质量-弹簧-阻尼系统实验教学指导书北京理工大学机械与车辆学院2016.3实验一：单自由度系统数学建模及仿真 1 实验目的（1）熟悉单自由度质量-弹簧-阻尼系统并进行数学建模； （2）了解MATLAB 软件编程，学习编写系统的仿真代码； （3）进行单自由度系统的仿真动态响应分析。

2 实验原理单自由度质量-弹簧-阻尼系统，如上图所示。

由一个质量为m 的滑块、一个刚度系数为k 的弹簧和一个阻尼系数为c 的阻尼器组成。

系统输入：作用在滑块上的力f (t )。

系统输出：滑块的位移x (t )。

建立力学平衡方程：m x c x kx f ∙∙∙++=变化为二阶系统标准形式：22f x x x mζωω∙∙∙++=其中：ω是固有频率，ζ是阻尼比。

ω=2c m ζω== 2.1 欠阻尼(ζ<1)情况下，输入f (t )和非零初始状态的响应：()()sin()))]t t x t t d e ζωττζωττ+∞--=∙-=-+-⎰2.2 欠阻尼(ζ<1)情况下，输入f(t)=f0*cos(ω0*t) 和非零初始状态的的响应：02230022222002222222()cos(arctan())2f[(0)]cos()[()(2)]sin(ttx t tx ekeζωζωζωωωωωζωωωωζωω-∙-=--++-++)输出振幅和输入振幅的比值：A=3 动力学仿真根据数学模型，使用龙格库塔方法ODE45求解，任意输入下响应结果。

仿真代码见附件4 实验4.1 固有频率和阻尼实验（1）将实验台设置为单自由度质量-弹簧-阻尼系统。

（2）关闭电控箱开关。

点击setup菜单，选择Control Algorithm，设置选择Continuous Time Control，Ts=0.0042，然后OK。

（3）点击Command菜单，选择Trajectory，选取step,进入set-up,选取Open Loop Step 设置(0)counts, dwell time=3000ms,(1)rep, 然后OK。

此步是为了使控制器得到一段时间的数据，并不会驱动电机运动。

（4）点击Data菜单，选择Data Acquisition,设置选取Encoder#1 ，然后OK离开；从Utility菜单中选择Zero Position使编码器归零。

（5）从Command菜单中选择Execute，用手将质量块1移动到2.5cm左右的位置（注意不要使质量块碰触移动限位开关），点击Run, 大约1秒后，放开手使其自由震荡，在数据上传后点击OK。

（6）点击Plotting菜单，选择Setup Plot，选取Encoder #1 Position；然后点击Plotting 菜单，选择Plot Data，则将显示质量块1的自由振动响应曲线。

（7）在得到的自由振动响应曲线图上，选择n个连续的振幅明显的振动周期，计算出这段振动的时间t，由n/t即可得到系统的频率，将Hz转化为rad/sec即为系统的振动频率ω。

（8）在自由振动响应曲线图上，测量步骤7选取时间段内初始振动周期的振幅X0以及末尾振动周期的振幅Xn。

由对数衰减规律即可求得系统阻尼比。

（9）实验数据记录（10）在仿真代码基础上，计算出实验结果对应的理论结果。

对比分析理论和实验结果的差异。

完成实验报告。

4.2 幅频特性实验（1）点击Command菜单，选择Trajectory，选取Sinuscidal，进入set-up,选取Open LoopStep设置Amplitude(0.5V), Frequency(2Hz),Repetition(8)，然后OK。

（2）从Utility菜单中选择Zero Position使编码器归零。

从Command菜单中选择Execute，点击Run,在数据上传后点击OK。

（3）然后点击Plotting菜单，选择Plot Data，则将显示滑块的受迫振动响应曲线。

在响应曲线图上，测量出振动振幅，计算出振动的频率并于输入的正弦曲线频率比较。

（4）根据实验情况，改变输入的正弦曲线频率的大小，重复上述，纪录实验数据。

（5）在仿真代码基础上，实现正弦激励代码，计算出实验结果对应的理论结果。

对比分析理论和实验结果的差异。

完成实验报告。

实验二：双自由度系统数学建模及仿真 1 实验目的（1）熟悉双自由度质量-弹簧-阻尼系统并进行数学建模； （2）了解MATLAB 软件编程，学习编写系统的仿真代码； （3）进行双自由度系统的仿真动态响应分析。

2 实验原理 2.1 数学建模双自由度质量-弹簧-阻尼系统，如上图所示。

由两个质量为m 1和m 2的滑块、两个刚度系数为k 1和k 2的弹簧和两个阻尼系数为c 1和c 2的阻尼器组成。

系统输入：作用在滑块上的力f (t )。

系统输出：滑块的位移x 1(t )和x 2(t )。

建立力学平衡方程：112111111222122211122211()m x c x c x k x k x f t m x c x c x c x k x k x k x ∙∙∙∙∙∙∙∙∙⎧+-+-=⎪⎨⎪++-++-=⎩ 2.2 固有频率将动力学方程写成矩阵形式：11111111211211222201()0()()0x m c c k k x x f t m c c c k k k x x x ∙∙∙∙∙∙⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⋅+⋅+⋅=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦得到系统的质量矩阵M 和刚度矩阵K 。

解行列式可得固有频率方程：2||0K M ω-= 可计算出固有频率方程：211211,2120.5[(k k kk k m m m m ω+=+-两个振动模态，两个固有频率：高模和低模。

2.3 解耦通过数学变换将微分方程变化为以下形式：21111111222222222()2()y y y f t y y y f t ζωωϕζωωϕ∙∙∙∙∙∙⎧++=⎪⎨⎪++=⎩ 注意：y 1和y 2不是滑块的位移。

滑块的位移x 1(t )和x 2(t )是y 1和y 2的函数。

3 动力学仿真根据数学模型，使用龙格库塔方法ODE45求解，任意输入下响应结果。

仿真代码见附件 4 实验4.1 固有频率分析（1）将实验台设置为双自由度质量-弹簧-阻尼系统，第一个滑块没有阻尼器可以不接，认为第一个阻尼为零。

（2）闭合控制器开关，点击setup 菜单，选择Control Algorithm ，设置选择Continuous Time Control ，Ts=0.0042,然后OK 。

点击Command 菜单，选择Trajectory ，选取step,进入set-up,选取Open Loop Step 设置(0)counts, dwell time=3000ms, (1)rep, 然后OK 。

此步是为了使控制器得到一段时间的数据，并不会驱动电机运动。

（2）点击Data 菜单，选择Data Acquisition,设置分别选取Encoder#1，Encoder#2，然后OK 离开；从Utility 菜单中选择Zero Position 使编码器归零。

（4）从Command 菜单中选择Execute ，用手将质量块1移动到2.5cm 左右的位置（注意不要使质量块碰触移动限位开关），点击Run, 大约1秒后，放开手使其自由振荡，在数据上传后点击OK 。

（5）点击Plotting 菜单，选择Setup Plot ，分别选取Encoder #1 Position ，Encoder #2 Position ；然后点击Plotting 菜单，选择Plot Data ，则将显示质量块1，2的自由振动响应曲线。

（6）实验数据纪录：实验条件：滑块质量m 1和m 2，弹簧刚度k 1和k 2，阻尼系数c 1和c 2。

实验数据：时间-滑块1位移数据；时间-滑块2位移数据。

问题1：两个滑块位移的频率测量值是高模和低模频率么？问题2：实际的机械系统是多自由度的，如何通过实验法测试系统固有频率？ （7）实验报告。

关键点是理论和实验结果对比分析。

4.2幅频特性实验（1）点击Command 菜单，选择Trajectory ，选取Sinuscidal,进入set-up,选取Open Loop Step 设置(200counts)Amplitude, Frequency(2Hz),Repetition （8），然后OK 。

（2）从Utility 菜单中选择Zero Position 使编码器归零。

从Command 菜单中选择Execute ，点击Run,在数据上传后点击OK 。

（3）然后点击Plotting 菜单，选择Plot Data ，则将显示质量块1，2的受迫振动响应曲线。

在响应曲线图上，即可测量出振动振幅。

问题1：单自由度和双自由度系统的幅频特性有何差异？ 问题2：高模贡献分析。

实验三：PID 控制 1 实验目的（1）学习PID 闭环控制结构和系统闭环传递函数计算； （2）PID 控制器参数设计； （3）控制性能分析。

2 实验原理上图给出闭环控制系统原理框图。

单自由度质量-弹簧-阻尼系统结构下，断开弹簧和阻尼，仅仅保留滑块质量m 。

m x f ∙∙=电控箱可以看做比例增益k hw 。

hw f k u =其中：u 是控制器输出。

PID 控制：p i d k e k edt k e u ∙++=⎰其中：e 是比较器输出，参考输入与实际输出的偏差值。

e r x =-根据全部上式，可得闭环结构微分方程：hw d hw p hw i hw d hw p hw i m x k k x k k x k k x k k r k k r k k r ∙∙∙∙∙∙∙∙∙+++=++对应的传递函数：232()()()()()()()()hw d hw p hw i hw d hw p hw i k k s k k s k k x s r s ms k k s k k s k k ++=+++ 3 PID 设计PID 控制器中设置积分因子k i 为零，则为PD 控制。

传递函数变为：2()()hw phw dhw phw d k k k k s x s m m k k k k r s s s m m+=++闭环特征方程是分母：ω=2hw d k k m ζω==设计频率ω4 实验 4.1 频率（1）在控制器断开的情况下，拆除与质量块1连接的弹簧，使其余元件远离质量块1的运动范围，为其安装4个500g 的铜块，加上小车本身的质量，标定总质量m=2.6kg。

（2）实验标定k hw值：根据估计出的k hw值，设置控制器k i=0和k d=0，调整k p来估计系统系统频率ω=4Hz。