当 r 时，幅值达到最大值 Mr ；
当 r 时，幅值迅速减小，M () 0.707 时
的频率c 称为截止频率；频率大于c 后，输出 幅值衰减更快。
M ()
1
0.707
0
Mr
1
r c
图5-6 振荡环节的频率响应
推广：当振荡环节传递函数的分子是常数K时，
即
G(s)
T
2
s
2
K
2Ts
1
，其对应频率特性 G( j) 的起
当 1 时， G( j 1 ) 1 ， G( j 1 ) 450 ；
T
T
2
T
当 时， G( j) 0 ，G( j) 900 ；
Im
Im
0
Re
0
0
Re
0
图5－4 惯性环节的频率特性 图5－9 不稳定惯性环节的频率特性
（八） 滞后环节 滞后环节的传递函数为
G(s) e s
对应的频率特性是 G( j ) e j
系统的频率特性：G( j) G( j) e jG( j)
系统的频率特性反映了在正弦输入信号作用下，系统的稳
态响应与输入正弦信号的关系。
其中： G( j ) Y ( ) 称为系统的幅频特性，反映系统在
不同频率正弦X信号作用下，输出稳态幅值与输入信号幅值 的比值，即系统的放大（或衰减）特性。
G(
j
一、典型环节幅相曲线
（一） 放大环节（比例环节)
放大环节的传递函数为 G(s) K （K为常数）
对应的频率特性是
Im
G( j) K
幅频特性
G( j) K
相频特性
K
Re
0
0
G( j ) 00
图5-2 放大环节的频率响应
（二） 积分环节 积分环节的传递函数为
G(s) 1 s
对应的频率特性是
Re[G( j)H ( j)] Im[G( j)H ( j)]
实频特性 Re[G( j)H ( j)]
Im[G( j)H ( j)]
0 Re[G( j)H ( j)] K(T1 T2 ) Im[G( j)H ( j)]
与实轴交点 令 Im[G( j)H ( j) 0
得 x
1 T1T2
则系统稳态响应可化为
yW (t) G( j ) e j ( )
Xe jt 2j
G( j ) e j ( )
Xe jt 2j
G( j ) X e j(t ) e j(t )
2j
G( j ) X sin(t )
或 yW (t) Y sin(t )
式中Y=|G(jω)|X为稳态输出信号的幅值; G( j) 为稳态输出信号的相移。
注意： 幅频特性是角频率的偶函数，相频特性是的奇函数， 因此，角频率从0变化到无穷大时的幅相曲线与从负无 穷大变化到0的幅相曲线关于实轴对称，通常，只画出 从0变至时的幅相曲线，并在曲线上用箭头表示增大的 方向。 只要的值取得足够多，用解析的方法得到不同值时的 幅值和相角，就可以在极坐标平面上画出较精确的幅相 频率特性曲线。
相频特性
G(
j
)
arctg
1
2T T 2
2
当 0 时， G( j0) 1 ，G( j0) 00 ；
当 1 时， G( j 1 ) 1 ，G( j 1 ) 900 ；
T
T
2
T
当 时， G( j) 0 ，G( j) 180 0 ；
振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比ξ有关。
Re[G(
j
x
)
H
(
j
x
)]
KT1T2 T1 T2
若在例4－1系统中再增加一个积分环节，则系统
为2型系统 其开环传函为
G(s)H (s)
s2 (T1s
K 1)(T2 s
1)
解 系统开环频率特性为 G( j)H ( j) K 1 1 1
1
j j jT1 1 jT2 1
幅频特性 G( j)H ( j) K
Im
G
.
0
0.5
450
0 Re
1
1/ T
图5-4 惯性环节的频率响应
证明：
G( j)
jT
1
1
1
1
T 2
2
j
1
T T 2
2
ReG
(
j
)
1
1
T 2
2
u()
则有
ImG(
j
)
1
T T 2
2
v()
u( )
12 2
v( )2
1
1
T 2
2
1 2 2
1
T T 2
2
2
1 2 2
推广：当惯性环节传递函数的分子是常数K时，即
G
1
Re
0
0
图5-8 二阶微分环节频率特性图
（七） 不稳定惯性环节
不稳定惯性环节的传递函数为
G(s) 1 1 Ts
对应的频率特性是
G( j ) 1 1 jT
幅频特性
G( j)
1
T 2 2 1
相频特性
G( j) (arctgT) arctgT
当 0 时， G( j0) 1 ， G( j0) 00 ；
称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率，
是振荡环节频率特性曲线与虚轴交点处的频率。
谐振峰值
M r G( jr ) 2
1 (0 1 2
1) 2
谐振相移
r G( jr ) arctg
1 2 2 90 0 arcsin
1 2
振荡环节的幅值特性曲线
当 0 r 时，随着ω的增加，幅值缓慢增大；
)
(
)
arctg
ImG( Re G(
j j
) )
称为系统的相频特性，反
映系统在不同频率正弦信号的作用下，输出信号相对输
入信号的相移。
系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。
获取系统频率特性的途径: 一、解析法
当已知系统的传递函数时，用s=jω代入传递函数可 得到系统的频率特性G(jω)。
1
相频特性G(
j)H
(
j)
2
180
2Ta1r2 ct1gT12T2 2arc1tgT2
起点 0, G( j)H( j) , G( j)H( j) 180
终点 , G( j)H( j) 0, G( j)H( j) 360
起点或终点存在无穷大，求渐近线
与实轴交点 令
例4-2 系统的开环传递函数为
解 系统开环频率特性为
G( j)H ( j) K
1
j
1
jT1 1
1
jT2 1
幅频特性 G( j)H ( j) K
1
2T12 1 2T22 1
相频特性G( j)H ( j) 90 arctgT1 arctgT2
起点 0, G( j)H( j) , G( j)H( j) 90
终点 , G( j)H( j) 0, G( j)H( j) 270
相频特性
G( j) arctgT
当 0 时， G( j0) 1 ，G( j0) 00 ；
当 1 时， G( j 1 )
T
T
1 2
0.707，G(
j
1 T
)
450
；
当 时， G( j) 0 ，G( j) 900 ；
当ω由零至无穷大变化时，惯性环节的频率特性
在 G( j) 平面上是正实轴下方的半个圆周，
j 1 n2l
j 1 l
( j)
( jTi 1) [Ti 2 ( j)2 2 iTi ( j) 1]
i 1
i 1
解 系统开环频率特性为
幅频特性 G( j)H ( j) K
1
2T12 1 2T22 1
相频特性 G( j)H ( j) arctgT1 arctgT2
起点 0, G( j)H( j) K, G( j)H( j) 0
A(s) B(s)
(s
s1)(s
A(s) s2)(s
sn
)
由此得到输出信号的拉氏变换
Y(s) G(s)X (s)
(s
s1)(s
A(s) s2)(s
sn )
(s
X j )(s
j )
b b a1 a2 an
s j s j s s1 s s2
s sn
对上式进行拉氏反变换得到系统的输出为
终点 , G( j)H( j) 0, G( j)H( j) 180
与负虚轴交点 arctgT1 arctgT2 90
1
T1T2
G( j)H ( j) K T1T2
T1 T2
若在例4－1系统中增加一个积分环节，则系统为1型系统
其开环传函为 G(s)H (s)
K
s(T1s 1)(T2s 1)
幅频特性
G( j) 1 2 2 2 4 2 2 2
相频特性
G(
j
)
arctg
1
2 2
2
当 0 时， G( j0) 1 ，G( j0) 00；
当
1
时，
G( j 1)
2
， G( j 1 ) 900 ；
T
当 时， G( j) ，G( j) 180 0 ；
Im
2 ( 1)
1
时，
G( j 1)
2 ， G( j 1 ) 450 ；
T
当 时， G( j) ，G( j) 900 ；
Im
G
G
0