2015年华东师大二附中联赛选拔试题姓名 年级 成绩一 试 考试时间100分钟一、填空题1、已知正三角形ABC 在平面α内的射影是边长为2、3、 2、已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-，[]0,,x π∈ 则=x .3、设,A B 为抛物线22(0)y px p =>上相异两点，则22OA OB AB +- 的最小值为___ ____．4、已知ABC ∆中，G 是重心，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且564035aGA bGB cGC ++=0，则B ∠=__________．5．四面体两条异面棱长为a ，另两条异面棱长为b ，还有两条棱长为c ，有一个球与四面体的一个界面和其它界面的延伸面相切，则这个球的球心与四面体内切球球心间的距离是 ． 6、数列{}n a 中每一项都是整数，2a 是奇数，且对任意n 都有()1133n n n n n a a a a ++-+=++．若2009a 能被2010整除，则使得n a (2)n ≥能被2010整除的最小正整数n = ．7、对于0~6的一个排列A ，记L (A )为该排列从第一项开始的连续且单调（不含数字0）的最长子列的长度，例如L (2,3,4,6,1,0,5)=3，L (5,4,1,0,2,3,6)=2，L (0,1,2,3,5,6,4)=0．如果0~6的所有排列都可能的出现，则L (A )的期望是 ．8、对正合数n ，记()f n 为其最小的三个正约数之和，()g n 为其最大的两个正约数之和．求所有的正合数n ，使得()g n 等于()f n 的某个正整数次幂． 错误！未找到引用源。

二、解答题：9. 已知数列}{n a 中，01>a ，且231nn a a +=+．（1）试求1a 的取值范围，使得n n a a >+1对任何正整数n 都成立；（2）若41=a ，设)3,2,1(||1 =-=+n a a b n n n ，并以n S 表示数列}{n b 的前n 项的和，证明：25<n S ．10、已知抛物线px y 22=及定点A (a ，b )，B (-a ，0 )（ab ≠0，b 2≠2pa ）．M 是抛物线上的点，设直线AM 、BM 与抛物线的另一个交点分别为M 1、M 2．求证：当M 点在抛物线上变动时，（只要M 1、M 2存在且不重合），直线M 1M 2恒过一定点，并求出这个定点的坐标．11、已知集合{1,2,3,,21}(2).A n n =-≥ 从集合A 中至少拿掉(1)n -个元素,满足:(1)若a A ∈已拿掉,则2a A ∈也被拿掉;(2)若,()a b A a b ∈≠已拿掉,则a b A +∈也被拿掉. 求集合A 中留下的所有数之和的最大值.二 试一、ABC ∆的内切圆切BC,CA,AB 于点D,E,F.一个圆过点A,且切BC 于D,该圆与线段BF,CE 交于K,L.过E 作DL 的平行线与过F 作DK 的平行线相交于P .记,,,AFD AED FPD EPD ∆∆∆∆的外接圆半径分别为1234,,,R R R R .证明: 1423R R R R =.二、求所有的正整数,,,a b m n ,满足: 21()m na b a b =++.三、 设3,0,,222=++>c b a c b a 且,求证：18)414141(9)(2222≤-+-+-+++c b a c b a四、设{}()*∈=N n n S 2,,3,2,1 。

求S 的子集T 的数目，使得T 中不存在两个元素a 、b ，满足1=-b a 或n 。

2015年华东师大二附中联赛选拔试题姓名 年级 成绩一 试 考试时间100分钟一、填空题1、已知正三角形ABC 在平面α内的射影是边长为2、3、答案：设正三角形的边长为m ，三角形的三个顶点到平面α的距离为x 、y 、z ，则()()()(222222223m x y y z x z=-+=-+=-．令a x=-，b y z=-，()22224912m a b a b =+=+=++，即225a b -=，2280b ab ++=，得()()2222845b b b +=+，解得24b =，m = 2、已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-，[]0,,x π∈ 则=x .解：4π．提示：原方程等价于：cos(sin )cos(cos )2x x x x π--=-．.所以cos 2sin (1)2x x k x x k z ππ-=+--∈ ，，或 cos 2(sin )(2)2x x k x x k z ππ-=---∈ ，，由（1）得：2sin cos 22x x x k ππ+-=+，且函数()2sin cos f x x x x =+-在[]π,0上为增函数．所以1(0)2()212f k f ππππ-=<+<=+．由此得0k =．所以 2sin cos 2x x x π+-=．令()2sin cos 2g x x x x π=+--，易知()g x 在[]π,0上单调递增，且当4x π>时，()0g x >；当4x π<时，()0g x <，因此当且仅当4x π=时，()0g x =．由（2）得：ππk x x 22cos sin -=+．因为 122k ππ<-<k 无整数解，即此方程无解．综上所述, 原方程的解为4x π=．3、设,A B 为抛物线22(0)y px p =>上相异两点，则22OA OB AB +- 的最小值为________．24p -. 解法一 设(,),(,)A A B B A x y B x y ，则22222222()()()()4()A B A B A B A B A B A B OA OB x x y y AB x x y y OA OB AB x x y y +=+++=-+-+-=⋅+⋅ ，，．设直线AB 和x 轴交于点(,0)P a ．若直线AB 的斜率存在，设为m ，则直线AB 的方程为()y m x a =-，将其代入抛物线方程得()2222220m x am p x m a -++=．由二元一次方程根与系数的关系得2A B x x a =， 由此得2()()2A B A B y y m x a x a ap =--=-．所以222224()4[()]4A B A B OA OB AB x x y y a p p p +-=⋅+⋅=-->- ．当直线AB的斜率不存在时，有,A B A B x x a y y ===-222224()4[()]4A B A B OA OB AB x x y y a p p p +-=⋅+⋅=--≥- ．显然，当且仅当a p =时，即直线AB 的斜率不存在时等号成立， 22OA OB AB +- 有最小值24p -．解法二 设22(,),(,)22A BA B y y A y B y p p，则2222222222()(),2()()2A BA B A B A B y y OA OB y y py y AB y y p++=++-=+- ．所以222222224()44[()]24A BA B A B OA OB ABy y y y p y yp p pp +-⋅=+⋅⋅=+-≥- ．当22A B y y p =-时， 22OA OB AB +- 取最小值24p -． 4、已知ABC ∆中，G 是重心，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且564035aGA bGB cGC ++=0，则B ∠=__________． 60. 提示：因为GA GB GC ++=0，所以404040bGA bGB bGC ++=0．所以(5640)(3540)aGA b GA c b GC - +- =0． 因为,GA GC不共线，所以有750,780a b c b -= -=．设5,a k = 则7,8b k c k = =，由余弦定理可得2222564491cos 2582k k k B k k +-==⨯⨯． 所以60B ∠=．5．四面体两条异面棱长为a ，另两条异面棱长为b ，还有两条棱长为c ，有一个球与四面体的一个界面和其它界面的延伸面相切，则这个球的球心与四面体内切球球心间的距离是 ．略解：如图，设ABCD 是已知的四面体，过每条棱作平行于对棱的平面，6个平面限定了一个平行六面体AKBN -MCLD ．由于四面体ABCD 对棱相等，所以所得平行六面体同一面内的两条对角线相等，因此这个平行六面体是长方体．那么显然四面体ABCD 的内切球球心就是长方体的中心O ，下面我们证明L 就是与四面体的一个界面和其它界面的延伸面相切的球的球心，只需证明点L 到四面体ABCD 四个面的距离相等．由长方体的对称性，L 到面BCD 的距离，与K 到面ABC 的距离相等．又在面KBLC 内，线段BC 与LK 相互平分，所以L 、K 到面ABC 的距离相等，从而L 到面BCD 的距离与到面ABC 的距离相等． 同理可证明L 到面ABC 、面BCD 、面ACD 、面ABD 的距离都相等，所以所求两个球心之间的距离就是线段OL 的长度．设长方体的长、宽、高依次为x 、y 、z ，则有222222222x y a x z b y z a ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩，所以2AL OL =6、数列{}n a 中每一项都是整数，2a 是奇数，且对任意n 都有()1133n n n n n a a a a ++-+=++．若2009a 能被2010整除，则使得n a (2)n ≥能被2010整除的最小正整数n = ． 答案：269略解：2n ≥时，有1(1)31n n n a a n ++=--，可整理为13(1)(1)(1)n n a a n n n n n n +=-+-+，于是累加可得21113()(1)22334(1)n a a n n n n=-+++-⨯⨯- ，于是2(1)3(1)(2)22n n n n n a a ---=-． 由2009a 能被2010整除，可得29(mod1005)a ≡，又2a 是奇数，故29(mod 2010)a ≡．如果n a 能被2010整除，代入得9(1)3(1)(2)20103(1)(1)22n n n n n n ----=-+，所以只要670(1)(1)n n -+，经考察因数可知最小的n 是269．7、对于0~6的一个排列A ，记L (A )为该排列从第一项开始的连续且单调（不含数字0）的最长子列的长度，例如L (2,3,4,6,1,0,5)=3，L (5,4,1,0,2,3,6)=2，L (0,1,2,3,5,6,4)=0．如果0~6的所有排列都可能的出现，则L (A )的期望是 ．28792520解：考虑在0~6中满足条件的且最大长度≥k （其中k=2~6）的个数为（7-k ）2⨯⨯（7-k ）！。