vˆ ˆ f• Velocity perturbations
y
• Eliminate f’
vˆ
ˆ
y
V
tan
V
uˆ V
CP
2uˆ V
CP
2
பைடு நூலகம்
M
2
1
• Linearized flow tangency condition at surface
• Linearized definition of pressure coefficient
结论: 线化超音速压强系数正比于当地物面切线方向与自 由来流的夹角.
The pressure is higher on the front section of the hump, and lower on the rear section. So there is a drag force exerting on the hump. This drag is called wave drag.
本章的目的就是找到方程(11.18)的超音速解， 进而计算超音速翼型的气动特性。
12.2 线化压强系数计算公式的推导
1
M
2
2ˆ 2ˆ 0
x2 y2
• Linearized small perturbation equation
2
2ˆ
x 2
2ˆ
y 2
0
M
2
1
• Re-write for supersonic flow
1
M
2
1
(12.7)
结论: 方程的特征线是自由来 流马赫数对应的马赫线。
马赫线
由图(12.1)可以看出，马赫波斜率指向下游方向，因此，壁 面发出的任何扰动不能向上游传播（any disturbance at the wall cannot propagate upstream)； 这和亚音速情况完全不同， 在亚音速流中，扰动向四周传播（disturbances propagate everywhere throughout a subsonic flow）．
仔细观察（12.2)，这是一个一般解，f可以是x-λy的任 意函数，g可以是x+λy的任意函数。
沿 x y const. , f const. 沿 x y const. , g const.
方程（12.1)的特征线
x y const.
tan
(12.8)
1
M
2
1
dy 1
dx
1
M
2
uˆ vˆ 0 x y
• Equation is a linear PDE and easy to solve • Recall:
1
M
2
2ˆ
x 2
2ˆ
y 2
0
– Equation is no longer exact – Valid for small perturbations
2
M
2
1(特征值)
• Nature of PDE:
– Subsonic: (1 - M∞2) > 0 (elliptic 椭圆型) – Supersonic: (1 - M∞2) < 0 (hyperbolic双曲
型)
方程(11.18)中第一项系数的符号改变使方程的 解发生了很大变化，其超音速解和亚音速完全不同。
M>1
μ
μ
依赖域
影响域
dependence domain Influence domain
超音速流动的影响域和依赖域是一对顶锥（double cone）
DERIVATION OF PRESSURE COEFFICIENT, CP
ˆ f x y
uˆ ˆ f ;
x uˆ vˆ
• Solutions to hyperbolic wave equation
M∞>1
θ(+) Cp(+)
θ(-) Cp(-)
亚音速：
Cp
C p,0
1
M
2
超音速：
2
Cp
M
2
1
亚音速流动只改变不可压流动时压力分布的大小，不改变形状， 因此压力中心不变；
超音速流动时相对不可压流动，即改变了压力分布的大小，又 改变了形状，因此压力中心发生变化。
可压气流 不可压气流
超音速气流 不可压气流
uˆ V
(12.14)
uˆ V
d
M
2
1
dV V
(9.32)
dV d V
结论：超音速线化理论是将超音速流场中的压缩波、膨胀波全 部简化为对应来流马赫数的马赫波。
2
Cp
M
2
1
(12.15)
Conclusion: The linearized supersonic pressure coefficient is directly proportional to the local surface inclination with respect to the free stream.
• Combined result
• Positive q: the surface is inclined into the freestream direction
– Negative q: the surface is inclined
away from the freestream
公式(12.14)与公式（9.32)比较：
• Solution has functional relation
ˆ f x y
– May be any function of (x - λy) – Perturbation potential is constant
ˆ f ( x y) g( x y) along lines of x – λy = constant
• Slender bodies • Small angles of attack
b2
4ac
4
1
M
2
4
M
2
1
– Subsonic and Supersonic Mach numbers
– Keeping in mind these assumptions equation is good approximation
Recall：偏微分方程分类
a 2 b 2 c 2 d e f 0
x2 xy y2 x y
b2 4ac 0 双曲型方程 b2 4ac 0 抛物型方程 b2 4ac 0 椭圆型方程
b b2 4ac 特征值
2
SMALL PERTURBATION VELOCITY POTENTIAL EQUATION