3 整式与分解因式
【知识梳理】
1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即
n m n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）
；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即n
n
n
b a ab =)(（n 为正整数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：n n a
a 1
=
-（a≠0，n 为正整数）； 2.整式的乘除法:
(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. (2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.
(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. (4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.
(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即2
2))((b a b a b a -=-+；
(6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）
它们的积的2倍，即2
222)(b ab a b a +±=±
3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式．
4.分解因式的方法：
⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=±
5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解． 6．分解因式时常见的思维误区：
⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉． (3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等
【例题精讲】 【例1】下列计算正确的是（ ）
A. a ＋2a=3a 2
B. 3a －2a=a
C. a 2∙a 3=a 6
D.6a 2÷2a 2=3a 2 【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的
结果是（ ）
A ．m
B ．m
C ．m +1
D ．m -1
【例3】若2
320a a --=，则2
526a a +-= ． 【例4】下列因式分解错误的是( )
A ．2
2
()()x y x y x y -=+- B ．22
69(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+
D ．2
2
2
()x y x y +=+
【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一
行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是________
【例6】给出三个多项式：
21212x x +-，21412x x ++，21
22
x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
【检测】
1.分解因式：39a a -= ， _____________
22
3=---x x x 2.对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时， （a ，b ）=（c ，d ）．定义运算“⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）
⊗（p ，q ）=（5，0）
，则p ＝ ，q ＝ ． 3. 已知a=1.6⨯109，b=4⨯103，则a 2÷2b=( )
A. 2⨯107
B. 4⨯1014
C.3.2⨯105
D. 3.2⨯1014 ．
4.先化简，再求值：22
()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中22a b =-=．
5．先化简，再求值：22
()()()2a b a b a b a +-++-，其中133
a b ==-，．
4 分式与分式方程
【知识梳理】
1. 分式概念：若A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，则代数式
B
A
叫做分式． 2.分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分： 3．分式运算
4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程．
5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根． 【思想方法】
1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）
2.检验
【例题精讲】
1．化简：222211
1x x x x x x
-+-÷-+
2．先化简，再求值： 22224242x x x x x x --⎛⎫
÷-- ⎪-+⎝⎭
，其中2x =
3．先化简1
1112
-÷-+x x
x ）（，然后请你给x 选取一个合适值,再求此时原式的值．
4．解下列方程（1）
013522=--+x
x x x （2）416
22222
-=-+-+-x x x x x
5．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
【检测】
1．当99a =时，分式21
1
a a --的值是
．
2．当x 时，分式1
12
--x x 有意义；当x 时，该式的值为0． 3．计算2
2
()ab ab
的结果为 ．
4. ．若分式方程
x
x
k x --=
+-2321有增根，则k 为（ ） A. 2 B.1 C. 3 D.-2
5．若分式
3
2
-x 有意义，则x 满足的条件是：（ ） A ．0≠x B ．3≥x C ．3≠x D ．3≤x
6．已知x ＝2008，y ＝2009，求x y
x 4y 5x y x 4xy
5x y 2xy x 22
22-+-+÷-++的值
7．先化简，再求值：4x
x 16
x )44x x 1x 2x x 2x (2222+-÷+----+，其中22+=x
8.解分式方程． (1)22011
x
x x -=+- (2)
x 2)3(x 22x x -=--；
(3) 11322x
x x -=--- (4)11
-x 1x 1x 22
=+--
5 二次根式
【知识梳理】 1.二次根式：
(1)定义:____________________________________叫做二次根式. 2．二次根式的化简：
3．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式． （2）根号内不含分母 （3）分母上没有根号
4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 5．二次根式的乘法、除法公式：
（1
a 0b 0≥≥，）（2
a 0b 0≥ ，）
6．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并
同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式． 【思想方法】 非负性的应用
【例题精讲】 【例1
有意义，x 的取值范围是（ ） A ．1x ≠
B ．0x ≠
C ．10x x >-≠且
D ．10x x ≠≥-且
【例2
）． A ．6到7之间 B ．7到8之间 C ．8到9之间
D ．9到10之间
【例3】 若实数x y ，
2(0y =，则xy 的值是 ．
【例4】如图，A ，B ，C ，D 四张卡片上分别写有52π7
-，，四个实数，从中任取两张卡片．
A B C D
（1）请列举出所有可能的结果（用字母A ，B ，C ，D 表示）； （2）求取到的两个数都是无理数的概率．
【例5】计算：
（1）10
3130tan 3)14.3(27-+︒---）
（π （2）1
01(1)52-⎛⎫
π-+-+-- ⎪⎝⎭
【例6】先化简，再求值：)1()1112(2-⨯+--a a a ，其中33-=a ．
【检测】
1.计算：（10
32tan 60(1--+-
．
（2）cos45°·(－21)－2
－(22－3)0＋｜－32｜＋121-
（3）023cos 304sin 60
-++-
．
2.如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简。