年上海市春季高考数学试卷2019分）7-12题每题5分，第题，满分541-6题每题4分，第一、填空题（本大题共12．，则4，，，5，1．（4分）已知集合，2，3，6}A{1?{35}?B?AB2?3n?12n2．（4分）计算．?lim2n?4n?1??n3．（4分）不等式的解集为．5?x?1||2(x?0)x)?xf(的反函数为分）函数（4．4．5．（4分）设为虚数单位，，则的值为i|z|i3z?i?65?2x?2y??1?6．（4分）已知，当方程有无穷多解时，的值为．a?24x?ay?a?16的展开式中，常数项等于．7．（5分）在)?(x x1，则．8．（5分）在中，，，且?ABB2sin3sin AAC?3?ABC?cos C?49．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有种（结果用数值表示）2x?3y交于点，函数，函数10．（5分）如图，已知正方形，其中1)?(aOA?aPBCOABC1?的值为．交于点，当最小时，则x?y|CPAQ|?||ABQ a222yx??1PF?PFP1F上任意一点，与关于若有，则轴对称，在椭圆（11．5分）PPQ x12142FQ的夹角范围为．与2?，使得对任意，，，，存在正数，分）已知集合12．（5t?[A9]?t41]t??[tA?aA?0?t的值是．都有，则A?a二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列函数中，值域为，的是)??)([01x y?tan x2y?．C．D B．．A x cos y?xy?222”是“”的分）已知、，则“14．（5||?|b|a)(b?aRb?a A．充分非必要条件B．必要非充分条件D．充要条件．既非充分又非必要条件C??????a?，、，、，两两垂直，直线、、15．（5分）已知平面满足：?c?bb ca则直线、、不可能满足以下哪种关系)(b ca A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面16．（5分）以，，，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，y0)0)0)(1,0)ya((a(11211的轨迹是，则点，，且满足)(,0))(0?lny?lnyy(212aa21A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）PA?PB?PC?2,AB?BC?AC?3．17．中，（14分）如图，在正三棱锥ABC?P（1）若的中点为，的中点为，求与的夹角；PBMMNBCACN（2）求的体积．ABCP?18．（14分）已知数列，，前项和为．S3aa{}?n nn1（1）若为等差数列，且，求；S15{a}?a n4n lim S?12q 的取值范围．为等比数列，且（2）若，求公比}a{n n n??19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年年我国卫生货2015?用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占．比．（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：357876.6053t研年，第年卫生总费用与年份之间拟合函数（2）设表示19781t??(t)f n6.4420?0.1136t e?1究函数的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．)f(t2?4yx，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段．20（16分）已知抛物线方程与PFPQF|PF|．抛物线的交点，定义：?P)d(|FQ|8；时，求（1）当)Pd()?1,P(?3（2）证明：存在常数，使得；aPF|?(P)?|2d a （3），，，判断与为抛物线准线上三点，且的关PP)|dd(P)?(|PP|?|PP)(2dPPP3321211232系．?，数列满足，集合分）已知等差数列，的公差．21（18(0?d])}{a sin(?}{bba nnnn??*N??b,nS?|xx．n?2，求集合）若1；（S?d0,a?13?，求使得集合2（）若恰好有两个元素；Sd?a12（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值．TTSb?b nT?n年上海市春季高考数学试卷2019参考答案与试题解析分）7-12题每题554分，第1-6题每题4分，第一、填空题（本大题共12题，满分，．，，5，，则，1．（4分）已知集合2，3，4，6}1{A?5}{3{3B?5}?AB，，，集合，2，34【解答】解：1A?{5}，，，56}{3B?，．5}{3A?B?故答案为：，．5}{32?3n?2n1lim?2（4分）计算．2．2n?4n?1??n31?2?21?n?3n22nn limlim2??解：．【解答】1421n?n?4??n??n?1?2nn故答案为：2．3．（4分）不等式的解集为．6,4)(?5?|x?1|【解答】解：由得，即5?1|?|x4?6??1?5x?5??x故答案为：，．4)6?{2?10)?)x?(xf(x．4分）函数的反函数为．4（0)??x(fx)(x20)x?y?x(解得，解：由【解答】y?x?10)x??x?f((x)1?f故答案为0)?x(x(x)?的值为为虚数单位，．（4分）设，则5i|z|i3z?i?56?，得【解答】解：由，即，iz?2?6i6z3?i??5?3z6?i222．222?z?z?||||2??故答案为：．22．2x?2y??1?6．（4分）已知，当方程有无穷多解时，的值为．2?a?24x?ay?a?【解答】解：由题意，可知：方程有无穷多解，可对①，得：．2??x?4y42??再与②式比较，可得：．2??a故答案为：．2?16的展开式中，常数项等于15．7．（5分）在)?(x x3r?613r?96r得展开式的通项为，【解答】解：令)?(xx?TC2?r0?26r?12x2?15C．故展开式的常数项为第3项：6故答案为：15．1．，且分）在中，，，则8．（5?AB10BA3sin?AC?32sin?ABC?C cos4解：，【解答】B3sin A?2sin由正弦定理可得：，ACBC?23?由，，可得：2?AC3?BC?1，?cos C4222AB?2?13??，由余弦定理可得：?42?3?2解得：．10AB??故答案为：．109．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有24种（结果用数值表示）3?244A人排列，故有种，剩下的3【解答】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，3故答案为：24．2x?y3交于点，函数，函数，其中分）如图，已知正方形（10．51)(a?OAa?PBCOABC．1?最小时，则交于点，当．的值为xy?|CP||AQ?|ABQ3a21a，，【解答】解：由题意得：点坐标为，点坐标为)aPQ)a,((a311a2?|AQ|?|CP|?…，a33时，取最小值，当且仅当3?a．故答案为：322yx1??轴对称，在椭圆，若有则与关于上任意一点，11．（5分）PFPFPF?1PPQ x121241??与，．的夹角范围为QF]arccos?[23，【解答】解：设，则点)x,yP()?y(xQ,22yx1??，椭圆，，，的焦点坐标为2(?2(0)0)24，1P?PFF 21221?y?x??2，22yx1??结合242[1?y可得：，2]?QFFP故满足：与的夹角21222QFFPyy2?32x8??1?21，1[3?cos???????]?222y?2y?32222QPFFx?82?y)(x?211???故，]arccos??[31??故答案为：，]arccos[?3．?，使得对任意，，，，存在正数12．（5分）已知集合，tA?[9]t?4?t?1][tA?0?Aa?t的值是，则．都有3?A?a?，，时，则【解答】解：当时，当，1]?t9]a?[tt?0?t4t??[ a?，时，则，当，1]?t9]t4??a?[tt?[a???，即；9)t?(?tt?a时，即当；当时，…9a?t?t9??t aa???，即当时，，当时，，4)t?t?1)(?(4t?1?a?ta?1t?…t?4?aa．，解得4)1)(t?(?tt?9)?(t?1?t?，．时，则当时，当，1]?1]tt?ta?[4?t?1?0?tt[?a?，，，则，当9]?9]4t?t[a?t?4?[t?a???，，即1)t(t??ta?时，，当时，即当…1?a?tt1?t?aa???时，时，即当，当，，即9)?4)(?(t?t9?4?at?at?4?…??t9t aa，解得．9)t??(?tt1)(?t?4)(3??t当时，同理可得无解．09?t?t的值为1或．综上，3?故答案为：1或．3?二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列函数中，值域为，的是)??)([01x y?tan x2y?DB．．A．C．x?cos yxy?2x2y?的值域为，故错【解答】解：，)(0,??AA，的定义域为，，值域也是，，故正确．xy?)????)BB[0[0y?tan x的值域为，故，错),??(??CC，的值域为，，故错．xy?cos1][?1?DD 故选：．B22”是“”的、，则“（14．5分）已知|b?|a||)(ba?R?b a A．充分非必要条件B．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件．充要条件C2222|b?||a|，得“”【解答】解：，等价，ba?|b||a|?22”是“”的充要条件，“|ba||?|ba??故选：．C??????a??c，，分）已知平面15．（5满足：、、、两两垂直，直线、，?bb ca则直线、、不可能满足以下哪种关系)(b ca．两两异面D．两两相交C．两两平行B．两两垂直A．【解答】解：如图1，可得、、可能两两垂直；b ca如图2，可得、、可能两两相交；b ca如图3，可得、、可能两两异面；b ca故选：．B16．（5分）以，，，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，y0)0)0)(1,0)ya((a(11211的轨迹是，，且满足，则点)(,0))(0lny?lny?y(212aa21A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线222?1?2ayya?|r?|1?a?，，则【解答】解：因为1111112?1?2ay同理可得，22又因为，0?lny?lny21所以，1?yy21则，1?)a)(1?2a2(1?21即，a?a?a2a211211，则2??aa21．1?x??a?1设，则为直线，2?x?y?1?y??a?2故选：．A三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）PA?PB?PC?2,AB?BC?AC?3．中，14分）如图，在正三棱锥（17．ABC?P（1）若的中点为，的中点为，求与的夹角；PBMMNBCACN（2）求的体积．ABCP?【解答】解：（1），分别为，的中点，，PBMPC/BC/N?MN则为与所成角，MN?PCAAC ，，中，由在3?AC2?PAC?PA?PC2223PA?AC3PC???cos?PCA?，可得2PCAC42?2?33；与的夹角为arccos MN?AC4（2）过作底面垂线，垂直为，则为底面三角形的中心，POO32，．于连接并延长，交，则NAOBC1?AOAN??AN2322?3???PO21．1133．??3???V?3?ABC?P432218．（14分）已知数列，，前项和为．Sa}3a?{n n1n（1）若为等差数列，且，求；Sa}15a?{nn4lim S?12，求公比2）若为等比数列，且的取值范围．（q}{a n n n??【解答】解：（1），，4d??15?a?3d?3?3da?14n(n?1)2；?S?3n?4?2n??nn2n)?q3(1S lim存在，2），，（11?q????S nn q?1??nn)q33(1?lim S存在，且，，0q1?q?1????S?limlim??nn1?q1?q??nn????n333，，或，12?0???1?q??q0?q??q?1443?，．公比的取值范围为，q1(?(00))?419．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年年我国卫生货2015?用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：357876.6053t研之间拟合函数1978年，第年卫生总费用与年份（2）设表示1?t n?)f(t6.4420?0.1136t e?1究函数的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．)tf(【解答】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多．6.4420?0.1136t6.4420?0.1136t?0yy?e?e，（2）是减函数，且357876.6053在上单调递增，N?(t)?f 6.4420?0.1136t e?1357876.6053，解得，令50.68t?120000?6.4420?0.1136t1?et…51时，我国卫生总费用超过12当万亿，?预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．?2?4yx，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段20．（16分）已知抛物线方程与PFPQF|PF|．抛物线的交点，定义：?)(Pd|FQ|8（1；）当时，求)Pd()P(?1,?3（2）证明：存在常数，使得；a?|PF|)2d(P?a（3），，，判断与为抛物线准线上三点，且的关PP)|P)?d(P||?|PPPd()P2dP(P3312112223系．82?4yx的焦点，）抛物线方程，【解答】解：（1(1,0)F)1,?P(?384143，的方程为，代入抛物线的方程，解得，PF??k1)?(x?y?x PFQ233464102，抛物线的准线方程为，可得??|PF|2?1??x93|PF|815；，d(?P)??|QF|??1|QF|344（2）证明：当时，，22??2?2?PFP?a2d()?||1,0)P(?设，，，则，1?myxPF:?0y?2)y1,(P?my??PPP．16m?16m?42220?4?y?4xy?4my??2m?21?my，和，可得，联立1?x?my Q22ym??2212P?2y??1?P)?|PF|?m22d(Pym2m(2m?21?m)Q22m?2m1?m1???2??2，mm则存在常数，使得；a??|PF|2d(P)a（3）设，，，则)yP(?P(?1,y)(P?1,y)1,3112232222[d(P)?d(p)]?4d(P)?|PF|?|PF|?2|PF|?4?y?4?y?24?y211132332y?y22222231?16?y?y)?()?4?4?4?y?4?y??2(yy?4，3133112222222?2yy4?y)??16]?24?(4?yy?4?y8)y?[(?y，由33131311222222?)04(y?yy?y)?8y(4?y?)(4?y?(yy4)??4(y，3331111331则．)P?2d(P)?d(P)d(213?，数列满足，集合分）已知等差数列的公差，21．（18(0?d])sin(ab{a}?{b}nnnn??*N,n?x|x?bS?．n?2，求集合）若；（1S?da?0,13?，求使得集合）若（2恰好有两个元素；Sd?a12（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值．TTSbb?n?Tn?，数列满足，集合）等差数列的公差，【解答】解：（1(0?d])ab?}{a sin({b}nnnn??*Nn?bx|x?S?,．n?2，当?ad?0,?1333，0，．集合??{S}22???*N,?|?Sxxbn?恰好有两个元素，如，数列满足，集合）2（)b}b{sin(?a?a n nnn12图：根据三角函数线，①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，yS}a{n?，此时?d②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，ySOAaaa132?2，如图，，此时OCOB?d32??．或者综上，?d?d3（3）①当时，，集合，，，符合题意．3T?b{b?bbS?}b21nn?33??，，或者时，，，②当4T?a2k?a?4d sin a?a4d?a?2k?b?b sin(a?4d)?nnnn?4nnnn?k??，又，的公差，2，故，等差数列(0?d]1?k?ka?{a}2a?4d??d nnn21，．，当时满足条件，此时}1??{S?1?k??，，③当时，，或者，5?Ta?2?sin aa?5d?a?2kk?a5d??bb?sin(a5d)n?n5nnnnnn?，故，2，因为．(0d?]1k???，时，当满足题意．，11?k}?{sinsin S?1010④当时，，，6T?a)d?b sinsin(a?6b?nn?6nn???，故，2，，，3．所以或者(0d?]1k?ak?a?6d?a2k?6a?d?2nnnn33，满足题意．当时，}S?{,0,1k?22?，或所以者，，⑤当时，7?Tk2?7dad sin(a?7)?sin a?sin?a?b?ba nnnnnn?7n??，故，2，，3，(0?d]1?kada?7?2k?nn当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有1k?bb~71??22?，，，，不符合条件．7m???mn72??aa?d?nm7n?m当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2?kbb~71??42?，不是整数，不符合条件．，2a?a???d nm?nm m?n7当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有3k?b~b71????6624??，或者或者，此时，，均不是整数，不42?a?a??d??d n?m nm n7m?n?m7符合题意．综上，，4，5，6．3?T。