2 1 sin x
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解法 2
(sec x tan x) sec x tan x
sec2 x sec x tan x dx sec x tan x
d (sec x tan x) sec x tan x
同样可证
csc xdx ln csc x cot x C
例3. 求 解:
dx a 1 (ax)2
d
(
x a
)
1
(
x a
)2
想到
d u arcsinu C 1u2
f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
(直接配元)
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例4. 求 解:
sin cos
x dx x
dcos x cos x
类似
cos x dx sin x
1 tan5 x 2 tan3 x tan x C
5
3
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例9. 求
dx 1 ex
.
解法1
(1 ex ) ex 1 ex
dx
dx
d(1 ex ) 1 ex
x ln(1 ex ) C
解法2
ex 1 ex
dx
d(1 ex ) 1 ex
ln(1 ex ) C
2a
2a xa
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常用的几种配元形式:
1
(1) f (ax b)dx a
(2) f (xn )xn1 dx 1 n
(3)
f
(x n
)1 x
dx
1 n
(4) f (sin x)cos xdx
(5) f (cos x)sin xdx
d(ax b)
dxn
一、第一类换元法 定理1. 设 f (u) 有原函数 , u (x)可导, 则有换元
公式
f (u)du u (x) 即 f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
(也称配元法 , 凑微分法)
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例1. 求
解: 令 u ax b ,则 d u adx , 故
万 能
凑
1 xn
dxn
幂 法
dsin x
dcos x
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(6) f (tan x)sec2 xdx
(7) f (ex )exdx
(8)
f (ln x)1dx x
de x dln x
dtan x
例6. 求
解: 原式 =
dln x 1 2ln
x
1 2
d(1 2ln x) 1 2ln x
第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
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基本思路
设 F(u) f (u),
可导, 则有
dF[(x)] f [(x)](x)dx
F[(x)] C F (u) C u(x)
f (u)du u(x)
第一类换元法 第二类换元法
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x ln x ln 1 x ex C
分析:
1 xex (1
xex )
1 xex xex xex (1 xex )
(x 1)ex dx xex dx ex dx
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例15. 求
d sin x sin x
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例5. 求
解:
1 x2 a2
1 2a
(x a) (x a)
1
(
1
1
)
(x a)(x a) 2a x a x a
∴ 原式 =
1 2a
dx xa
dx xa
1 2a
d(x a) xa
d(x a) xa
1 ln x a ln x a C 1 ln x a C
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例12 . 求
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2
2
1 4
(1
2
cos
2x
cos
2
2
x)
1 4
(1
2
cos
2x
1cos 2
4
x
)
1 4
(
3 2
2 cos
2x
1 2
cos
4x)
cos 4 x dx
1 4
(
3 2
2
cos
2
x
1 2
cos
2x
1 8
(1
cos
4x)
∴原式 =
1 4
dx
1 64
cos 8x d(8x)
1 2
sin2 2x d(sin 2x)
1 32
cos 4x d(4x)
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例14. 求
解: 原式=
ex
ex
(
1 x ex
1
1 x
ex
) d(x ex
)
ln x ex ln 1 x ex C
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例7. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 x d x 2 e3 x d(3 x) 3
2 e3 x C
3
例8. 求 sec6xdx.
解: 原式 = (tan2 x 1)2dsetacn2 xdx (tan4 x 2 tan2 x 1) dtan x
4
x)
dx
3 2
dx
cos
2x
d(2x)
1 8
cos 4x d(4x)
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例13. 求
解:
sin2 x cos2 3x
[
1 2
(sin
4
x
sin
2
x)]2
1 4
sin
2
4
x
1 4
2
sin
4
x
sin
2
x
1 4
sin
2
2x
1 8
(1
cos 8x)
sin 2
2x cos
原式 = um 1 d u 1 1 um1 C a a m1
注: 当
时
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例2. 求
解:
1 a2
dx
1
(
x a
)
2
令 u x , 则 du 1 d x
a
a
1
a
du 1 u
2
1 arctan u C a
想到公式
1
d
u u
2
arctan u C
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ln(1 ex ) ln[ex (ex 1)] 两法结果一样
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例10. 求
解法1
cos x cos2 x
dx
1
d
sin sin
x
2
x
1 2
1 1 sin
x
1 1 sin x
d
sin
x
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C
2 1 ln 1 sin x C
或
ln tan x C (P196 例16 )
2
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例11. 求
(x2
x3 a2
3
)2
dx
.
解:
原式 =
1 2
x2 dx2
(
x
2
a
2
)
3 2
1 2
(
x2 (x
a2 2 a
)
2
3
)
a
2
2
dx
2
1 2
(x2
a2
1
)2
d( x 2
a2
)
a2 (x2 a2 )32 d(x2 a2 ) 2