弹簧-质量-阻尼模型弹簧-质量-阻尼系统1 研究背景及意义弹簧-质量-阻尼系统是一种比较普遍的机械振动系统，研究这种系统对于我们的生活与科技也是具有意义的，生活中也随处可见这种系统，例如汽车缓冲器就是一种可以耗减运动能量的装置，是保证驾驶员行车安全的必备装置，再者在建筑抗震加固措施中引入阻尼器，改变结构的自振特性，增加结构阻尼，吸收地震能量，降低地震作用对建筑物的影响。
因此研究弹簧-质量-阻尼结构是很具有现实意义。
2 弹簧-质量-阻尼模型的建立数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。
其中，微分方程是基本的数学模型，不论是机械的、液压的、电气的或热力学的系统等都可以用微分方程来描述。
微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。
所以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提。
通常情况下，列写机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。
弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。
机械系统如图2.1所示，图2.1 弹簧-质量-阻尼系统简图其中1m ，2m 表示小车的质量，ic 表示缓冲器的粘滞摩擦系数，ik 表示弹簧的弹性系数，i F （t ）表示小车所受的外力，是系统的输入即iU （t ）=iF （t ）,iX (t)表示小车的位移，是系统的输出，即iY （t ）=iX (t)，i=1,2。
设缓冲器的摩擦力与活塞的速度成正比，其中1m =1kg ，2m =2kg ，1k =3k =100N/cm ，2k =300N/cm ，1c =3c =3N ∙s/cm ，2c =6N ∙s/cm 。
由图 2.1，根据牛顿第二定律,，建立系统的动力学模型如下： 对1m 有：（2-1）对2m 有：（2-2）3 建立状态空间表达式令31421122,,,xx x x u F u F ====,则原式可化为：13123241212212423423232212()()()()()()m x l l x l x k k x k x u t m x l l x l x k k x k x u t ++-++-=++-++-= 化简得：1221211232431()()()u t k x k k x l l x l x x m +-++++=（2-3）2211223242342()()()u t k x k k x l l x l x x m +-+-++=（2-4）整理得：12112212211111324323222222221234001000000100()()10()()1010000100x x u k k k l l l x m m m m m x u x k k l l k l m m m m m x x y x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2-5）121321321,2,100,3003,6m m k k k l l l ========代入数据得：0100001400300961502003 4.5A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦ 00001000.5B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦10000100C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则系统的状态空间表达式为x y ux x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=001000015.000100005.43200156930040010000100.4 化为对角标准型当系统矩阵A 有n 个不相等的特征根...)3,2,1(=i i λ时，相应的有n 个不相等的特征向量...)3,2,1(=i m i，所以有矩阵A 的特征矩阵[]m mm m M 4321...=根据矩阵论线性变换得：Mzx Tx z MT =⇒=⇒=-1可以使用matlab 进行对角标准型的运算，matlab 作为一种数学运算工具，很大程度的方便了了我们的计算，对于这个弹簧-质量-阻尼系统是一个四阶的状态空间表达式，所以可以用matlab 简化计算。
（1）求特征值与特征向量A=[0 0 1 0;0 0 0 1;-400 300 9 6;150 -200 3 -4.5]B=[0 0;0 0;1 0;0 0.5]C=[1 0 0 0;0 1 0 0][P,J]=eig(A)求得结果：P =0.0007 - 0.0402i 0.0007 + 0.0402i 0.0401 - 0.0698i 0.0401 + 0.0698i-0.0171 + 0.0157i -0.0171 - 0.0157i 0.0176 - 0.0792i 0.0176 + 0.0792i0.8650 0.8650 0.6682 + 0.2084i 0.6682 - 0.2084i-0.3442 - 0.3621i -0.3442 + 0.3621i 0.7050 0.7050J =0.3667 +21.5183i 00 00 0.3667 -21.5183i0 00 01.8833 + 8.4864i 00 00 1.8833 - 8.4864i（2）P矩阵求逆PN=inv(P)求得结果：PN =3.4167 + 9.7803i -2.1017 - 9.2399i 0.3466 - 0.2323i -0.4703 - 0.1054i3.4167 - 9.7803i -2.1017 + 9.2399i 0.3466 + 0.2323i -0.4703 + 0.1054i-3.3554 + 3.4224i 3.7199 + 3.2032i0.2886 - 0.0353i 0.5337 - 0.2409i-3.3554 - 3.4224i 3.7199 - 3.2032i 0.2886 + 0.0353i 0.5337 + 0.2409i（3）带入公式B PNB==C CP解得对角标准型为：u x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=0.1205i + 0.26690.0353i + 0.2886 0.1205i - 0.26690.0353i - 0.28860.0527i + 0.2352-0.2323i + 0.34660.0527i - 0.2352-0.2323i - 0.34668.4864i - 1.883300008.4864i 1.8833 000021.5183i 0.36670000 21.5183i 0.3667u y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0.0792i + 0.01760.0792i - 0.01760.0157i - 0.0171-0.0157i + 0.0171-0.0698i + 0.04010.0698i - 0.04010.0402i + 0.00070.0402i - 0.00075求状态空间表达式的解 （1）求状态转移矩阵11-Λ-==ΛTT ATT e etAt其中，T 为特征向量Te At18.4864it- 1.88338.4864it1.883321.5183it- 0.366721.5183it0.3667*000000000* 0.7050 0.70500.3621i 0.3442-0.3621i - 0.3442-0.2084i - 0.66820.2084i 0.66820.86500.86500.0792i 0.01760.0792i - 0.0176 0.0157i - 0.0171-0.0157i 0.0171-0.0698i 0.04010.0698i - 0.04010.0402i 0.00070.0402i - 0.0007eeee -++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-0.2409i + 0.5337 0.0353i + 0.2886 3.2032i - 3.7199 3.4224i - 3.3554-0.2409i - 0.5337 0.0353i - 0.28863.2032i + 3.71993.4224i + 3.3554-0.1054i + 0.4703- 0.2323i + 0.34669.2399i + 2.1017- 9.7803i - 3.4167 0.1054i - 0.4703- 0.2323i - 0.3466 9.2399i - 2.1017- 9.7803i + 3.4167 1T 状态转移矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0.0000i - 1.7127- 0.0000i - 0.7350- 0.0000i - 42.7799- 0.0000i + 7.2316- 0.0000i - 1.4700- 2.4502- 0.0000i - 29.8835- 0.0000i + 12.5772- 0.0000i + 0.5509 0.0000i + 0.2247 0.0000i + 0.5817- 0.0000i - 4.4097- 0.4493 0.1999 0.0000i + 0.6477-5.5977- e At5 可控性与可观性不同于经典控制理论，能控性和能观性，是一个具有实际意义的概念，经典控制理论中用传递函数描述系统的输入-输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且稳定，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要能控能观性的提出。
但是现代控制理论是建立在状态空间表达式描述系统的基础上的，状态方程描述输入u （t ）引起状态x （t ）的变化过程，输出方程描述有状态变化引起的输出y （t ）的变化。
能控能观便是定性的描述输入u （t ）对状态x(t)的控制能力，输出y （t ）对状态x （t ）的反应能力，他们分别回答了“输入能否控制状态的变化”------可控性“状态的变化能否有输出反映出来”----------可观性另外在工程上常用状态变量作为反馈信息，可是状态x （t ）的值通常是难测的，往往需要从测量到的y （t ）中估计出状态，如果输出y （t ）不能完全反映出系统的状态x （t ），那么就无法实现对状态的估计。
能控性定义：当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，可以找到允许的输入量，在有限的时间内使系统的所有状态达到任一终止状态，则称系统是完全可控的。
有状态方程x ’(t)=Ax(t)+Bu(t) 其解为：τττd e e t tt t )()0()(0)(Bu x x A A ⎰---+=如果有限的时间内0 < t < t1内通过输入量u(t)的作用把系统的所有状态引向状态x(t1)[设x(t1)=0] ，则应有：即在给定x(0-)和A 、B 的条件下求可以使x(t)=x(t1)的u(t)。