第49炼 等差数列性质一、基础知识：1、定义：数列{}n a 若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称{}n a 是等差数列，这个常数称为{}n a 的公差，通常用d 表示2、等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-，此通项公式存在以下几种变形：（1）()n m a a n m d =+-，其中m n ≠：已知数列中的某项m a 和公差即可求出通项公式（2）n ma a d n m -=-：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差（3）11na a n d-=+：已知首项，末项，公差即可计算出项数 3、等差中项：如果,,a b c 成等差数列，则b 称为,a c 的等差中项（1）等差中项的性质：若b 为,a c 的等差中项，则有c b b a -=-即2b a c =+ （2）如果{}n a 为等差数列，则2,n n N *∀≥∈，n a 均为11,n n a a -+的等差中项 （3）如果{}n a 为等差数列，则m n p q a a a a m n p q +=+⇔+=+注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。

比如m n p q s +=++，则m n p q s a a a a a +=++不一定成立② 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。

例如：478920a a a a +++=，可得478977777420a a a a a a a a a +++=+++==，即可得到75a =，这种做法可称为“多项合一”4、等差数列通项公式与函数的关系：()111n a a n d d n a d =+-=⋅+-，所以该通项公式可看作n a 关于n 的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。

例如：0d >，{}n a 递增；0d <，{}n a 递减。

5、等差数列前n 项和公式：12nn a a S n +=⋅，此公式可有以下变形： （1）由m n p q m n p q a a a a +=+⇔+=+可得：()12p qn a a S n p q n +=⋅+=+，作用：在求等差数列前n 项和时，不一定必须已知1,n a a ，只需已知序数和为1n +的两项即可（2）由通项公式()11n a a n d =+-可得：()()1111122n a a n dn n S n a n d ++--=⋅=+作用：① 这个公式也是计算等差数列前n 项和的主流公式 ② ()21111222n n n d S a n d n a d n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，即n S 是关于项数n 的二次函数()n N *∈，且不含常数项，可记为2n S An Bn =+的形式。

从而可将n S 的变化规律图像化。

（3）当()21n k k N *=-∈时，()12121212k k a a S k --+=⋅- 因为1212k k a a a -+= ()2121k k S k a -∴=- 而k a 是21k S -的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系 当()2n k k N *=∈时()122122kk k k a a S k k a a ++=⋅=+，即偶数项和与中间两项和的联系 6、等差数列前n 项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前n 项和公式入手分析（1）从项的特点看最值产生的条件，以4个等差数列为例：{}:1,3,5,7,9,11,n a {}:7,5,3,1,1,3,n b --{}:1,3,5,7,9,n c ----- {}:9,7,5,3,1,1n d -----通过观察可得：{}n a 为递增数列，且10a >，所以所有的项均为正数，前n 项和只有最小值，即1a ，同理{}n c 中的项均为负数，所以前n 项和只有最大值，即1c 。

而{}n b 虽然是递减数列，但因为10b >，所以直到51b =-，从而前4项和最大，同理，{}n d 的前5项和最小。

由此可发现规律：对于等差数列，当首项与公差异号时，前n 项和的最值会出现在项的符号分界处。

（2）从2n S An Bn =+的角度：通过配方可得2224n B B S A n A A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，要注意n N *∈，则可通过图像判断出n S 的最值 7、由等差数列生成的新等差数列（1）在等差数列{}n a 中，等间距的抽出一些项所组成的新数列依然为等差数列 例如在{}:1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,n a ，以3为间隔抽出的项1,9,17,25,仍为等差数列。

如何判定等间距：序数成等差数列，则项之间等间距 （2）已知等差数列{}1212221223:,,,,,,,,,,,,n k k k k k k k a a a a a a a a a a ++++，设12k k S a a a =+++，21223221223,,k k k k k k k k k k S S a a a S S a a a ++++-=+++-=+++，则相邻k 项和232,,,k k k k kS S S S S --成等差数列 （3）已知{}{},n n a b 为等差数列，则有： ① {}n a C +为等差数列，其中C 为常数 ② {}n ka 为等差数列，其中k 为常数 ③ {}n n a b +为等差数列①②③可归纳为{}n n a b m λμ++也为等差数列 8、等差数列的判定：设数列n a ，其前n 项和为n S （1）定义（递推公式）：1n n a a d +-=（2）通项公式：n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数） （3）前n 项和公式：2n S An Bn =+注：若2n S An Bn C =++，则{}n a 从第二项开始呈现等差关系（4）对于n N *∀∈，122n n n a a a ++=+，即从第二项开始，每一项都是相邻两项的等差中项二、典型例题：例1：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且94S S =，151,0k a a a =+=，则k =_________ 思路：由94S S =可得：9456789750S S a a a a a a -=++++==，即70a =。

而11a =，所以{}n a 不是各项为0的常数列，考虑79520a a a =+=，所以9559k a a a a k +=+⇒= 答案：9小炼有话说：关于等差数列钱前n 项和还有这样两个结论：（1）若()m n S S m n =≠，则0m n S +=（本题也可用此结论：94130S S S =⇒=，从而利用奇数项和与中间项的关系可得137130S a ==） （2）若(),m n S n S m m n ==≠，则有()m n S m n +=-+例2：已知数列{}{},n n a b 为等差数列，若11337,21a b a b +=+=，则55a b +=_______ 思路：条件与所求都是“n n a b +”的形式，由{}{},n n a b 为等差数列可得{}n n a b +也为等差数列，所以()33a b +为()()1155,a b a b ++的等差中项，从而可求出55a b +的值 解：{}{},n n a b 为等差数列{}n n a b ∴+也为等差数列 ()()()3311552a b a b a b ∴+=+++ ()()553311235a b a b a b ∴+=+-+=答案：35例3：设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a =（ ） A. 6- B. 4- C. 2- D. 2思路一：已知等差数列两个条件即可尝试求通项公式，只需将已知等式写成关于1,a d 的方程，解出1,a d 后即可确定通项公式或者数列中的项解：()8311482842S a a d a d =⇒+=+ 71262a a d =-⇒+=-()11118284210262a d a d a d a d +=+⎧=⎧∴⇒⎨⎨=-+=-⎩⎩ 9726a a d ∴=+=-思路二：本题还可抓住条件间的联系简化运算。

已知7a ，从而联想到8S 可用17,a a 表示，即()27827842a a S a a +=⋅=+，所以等式变为：()27323442a a a a a +=⇒-=，所以可得212a a d -==-。

9726a a d =+=- 答案：A小炼有话说：思路一为传统手段，通常将已知两个等式变形为1,a d 的二元方程，便可求解。

但如果能够观察出条件间的联系，往往能通过巧妙的变形简化计算过程。

在平时的练习中建议大家多尝试思路二的想法，努力找到条件间的联系，灵活利用等差数列性质进行变形。

而思路一可作为“预备队”使用。

例4：在等差数列{}n a 中，12008a =-，其前n 项和为n S ，若121021210S S -=，则2008S 的值等于（ ）A. 2007-B. 2008-C. 2007D. 2008 思路：由121021210S S -=观察到n S n 的特点，所以考虑数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的性质，由等差数列前n 项和特征2n S An Bn =+可得n S An B n =+，从而可判定n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且可得公差1d =，所以()1120091n S S n d n n =+-=-，所以()2009n S n n =-，即20082008S =- 答案：B例5：已知{}{},n n a b 为等差数列，且前n 项和分别为,n n A B ，若71427n n A n B n +=+，则1111a b =_____ 思路：，所求1111a b 可发现分子分母的项序数相同，结合条件所给的是前n 项和的比值。

考虑利用中间项与前n 项和的关系，有：2111211121,21A a B b == ，将项的比值转化为数列和的比值，从而代入21n =即可求值：111121111121214213a a Ab b B === 答案：43小炼有话说：等差数列中的项与以该项为中间项的前n 项和可搭建桥梁：()2121k k S k a -=-，这个桥梁往往可以完成条件中有关数列和与项之间的相互转化。

例6：已知等差数列{}n a 中，1232829303,165a a a a a a ++=++=，则此数列前30项和等于（ ）A. 810B. 900C. 870D. 840 思路：求前30项和，联想到公式(),12p qn a a S n p q n +=⋅+=+，则只需31p q +=。