2.5 平面向量应用举例[教学目标]一、知识与能力：1.运用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.运用向量方法解决某些简单的物理问题.二、过程与方法：经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题和物理问题的过程；体会向量是一种处理几何问题和物理问题的工具；发展运算能力和解决实际问题的能力.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点.[教学重点]运用向量方法解决某些简单的平面几何问题和物理问题.[教学难点]运用向量方法解决某些简单的平面几何问题和物理问题.[教学时数]2课时．[教学要求]教师应该引导学生运用向量解决一些物理和几何问题，例如，利用向量计算力使物体沿某方向运动所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行与垂直的位置关系等问题.[教学过程]第一课时一、复习回顾1．向量的概念；2．向量的表示方法：几何表示、字母表示；3．零向量、单位向量、平行向量的概念；4．在不改变长度和方向的前提下，向量可以在空间自由移动；5．相等向量：长度（模）相等且方向相同的向量；6．共线向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量.7．要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能做出已知两个向量的和向量；8． 要理解向量加法的交换律和结合律，能说出这两个向量运算律的几何意义； 9． 理解向量减法的意义；能作出两个向量的差向量.10． 理解实数与向量的积的意义，能说出实数与一个向量的积这与个向量的模及方向间的关系；11． 能说出实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算； 12． 能表述一个向量与非零向量共线的充要条件； 13． 会表示与非零向量共线的向量，会判断两个向量共线.二、讲授新课由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图像的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此可用向量方法解决平面几何中的一些问题.例1 证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.1111,2222,/./.ABCD AC BD O AO OC AB AC DB DC DB AC AB DC AB DC AB BO DCAB D C O D ===+=+∴==，即且所以四边形是平行四边形，即对角证明：设四边形的对角线、交于点，且线互相平分的四边形是平行四边形，1//.2DE ABC DE BC DE BC ∆=已知是的中位线，用向量的方法证明：，且例2 ()11,,2211.221//.2AD AB AE AC DE AE AD AC AB BC DE BC D BC DE BC ===-=-==证明：易知所以即，又不在上，所以例3 用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.()()(),,,,,,,··0·0AB AC AH BH CH BC B H BE C H AC CH AB A B F H C ====-=-=-⊥⊥∴-=-=-=⇔⊥证明：设是高线、的交点，则有化简得，所以，三角形三条高线交于一设点.且a b h h a h b b a h a b h b a h b a222.ABC AC BC BC a AC b A R B t c c b a ∆⊥====+中，，，，证明勾股定，在则理，例4222222··2?·||||0||.AB AC CB AB AB AC AC AC CB CB CB AB A b a c C CB =+=++=++=+证明：由，故，得即()2222.|2|||||||ABCD AC AC DB AB AD BD =++已知平行四边形的对角线为、求证：例5()()()22222222222222|||2|||2|2|||?,||||?|||||.|AC AC AB ADAB AD AB AD DB DB AB ADAB AD AB ADAC DB AB AD ===++===+-+++=-证得明：由练习1：用向量方法证明：对角线相等的平行四边形是矩形.()()2,, 0,.AB AO OB AD AO OD AB AD AO OB AO ODAO AO OD OB AO OB OD AB AD AB AD ABCD AC BD AB O CD =+=+∴=++=+++=∴⊥⊥∴解：如图，四边形对角线、交于点，即，四边形是矩形练习2：用向量方法证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.()()222222222,|||?|||||||2|||?2||AB AO OB BC BO OCAB AO OBAO AO OB OB AO OB BC BO OC B ABCD AC O BO O BD O OC =+=+==+=+==+++++证明：如图平行四边形，对角线、交于点，222||||||,|||.C BO OC AB BC ABCD ∴=∴=+，四边形是菱形 三、归纳小结与作业向量是沟通数与形的十分有效的工具，利用向量处理平面几何问题，最重要的是要先在ABCBC平面图形中寻找向量的“影子”，然后合理引入向量，并通过向量的运算，达到快捷解题的效果. 布置作业习题2.5 A 组 1、2，B 组 3第二课时一、引入新课物理学家很早就在自己的研究中使用向量概念，并早已发现这些量之间可以进行某种运算。

数学家在物理学家使用向量的基础上，对向量又进行了深入的研究，使向量成为研究数学和其他科学的有力工具.本节将举例说明向量在解决物理问题中的应用. 二、例题讲解()()1212122,457,020,151,2,.A B =+=-已知两个力（单位：牛）作用于同一质点，此质点在这两个力的共同作用下，由移动到（单位：米），试求：（）分别对质点所做的功；（）求的合力对质点所做的功例1f i j f i j f f f f ()()112212125,3,13,15,·43,23,·204323AB W AB W AB W AB ==⋅+=-======--解：和所做功分别为焦和焦，它们的合力所做功为20所以焦.f f f f f f f f12如图，求两个力、的合力的大小和方向（精确到一位小数）.例2f f f()()()()()()()1122121212122212,259.8150,141.414,,300cos30300sin 30200cos 45200sin 45259.8,150141.4,141.4118.4,291.4,118.4291.4314.5291.4tan 2.46118.14.4a a b a a x b b b θθ=====-==︒==-=+==+︒===︒-==︒=解：设则，设与轴正向夹角为，，所，则以f f f f f f f f f 53'.314.56753'227'7.116kg x y θθ=︒︒︒答：两个力的合力是，与轴的正因为的坐标知是第一象限的方向的夹角为，与轴的夹角为角，所以f2/2/.m s m s 河水从东向西流，流速为，一轮船以垂直水流方向向北横渡，求轮船实际航行的方向和航速例3222/2/||222 2.8(/)..2.82/m s m s m s m s ==+===++解：设“向西方向，”，“向北方向，”，则由=，可得的方向为西北方向答：轮船实际航行速度为“向西北方向，”.a b a b a b a b12500A 10/2/d m km h km h ===如图，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从出发到河对岸.已知船的速度，水流速度，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1min ）？例4v v()()12226096/,0.59 3.1min 1m 63.in.km h d t =-===⨯≈解：要使船行驶最短路程，那么船的速度答：行驶航速与水流速度的合速度必须最短时，所用时间是垂直于对岸，所以v v v v v练习1：()()()12312333,42,5,.x y ==-=++=0已知三个力，，的合力，求F F F F F F F()33205,145051x x y y ++=⎧=-=-⎨⎧⇒-+=⎩⇒⎨=⎩解：由平面向量的加法的坐标运算，则F .练习2：121121.,0N 3π=的夹角是直角，且已知它们的合力与已知两个力的夹角为，，求、的大小F F F F F F F12cos 5N,3sin53N.3ππ====解：F F F F练习3：.a =某人骑车速度，方向向东，此时感到风从正北方吹来，若将速度加快一倍，则感到风从东北方吹来，求风速与风向v245,.POPA PA OAPB PBA-=-=-⊥=-∠=︒=解：如图，若无风，则感到风速为，设实际风速为，则此人感觉到的风速为，加速前我们由此人感觉到的风向量且，加速后我们由此人感觉到的风向量且所以风速，来自西北方向v xx vx vx vx三、归纳小结与布置作业向量具有强烈的物理学实际背景，物理学中有两种基本量，标量和矢量，矢量遍布在物理学的很多分支，它包括力、位移、速度、加速度、动量等，虽然物理学中的矢量与数学中的向量并不完全相同，但并不影响向量在物理学中的作用，许多物理学问题可以通过向量的方法加以解决.布置作业：习题2.5 A组3、4 B组1、2。