2015年4月高等教育自学考试全国统一命题考试
04184 线性代数（经管类）试卷
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设行列式D 1=
2
2
11b a b a ，D 2=
2
22
1113232a b a a b a --，则D 2=
【 】
A.-D 1
B.D 1
C.2D 1
D.3D 1 2、若
A=⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛1x 1021，B =
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛y 24202，且2A =B ，则
【 】
A.x=1，y=2
B.x=2，y=1
C.x=1，y=1
D.x=2，y=2
3、已知A 是3阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A 等价的是 【 】
A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000001
B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001
C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000001
D.⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛100010001
4、设2阶实对称矩阵A 的全部特征值味1，-1，-1，则齐次线性方程组（E +A ）x =0的基础
解系所含解向量的个数为 【 】
A.0
B.1
C.2
D.3 5、矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--3113有一个特征值为 【 】
A.-3
B.-2
C.1
D.2
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6、设A 为3阶矩阵，且A =3，则13-A = .
7、设A =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛5312，则A *= . 8、已知A =⎪⎪⎭⎫
⎝⎛1201，B =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-211111，若矩阵X 满足AX =B ，则X = .
9、若向量组=1α(1，2，1)T ，=2α(k-1，4，2)T 线性相关，则数k= .
10、若齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=+-=++0
3020
2321321321x x x x x x ax x x 有非零解，则数
a = .
11、设向量=1α(1，-2，2)T ，=2α(2，0，-1)T ，则内积（21,αα）= .
12、向量空间V ={x=(x 1，x 2，0)T |x 1，x 2R ∈}的维数为 . 13、与向量（1，0，1）T 和（1，1，0）T 均正交的一个单位向量
为 . 14、矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛3221的两个特征值之积为 . 15、若实二次型f(x1，x2，x3)=2123222212x x x a ax x +++正定，则数a 的取值范围是
.
三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）
16、计算行列式D =5
111141111311112的值.
17、设2阶矩阵A 的行列式2
1=A ，求行列式*12)2(A A +-的值.
18、设矩阵A =⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---101111010，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--301521，矩阵X 满足X =AX +B ，求X .
19、求向量组T T T T )10,1,3(,)6,3,1(,)1,5,2(,)1,2,1(4321-=--===αααα的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.
20、利用克拉默法则解线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=++=++23221232212
3221333c x c cx x b x b bx x a x a ax x ，其中c b a ,,两
两互不相同.
21、已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111311a a A 与⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=b B 00010000相似，求数b a ,的值.
22、用正交变换化二次型212121455),(x x x x x x f ++=为标准型，并写出所作的正交变换.
四、证明题（本题7分）
23、设A ，B 均为n 阶矩阵，且A =B +E ，B 2=B ，证明A 可逆.
2015年4月高等教育自学考试全国统一命题考试
线性代数（经管类）试题答案及评分参考
（课程代码 04184）
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分类，共10分）
1.C
2.A
3.D
4.C
5.B 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
6. 9
7.⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--2315 8.⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--031111 9. 3 10. -2 11. 0 12.
2
13.
()()T T 1,1,13
11,1,13
1---或
14. -1 15.a ＞1 三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）
16.解 D=4
2
003201
1501
1
3
1
5
111141111121
131------=-
（5
分）
=
744
2
0321
15=--
（9分）
17.解 由于2
1
=A ，所以A 可逆，于是1*-=A A A （3分） 故11
*122
12)2(---+=
+A A A A A （6分）
=2923232112
111=⎪⎭
⎫
⎝⎛==+----A A A A （9分） 18.
解
由
B
AX X +=，化为
()B
X
A E =-，
（4分）
而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-201101011A E 可逆，且()⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=--110123120
31
1A E （7
分）
故⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=110213350211110123120
31
X （9
分）
19.解 由于()⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→00007510171101751075103121,,,4321αααα （
5分） 所以向量组的秩为2，21,αα是一个极大线性无关组，并且有 214213717,511αααααα-=+-= （9分）
注：极大线性无关组不唯一。

20. 解 方程组的系数行列式
D=()()()b c a c a b c c
b b a a ---=2
22
111
因为a,b,c 两两互不相同，所以0≠D ，故方程有唯一解。

（4分）
又03332
2
22
22
1==c c c b b b a a a D ，03131312
2
222
22==c c b b a a D ， D c c
b b a a D 33131312
22
3==
（7分）
由克拉默法则得到方程组的解 33,0,0332211=======D
D
D D x D D x D D x （9分）
21.解 因为矩阵A 与B 相似，故 trB trA =且
B
A =,
（6分） 即()⎩⎨⎧=-++=++0
1101312
a b
所以a=1,b=4.
（9分）
22. 解 二次型的矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=5225A 由于()()73--=-λλλA E ，所以A 的特征值7,321==λλ
（4分）
对于特征值31=λ，由方程组()03=-x A E 得到A 属于特征值
31=λ的一个单位特征向量⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
11221α 对于特征值,72=λ由方程组()07=-x A E 得到A 属于特征值72=λ的一个单位特征向量⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=
11222α. 得正交矩阵()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
=111122,21ααQ ，作正交变换Qy x =， 二次型化为标准形.732
2
21y y f += （9
分）
四、证明题（本题7分）
23.证 因为E B A +=,所以B E A =-,又B B =2, 故()E
A E A -=-2,
(3分）
化简得 ,232E A A -=-于是()E E A A =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--32
1,故A 可逆。

（7分）。