固体物理典型教案
§6.7 纯金属电阻率的统计模型
一．电阻率的本质 比喻
1． 纯金属具有电阻率的本质：金属的电阻率ρ与外电场ε和电流密度j 的关系为j ρ=ε。

外电场ε一定，电阻率ρ大的金属电流密度j 就小。

而电流密度j 正比于电子在电场方向的飘逸速度。

这就是说电阻率ρ大的金属，电子的飘逸速度就小。

电子的飘逸速度小，表明电子在外电场作用下的定向运动受到的阻力大。

对于纯金属，这个阻力只能是来自晶格，是晶格的振动引起了电子的散射，使电子的运动方向随时发生变化，减缓了在外电场方向的飘逸速度。

2． 比喻：拿做广播体操作比喻。

把穿越体操阵列者比喻成电子，做操者比喻成振动的原子。

一旦做起操来，要想穿过这体操阵列，为了避开做操者，穿越者不得不东躲西闪。

这样以来，穿过这体操阵列花费的时间就长了，穿越速度就降低了。

二．实验规律
高温：纯金属电阻率 T ∝ρ， 甚低温：5
T ∝ρ
问题：为什么纯金属电阻率与温度会有如此的奇异关系？ 三． 前人的工作
包括J.Bardeen 在内的不少人对纯金属电阻率与温度的依赖关系进行过研究，但“处理方法、
数学积分及至结果表达式都是相当令人生畏的。

”[R.J.Elliot and A.F.Gibson, AnIntroduction to Solid State Physics and its Applications, 311(1976) ]，这些研究难以以基础课的内容让学生们接受。

问题：能否用更简单明了的模型来揭示纯金属电阻率与温度的关系？
四． 提出“纯金属电阻率的统计模型”的基础与思路
1． 基础一
纯金属具有电阻率，是晶格的振动引起了电子的散射，使电子的运动方向随时发生了变化。

电子运动方向发生变化，说明电子与晶格之间发生了能量和动量的交换。

在第三章中把晶格振动谱测定中的光子与晶格的能量和动量的交换，看成是光子与声子的相互碰撞。

同理，我们也可以把电子与晶格之间的相互作用, 看成是电子与声子之间的相互碰撞。

2．基础二
第三章中晶格热容是一个宏观物理量，是晶格振动的统计平均效应。

爱因斯坦采取了一个平均频率的简单模型，取得了很成功的结果。

电阻率也是一个宏观物理量，是电子与晶格作用的统计平均效应。

是否可采取平均声子的模型来处理纯金属电阻率问题呢？所谓平均声子模型，是假定声子系统由平均声子来构成，在这个系统中，每个声子的动量等于原声子系统中声子的平均动量。

3. 基础三
由上一节（§6.6）已知，对电导有贡献的只是费密面上的电子，因此纯金属电阻率可看成是费密面上的电子与平均声子相互碰撞的结果。

金属的电阻率
τ
ρ2*
ne m =， （1）
电子浓度n ，电子电荷e ，费密面上电子的有效质量*
m 可看成与温度无关。

可见电阻率与温度的依赖关系，实际是弛豫时间τ的倒数与温度的依赖关系。

由§6.5节可知
()()θτ
cos 1' , 1
'
-=∑k k k Θ.
采用平均声子模型, 上式简化成
()()
θθτ
cos 1 ,' , Z 1
-=k k Θ, （2）
其中Z 是一常数，是除k 态外，费密面上其它电子态的总和，θ是电子与一个平均声子碰撞所产生的散射角。

五．电阻率与声子参数的关系
Θ(θ)是波矢为k 的电子在单位时间内与一个平均声子的碰撞几率，也即波矢为k 的电子在
单位时间内与一个平均声子的碰撞次数。

把电子和声子看成气体分子，按照经典统计理论，A 气体分子与B 气体分子的碰撞次数，正比于A 和B 分子的平均相对速度
2/12
2)(B A r ννν+=
和B 分子的浓度. 费密面附近电子的平均速度*
/m k F , 是一常数; 按照德拜模型, 声子的速度为金属中的声速, 也是常数。

所以 Θ(θ)只正比于声子的浓度p n 。

若只考虑正常散射过程，由下图可知
F
F k q
k q 222
sin
=
=
θ
. (1-cos θ)=2
2
2
)
(2)(2sin 2F k q =θ
. （2）式变成
22 )( '1
q n q n P p μμτ
== ,
于是
2
2
*ne q n m p μρ=
. (3)
因为q 是声子的平均动量，由此推出重要结论：纯金属的电阻率与声子浓度和声子平均动量的平方成正比。

六．纯金属电阻率与温度的依赖关系 晶格振动采用德拜理论，S q νω=, 声子浓度
⎰
=
D
d D n V
n P ωωωω0
)()(1, (4)
其中
11
)(/-=
T k B e n ωω
3
22
23)(S
V D νπωω=. 声子的平均波矢
V
n d D n q P S
D
⎰
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=
ωωωωνω0
)()(. (5) 取变量变换
T
k x B ω
=
, 将以上诸式代入(3)式得
⎰⎰-⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-=T Θx T Θx D D e dx x e dx x AT /022
/0351
1ρ, (6) 其中常数
5
325
*) (4 3S
F B
ek n k m A νπμ = . 高温时,e x ≈1+x , 得到
T Θ4 9
2D A =
ρ. (7) 在甚低温时, D Θ/T →∞,得到
ρ=17.6A 5T . ( 8)
可见由平均声子模型得到的理论结果与实验规律是相符的. 七．高低温电阻率与温度的关系存在差异的原因 高温时：由(4)式得, T n p ∝, 由(5)式得, q 是一常数; 因此T ∝ρ。

甚低温时: 由(4)式得, 3
T n p ∝, 由(5)式得, T q ∝; 因此5
T ∝ρ。

八. 小结
1. 本节是认识和理解电子与声子相互作用的最典型的例子之一。

2. 费密面上的电子遭受声子散射是纯金属具有电阻率的根源。

3. 纯金属的电阻率与声子浓度和声子平均动量的平方成正比。

此结论把纯金属的电阻率与声子的参数联系了起来。