概率论公式！
一、随机事件与概率
二、随机变量及其分布
三、多维随机变量及其分布
联合分布函数：对任意的n个实数，，，n个事件同时发生的概率
，，，，。

联合分布函数，性质：
单调性：对x，y单调非减。

有界性：，，，，，
右连续性：对每个变量右连续。

非负性：对任意，，有，，，，，。

二维离散随机变量：只取有限个或可列个数对。

联合分布列：，，i，j=1,2…
联合分布列性质：
非负性、正则性。

联合密度函数：，，使，，，，。

联合密度函数性质：
非负性、正则性、，
X的边际分布：，，。

Y的边际分布：，，。

二维指数分布：
，
，，
，其他
，是参数
其边际分布是一维指数分布。

边际分布列：
二维离散随机变量对单个变量求和：
，，，
边际密度函数：
，，，=，为X的边际密度函数。

，，，=，为Y的边际密度函数。

相互独立：多维随机变量的分布函数为，，，边际分布为，对任意n个实数，，：
，，
称，，相互独立。

可分离：，=，，，，。

①相互独立②非零区域可分解为两个一维区间乘积。

多维离散随机变量函数：，，为n维离散随机变量，则，，为一维离散随机变量。

可加性：同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布。

泊松分布的可加性：，，则.
二项分布的可加性：，，，，则，。

连续场合的卷积公式：X和Y独立，密度函数分别为和，则Z=X+Y的密度函数为：
正态分布的可加性：，，则。

变量变换法：即数分中求二重积分的变量变换法：
的联合密度函数是，，若，
，
有连续偏导数，且存在唯一反函数
，
，
，其
雅可比行列式，，
，，二维随机变量
，
，
，则的联合密度函数是：，，，，
增补变量法：若，，则可令或。

多维随机变量特征数：
数学期望：，的数学期望为，，，在离散场合，，，在连续场合
当，，得X的期望。

当，，的X的方差。

期望和方差的性质：
和的期望得期望的和：
积的期望得期望的积：X和Y独立，则
和差的方差得方差的和差：X和Y独立，
协方差（相关（中心）矩）：，特别的，
：正相关；：负相关。

：不相关：①X，Y取值毫无关联②存在某种非线性关系。

性质：
若X和Y独立，则不相关，反之不然。

和差的方差：
交换律：
若X或Y为常数a，则
倍数的协方差：
分配率：，
相关系数：，消除量纲，或解释为“相应标准化变量的协方差”。

二维正态分
布的相关系数是。

施瓦茨不等式：
相关系数性质：
有界：
线性相关的充要条件：，即X和Y存在线性相关关系，即存在a≠0和b，
其他：在二维正态分布中，不相关和独立等价。

条件分布：
离散场合的条件分布：联合分布列为，，则称
，
为给定条件下X的条件分布列。

离散场合的条件分布函数：给定条件下X的条件分布函数：
连续场合的条件分布：联合密度函数为，，边际密度函数为和，则称
，
，
为给定条件下X的条件分布函数和条件密度函数。

注：二维正态分布的边际分布和条件分布都是一维正态分布。

连续场合的全概率公式和贝叶斯公式：
乘法公式：，。

全概率公式：，
贝叶斯公式：，
条件数学期望：
，离散场合
，连续场合
重期望公式：
离散场合：
连续场合：
三、大数定律和中心极限定理
依概率收敛：设为一随机变量序列，X为一随机变量，若对任意有：
则称依概率收敛于X，记作。

若X为常数，则四则运算成立。

依分布收敛：设随机变量的分布函数为，若对的任一连续点x，有：
则称弱收敛于，记作，或按分布收敛于X，记作。

一般情况下：
若c为常数：
复随机变量：，其中和是实随机变量。

称为的共轭随机变量，其余同复数类似，其余同随机变量类似。

特征函数：称为X的特征函数，其总是存在。

有界：
相反数的特征函数为特征函数的共轭：（是的共轭）和的特征函数为特征函数的积：
可导：若存在，则可l次求导，且
推论：上式可用来求各阶矩。