拉丁方试验设计
一、拉丁方格 二、标准拉丁方格 三、n阶拉丁方格的个数 四、正交拉丁方格 五、拉丁方格在安排试验中的应用 六、几点说明 七、拉丁方试验的直观分析 八、拉丁方试验的方差分析
一、拉丁方格
1.定义：用 r 个拉丁字母排成 r 行 r 列的方阵， 使每行每列中每个字母都只能出现一次， 这样的方阵叫r阶拉丁方或r×r拉丁方。 2.N阶拉丁方格 • 2阶或2 ×2 拉丁方 A B b a B C a b （I） （2）
四、正交拉丁方格
• 定义:凡满足3的两个拉丁方格是相互正交的 • 定理：在nxn方格中，当n(>2)为素数或素 数的幂时就有n-1个正交拉丁方格 • 特例：n=2时，无 n=3时，有n-1=2个 N=4时，有n-1=3个：22 N=5时，有n-1=4个 N=6时，没有：不为素数或素数的幂 N=7时，有n-1=6个 N=8时，有n-1=7个：23
A1 A2 A3 A4
六、几点说明
• 由前知，4X4正交拉丁方只有3个，对具4水 平的因素，用正交拉丁格安排试验最多只 能安排2+3=5个因素。 • 用正交拉丁格安排试验的前提：各因素间 无交互作用。 • 优点：使用简单，搭配均衡。
思考
• 三水平能安排几个因素的试验？ • A，B两因素的全面试验能用4X4的两个正 交方格组成吗？
三、n阶拉丁方格的个数
4.计算总数S S=k· n! · (n-1)! K为标准拉丁方格个数
三、实例： n=2时，k=1, s=1 ·2! ·1!=2 n=3时，k=1, s=1 ·3! ·2!=12 n=4时，k=4, s=4 ·4! ·3!=576
三、3阶拉丁方格的个数:12
1 1 A 2 B 3 C 1 1 A 3 C 2 B 2 3 231 B C 1 BCA C A 2 CAB … A B 3 ABC (i) (2) … 2 3 2 3 1 B C 1 BCA A B 3 ABC C A 2 CAB (7) (8) …
对虾饲料配方问题的拉丁方试验结果
机 器 1 2 3 4 5 T..k T..k2 操 2 B=10 C=12 D=15 E=14 A=13 64 4096 作 者 （k列） 4 5 Ti.. D=12 E=12 57 E=13 A=17 67 A=13 B=11 63 B=11 C=11 62 C=15 D=15 64 64 66 T=313 4096 4356 19641
八、拉丁方试验的方差分析
在研究对虾的配合饲料试验时，需要比较5种配 方的效果，现有5台饲料机和5个操作人员，这些机器 的性能和操作人员的技术有所差异，在试验中必须消 除由这两个外来变源造成的影响。对于这个问题可以 按下面的方法进行试验。用每台机器做所有的5种配 方，5个操作人员每人也做所有的5种配方，用这个设 5 5 计进行试验，得到的结果（增重）如表。表中拉丁字 母A、B、C、D、E表示5种配方。拉丁方设计可以在 不增加试验次数的条件下，同时克服两个外来的变源 的影响，但它要求试验总次数为该因素所设水平数的 平方，且要求该因素与这两个方向上的划区作为因素 来看，彼此间没有交互作用。
(6)
(12)
四、正交拉丁方格
• 组合方格（I）和（7）：先编号再组合 A1B1C1 A7B7C7 A1A7 B1B7 C1C7 B1C1A1 C7A7 B7 B1C7 C1 A7 A1B7 C1A1B1 B7C7A7 C1B7 A1C7 B1 A7 • 合成方格具有以下性质 1. A1，B1，C1在各行各列中各出现一次 2. A7，B7，C7在各行各列中各出现一次 3. A1，B1，C1和A7，B7，C7各组合一次（如对A7 ： A1A7 ，B1 A7和C1 A7 各出现一次）
用拉丁方安排试验 B1 A1B1C1 A2B1C2 A3B1C3 B2 18.9 23.4 21.9 64.2 21.4 B2 A1B2C2 A2B2C3 A3B2C1 B3 A1B3C3 A2B3C1 A3B3C2 KCk 58.9 61.8 66.1 k Ck 19.6 20.6 22.0 RC=2.4 RC> RB
五、拉丁方格在安排试验中的应用
再安排C：在4X4中取一个正交拉丁方格，如取第I个。 拉丁方格中的1234分别表示因素C的4个水平C1，C2， C3，C4，按相应位置插到全面试验的相应位置如下表 A1 A2 A3 A4 B1 B2 A1B1C1 A1B2C2 A2B1C2 A2B2C1 A3B1C3 A3B2C4 A4B1C4 A4B2C3 B3 A1B3C3 A2B3C4 A3B3C1 A4B3C2 B4 A1B4C4 A2B4C3 A3B4C2 A4B4C1
I
4×4标准拉丁方有4个
ABCD BADC CDBA DCAB ABCD BADC CDAB DCBA ABCD BCDA CDAB DABC ABCD BDAC CABD DCBA
（I）
（II）
（III） （IV）
三、n阶拉丁方格的个数
一、方法：每个拉丁方格可用标准拉丁方格 对行号或列号随机化排列方法得到其它符 合要求的拉丁方格 二、操作： 1.选中一个标准拉丁方格，编上行号或列号 2.固定行号，列号用不同排列得到。有n!种 3.固定第二步得到的n!个方格的列号及第一 行行号其它行用不同排列生成(n-1)!方格
A1 A2 A3 B1 16.8 18.8 26.2 61.8 20.6
A1 A2 A3 KBj kBj
B3 KAi kAi 16.5 52.2 17.4 20.2 62.4 20.8 24.1 72.2 24.0 60.8 RA=6.6 20.3 RB=1.1 RA >
七、拉丁方试验的直观分析
1.由RB<RC<RA由知对折断力影响从主到次的 因素排序为A，C，B 2.由kA3> kA2>kA1由知A的水平3好；同理…. 最佳工艺条件为A3B2C3 3.当最佳点在试验范围的边界时，要扩大试 验范围。 如A3，C3工还可取水分14，碾压 重取340kg. 4. A3B2C3在试验中没有安排，但拉丁方却具 备找出的此类结果的能力。 5.实际上这是一个极差分析法。
3X3，4X4正交拉丁方格系
3X3 I 123 231 312 II 123 312 231 I 1234 2143 3412 4321 4X4 II 1234 3412 4321 2143 III 1234 4321 2143 3412
五、拉丁方格在安排试验中的应用
• 消除与试验目的无关因素的影响 • 例1：考察ABC三种不同水稻品种对亩产量的影响， 需安排“单因素三水平”试验 A C A C B B B A C (a) (b) A B C B C A C A B (c)
SST = SS行 + SS列 + SS处理 + SSe
自由度是 其中
2Байду номын сангаас
fT = f 行 + f列 + f处理 + f e
f列 = p − 1
fT = p − 1 f e = ( p − 2)( p − 1)
在H0:b1=…=bp下 F=S处2/Se2 服从自由度为((p-1),(p-2)(p-1))的分布。
A B C B C A C A B A B C D B C D A C D A B
3 阶或3 ×3 拉丁方
D A B C
4 ×4拉丁方
二、标准拉丁方格
1。定义：方格的第一行和第一列按拉丁字母 顺序排列。 2. N阶标准拉丁方格的个数 2 ×2 标准拉丁方只有一个 A B B A I 3 ×3 标准拉丁方只有一个 A B C B C A C A B
1 A=12 B=10 C=11 D=13 E=11 57 3249
3 C=11 D=15 E=13 A=13 B=10 62 3844
T.j. 68 52 60 70 63
拉丁方设计的统计模型是 解：1.拉丁方设计的统计模型是 拉丁方设计的统计模型 Xijk=u+ai+bj+ck+eijk i,j,k=1,2,…,p, Xijk是第 行、第k列、第j个处理的观察值， 是第i行 个处理的观察值， 列 个处理的观察值 u是试验的总均值，ai是第 行效应，bj是第 个 是试验的总均值， 是第i行效应 行效应， 是第j个 是试验的总均值 处理的效应， 是第k列效应 列效应， 处理的效应，ck是第 列效应，eijk~N(0,d2). 2.方差分析是把总离差平方和分成行、列、处理 方差分析是把总离差平方和分成行、 方差分析是把总离差平方和分成行 和误差四部分，行和列分别代表了两个外来变 和误差四部分， 源。
答案
• 4个 1。A和B的全面试验 2。C与D的3X3正交方格的组合 3。1和2的组合 • 可以。只要各因素的4个水平与另一个因素 的4个水平各相遇一次，搭配均匀即可。
七、拉丁方试验的直观分析
例：烟灰砖折断力试验 试验目的：寻找最佳工艺条件,折断力是指标 因素水平：生产经验知应选如下： 因素 水平 1 2 3 A (％) 成型水分 8 10 12 B (分) 碾压时间 7 10 13 C (公斤) 一次碾压料重 340 370 400
以下是
饲料配方试验的方差分析
问：A1B1C4没出现，那这个试验安排会最优吗？
五、拉丁方格在安排试验中的应用
• 例3：生产某种染料用四种原料：A-硫磺，B-烧碱，C二硝基，D-硫化碱，每种原料均取四个水平，要找最好 配方，试验又该怎样安排？ • CD用II，III正交拉丁方格 B1 A1B1C1D1 A2B1C3D4 A3B1C4D2 A4B1C2D3 B2 A1B2C2D2 A2B2C4D3 A3B2C3D1 A4B2C1D4 B3 A1B3C3D3 A2B3C1D2 A3B3C2D4 A4B3C4D1 B4 A1B4C4D4 A2B4C2D1 A3B4C1D3 A4B4C3D2