （1）01111123(),22332333213n n z z z z z ∞==-=-⋅=-⋅<---∑ 0111112(1),1232212(1)112(1)2n n n z z z z z z ∞====-=---<-------∑ (2) 35210(1)sin ...(21)!3!5!n n n z z z z z n ∞+=-==-+++∑ 23210331sin (1),4(21)!n n n n z z z n ∞+=-=-⋅<∞+∑(3) 201arctan 1i 1zz dz z z R =+∴=±∴=⎰为奇点，2212000011arctan (1)(1),1121zz n n nn n n z dz z dz z z z n ∞∞+====-=-⋅⋅<++∑∑⎰⎰ (4)0011011111111122(1)(2)1223243411341212(1)()(1)()334411(1)()(2),2334n n n n n n n n n n n z z z z z z z z z z z z ∞∞==∞++==-=-=⋅-⋅--++++-+-+++--=-⋅--⋅=-⋅---<∑∑∑(5)因为从1z =-沿负实轴ln(1)z +不解析 所以,收敛半径为R=11[ln(1)](1)1n n n z z z ∞='+==-⋅+∑1001ln(1)(1)(1),1z nnn n n n z z dz z z n ∞∞+==+=-⋅=-⋅⋅<∑∑⎰16.为什么区域z R <内解析且在区间(,)R R -取实数值的函数()f z 展开成z 的幂级数时，展开式的系数都是实数？答：因为当z 取实数值时，()f z 与()f x 的泰勒级数展开式是完全一致的，而在x R <内，()f x 的展开式系数都是实数。