j 1, 2,L , s
s
误差平方和 SE
nj
2
Xij X• j
j1 i1
性质1：ST SA SE
s
证明： ST
nj
2
s
Xij X
nj
2
Xij X• j X• j X
j1 i1
j1 i1
s nj
2
s nj
2
s nj
Xij X• j
X•j X 2
设第j组有n j 只老鼠寿命分别为
Xij i 1, 2,..., nj j 1, 2, 3 这是一个典型的最简单分组试验方案。 分组的依据为药物：a,b,无。
通常，分组的依据称为“因素”，因素的不同 状态称为因素的“水平”。此例因素（药物） 有三个水平：a,b,无。 只有一个因子，按因子的不同水平来分组的试验 称为“单因素试验”。在试验中，对试验对象所 观测记录的变量称为“响应变量”（例中的寿命）
药物x 1 2 3 4 5
治愈所需天数y 5，8，7，7，10，8 4，6，6，3，5，6 6，4，4，5，4，3 7，4，6，6，3，5 9，3，5，7，7，6
A1 : N 1, 2 A2 : N 2, 2 L As : N s , 2
X11
X12
L
X1s
X 21
X 22
L
X 2s
M
M
L
M
X n11
X n2 2
L
X nss
检验假设 H0 : 1 2 ... s H1 : 1, 2,..., s不全相等。
记
1 n
s
njj
j 1
s
— —总平均， 其中 nj
H1
: 1, 2 ,L
,
不全为零。
s
（二）平方和分解
s
定义：总偏差平方和 ST
nj
2
Xij X
j1 i1
1 s nj
1s
X
n
j 1
i1
X ij
n
nj X• j
j 1
效应平方和 SA
s
nj
X•j X
2
s
nj
X•
2 j
nX
2
j 1
j 1
X• j
1 nj
nj
X ij ,
i 1
s j 1
nj i1
[
2
(
j
)2
]
2
n[ n
2]
s
s
s
n 2 n 2 2
nj j
nj j2 2 n 2
n
j
2 j
n
1
2
j 1
j 1
j 1
E(SE )
s
E
nj
X ij X • j
2
s
(nj 1) 2 (n s) 2
j1 i1
s
j1
E(SA ) E(ST SE )
Xij X• j X• j X
j1 i1
j1 i1
j1 i1
SA SE
s nj
s
nj
Xij X• j X• j X X• j X
Xij X• j 0
j1 i1
j 1
i 1
从而，检验拒绝域的形式为：SA c. SE
s
性质2：E ST
n
j
2 j
n
1
2
j 1 s
第九章 方差分析及回归分析
单因素试验的方差分析 双因素试验的方差分析 一元线性回归 多元线性回归
§1 单因素试验的方差分析
（一）单因素试验
例 假设某药物研究者为检验a,b两种化学物质 的抗癌效果，要做动物试验。通常的作法如下 所述：他将一些患有某种癌的白鼠随机地分成 三组。其中两组分别注射a,b两种化学物质，而 第三组则不作处理，作为对照。记第一组：注 射a物质，第二组：注射b物质，第三组：不做 处理。经过一段时间观察后，他得到寿命数据
nj i1
X ij2
T••2 n
SA
s
nj
X•
2 j
nX
2
j 1
T s 2 •j
n j1 j
T••2 n
SE ST SA
例1 设有5种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗 效。假设将30个病人分成5组，每组6人，令同组 病人使用一种药，并记录病人从使用药物开始到 痊愈所需时间，得到下面的记录：(=0.05)
一般地，对一个单因素试验，假设因素有s(s>2)
个水平，n个对象参与了试验。假定对应于因素
第j个水平的组中有 n j 个试验对象，响应变量数
据为 X1j , X2 j ,L , Xnj j，j 1,2,L , s。
通常假定 ij
~
X ij j ij
N
(0,
2
),
各
独立
ij
i 1, 2,L , nj，j 1, 2,L , s
E(X )
1 n
s j 1
nj i 1
E( Xij )
E SA
n
j
2 j
s
1
2
j 1
ESE n s 2
1 n
s
nj ( j )
j 1
证明：E ST
s nj E j1 i1
Xij X
2
E
s j 1
nj i 1
X ij2
nX
2
s j 1
nj i1
E( Xij2 ) nE( X 2 )
2
Xij X• j
2 ~ 2 (nj 1), j 1,..., s.
i1
nj
由于各Xij相互独立，所以
Xij X• j 2,j 1,..., s相互独立，
i1
由 2分布可加性，SE
2
~
2
s
(nj 1) ，即 2 n s。
j1
由性质2，E
SA
s 1
1
s 1
s
n
j
2 j
j 1
2
,
E
SE n
s
2
当H
0成立时，E
SA
s 1
2；当H1成立时，E
SA
s 1
2
.
由此，对H0 :1 2 L
s 0, H1 :1,2,L
,
不全为零。
s
在给定水平时，检验拒绝域为 F
SA SE
(s 1) (n s)
F (s 1, n s)
单因素试验方差分析表
方差 来源 因素A 误差
nj2 j Nhomakorabeas
1
2
j 1
性质3
(1)
S
A与S
相互独立；
E
(2) SE ~ 2 (n s)；
2
(3)当H
为真时，S
0
从而，当H0为真时，F
A 2
~
SA
SE
(s (n
2 (s 1)。
1) ~ F (s s)
1,
n
s).
证明：只证（2）.
s
因为 SE
nj
2
X ij X • j
j1 i1
nj
总和
平方 和
SA
SE
ST
自由 度 s-1
n-s
n-1
均方
SA SA s 1 SE SE n s
F比
SA SE
计算ST
,
S
A
,
S
的简便公式：
E
nj
s nj
记T• j Xij , j 1, 2,L , s, T••
X ij
i1
j1 i1
ST
s j 1
nj i1
Xij2 nX 2
s j 1
j 1
n
j j ——水平Aj的效应, j 1, 2,..., s
此时有 n11 n22 ... nss 0
模型为：Xij j ij
i
ij
(0,
2
),
各
独立
ij
1, 2,L , nj，j 1, 2,L , s
n11 n22 ... nss 0
假设等价于 H0 :1 2 L s 0