《勾股定理的应用》精品教案
●教学目标：
知识与技能目标：
1.了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知两边求第三边”；而勾股逆定理的
作用是由“三角形边的关系得出三角形是直角三角形”.
2.掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算.
过程与方法目标
1.让学生亲自经历卷折圆柱.
2.让学生在亲自经历卷折圆柱中认识到圆柱的侧面展开图是一个长方形（矩形）.
3.让学生通过观察、实验、归纳等手段，培养其将“实际问题转化为应用勾股定理
解直角三角形的数学问题”的能力.
情感与态度目标
1.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数
学建模的思想．
2.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．
●重点：
勾股定理的应用.
●难点：
将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题”.
●教学流程：
一、课前回顾
在一个直角三角形中三条边满足什么样的关系呢？
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
→逆命题：如果三角形的三边长a、b、c满足a2 + b2 = c2那么这个三角形是直角三角形。

二、情境引入
探究1：有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,
在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B,蚂蚁沿着圆柱
侧面爬行的最短路程是多少? （π取3）
当圆柱高为12cm ，底面周长为18cm 时，蚂蚁怎么走最近呢？
所走路程为高+直径=12+2×3=18cm
所走路程为高 +πr=12+3×3=21cm
在Rt △ABC 中，利用勾股定理可得， 222CB AC AB +=
cm AB 1522591222=∴=+= 比较方案①②③，可得，方案③为最短路径，最短路径是15cm
总结：1、线段公理
两点之间，线段最短
2、勾股定理
在Rt △ABC 中，两直角边为a 、b,斜边为c ，则a 2+b 2=c 2.
练习1：在底面半径为1、高为2的圆柱体的左下角A 处有一只蚂蚁，欲从圆柱体的侧面如图迂回爬行去吃左上角B 处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？
从A 点向上剪开，则侧面展开图如图所示，连接AB ，则
AB 为爬行的最短路径.
最短路径 πππ2
2221244AB ）2（2+
=+=+=
拓展思考：在棱长为1的立方体的右下角A 处有一只蚂蚁，欲从立方体的外表面爬行去吃右上角B 处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？它有几种爬行方法？（注：每一个面均能爬行）
现在，我们来一起画一个正方体。

该正方体共有六个面，上下，左右，前后
我们来看这个正方体的展开与合上的过程，大家可以发现什么？点B 分散到了四个地方。

所以由点A 到点B 有六种路径
三、自主思考
探究2：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂
直于底边AB，但他随身只带了卷尺
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50
厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？
解答：（2）2222
+=+=
AD AB
30402500
22500
BD=
222
∴+=
AD AB BD
∴AD和AB垂直．
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB 边吗？BC边与AB边呢？
当刻度尺较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论．
四、合作探究
探究3：在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它
高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解答：设水池的水深AC 为x 尺，则这根芦苇长为
AD =AB =（x +1）尺，
在直角三角形ABC 中，BC =5尺.
由勾股定理得:BC 2+AC 2=AB 2.
即 52+ x 2=（x +1）2.
25+x 2= x 2+2x +1.
2x =24.
∴ x =12，x +1=13．
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺．
练习2：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m ，宽2.2m 的薄木板能否从门框内通过?为什么?
连结AC,在Rt △ABC 中,根据勾股定理,
52122222=+=+=BC AB AC
因此,AC= 5≈ 2.236 因为AC__大于____木板的宽,
所以木板__能__ 从门框内通过.
总结：１、立体图形中路线最短的问题:
➢
把立体图形展开，得到平面图形． ➢ 根据“两点之间，线段最短” 确定行走路线，根据勾股定理计算出最短距离． ２、解决实际问题:
➢
将实际问题抽象为数学问题. ➢
构建直角三角形模型，运用勾股定理解决实际问题．
五、达标测评
1. 在△ABC 中，∠B =90°AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b 。

⑴若a =9，b =15，则c = 12 ；
⑵若a =6，c =8，则b = 10 ；
c a b A
B C
⑶已知a :c =3:4, b =25,求 c = __20__.
2. 现准备将一块形为直角三角形的绿地扩大，使其仍为直角三角形，两直角边同时扩大到原来的两倍，问斜边扩大到原来的__2___倍?
3．如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走出了一条“路”，仅仅少走了___4_____步路, 却踩伤了花草.（假设1米为2步）
4.如图,圆锥的底面半径为1,母线长为4,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B 出发,沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少?
我们来看圆锥的侧面展开图，连接BB ’，则BB ’为蚂蚁爬行的最短路径.
解:设圆锥的侧面展开图为扇形ABB ’, ∠BAB ’=n °
连接BB ’,即为蚂蚁爬行的最短路线
∵ 圆锥底面半径为1,母线长为4
∴ 2π= n=90°
∴ △ABB ’是直角三角形
4n π
180
∴ BB ’=244422=+
答:蚂蚁爬行的最短路线为 24
5、如图，要登上8米高的建筑物BC ，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物距离AB 为6米，问至少需要多长的梯子？
解：在Rt △ABC 中根据勾股定理得：
AC 2= 62 + 82
=36+64
=100
即：AC=10
答：梯子至少长10米。

六、应用提高
1．一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图14.2.3的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
图14.2.3
分析由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH ．如图１４.２.３所示，点D 在离厂门中线0.8米处，且CD ⊥ＡＢ， 与地面交于H ．
解 ：OC ＝1米 (大门宽度一半)，
OD ＝0.8米 （卡车宽度一半）
在Rt △OCD 中，由勾股定理得
ＣＤ＝22OD OC -＝228.01-＝０.６米，
C Ｈ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
2.一辆高３米，宽2.4米的卡车要通过一个半径为
3.6米的半圆形隧道，它能顺利通过吗？
解：AB 2=3.62-1.22=12.96-1.44= 11.52
∵11.52＞32
七、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、学会用勾股定理求解问题。

2、将实际问题抽象成数学图形。

3、理解了数形结合的思想。

七、布置作业
教材15页习题第3、4题。