——一元二次方程的概念及解法（一）（★★）1．掌握一元二次方程的概念及一元二次方程解的概念； 2．熟练掌握应用直接开平方法；3．回顾因式分解并熟练掌握因式分解法．每个模块要标准课堂用时建议，共计40分钟． 建议3分钟创设情境，导入新课 [试一试]1．根据题意，列出方程（不必求解）（1）已知正方形的边长为2cm ，求它的对角线长．（2）绿苑小区规划设计时，准备在每两栋楼房之间，安排面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？（3）学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率?2．讨论交流，探索新知从实际问题抽象出一元二次方程的概念． 点拨：（1）设正方形的对角线为xcm ，由勾股定理可得：22222+=x ，整理得：2x =8； （2）设长方形绿地的宽为x 米，则长为()+10x 米，依题意可得：()+10=900x x ， 整理得：0900102=-+x x ；（3）设这两年的年平均增长率为x ，去年年底有图书5万册，则今年年底可达()5+1x ， 万册， 明年年底可达()()5+1+1x x 万册，依题意可得()25+1=7.2x ， 整理得02.21052=-+x x ．结论引导分析（1）上述得到的三个方程显然不是一元一次方程，那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同的特征？（2）上述整理后所得的方程具有怎样的结构形式？[总结] 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫一元二次方程．一元二次方程的一般形式：20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，a≠0），其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数和常数项．采用课堂提问的方式，提问内容涵盖本节课的基本知识点。

建议7分钟思考一下 我们之前学过的一元一次方程的概念是什么？ 它有哪些注意事项？类推到一元二次方程呢？ 1．一元二次方程定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．一元二次方程通常写成如下一般形式：一般形式是20ax bx c ++=（0a ≠）．其中2ax 叫做二次项，a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数； c 叫做常数项．思考：为什么要求0≠a ？小结：①什么样的方程叫做一元二次方程？ ②一元二次方程的一般形式怎么表示？③一元二次方程二次项系数可以是任意实数吗？ ④如何确定一元二次方程一次项系数和常数项？ 一个未知数① 最高次数是2 ③ 不能：()0a ≠ 整式方程②20ax bx c ++=（0a ≠） ④ 判断一个方程是不是一元二次方程 ①、整理方程（把方程化为一般式）； ②、是不是一元整式方程； ③、最高项的次数是否为2； ④、二次项系数是否为0．2．一元二次方程解的概念及具体的解法一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解，又叫方程的根）回顾一元一次方程的解法有哪些步骤：去分母去括号；移向；合并同类项；化系数为1．回顾二次根式的概念及性质我们可以得到一些特殊一元二次方程的解法：直接开平方法．建议20分钟题型Ⅰ一元二次方程的概念及解的概念（★★）下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由．x x ；（1）3+2=53x；（2）2=4（3）221=1x x x --+； （4）()224=+2x x - ．【正确答案】 （2）是 ．（1）不是，未知数x 的最高次数不是2；（3）不是，不是整式方程；（4）不是，整理成一般式的时候发现二次项系数为0．（★★）下列方程中是一元二次方程的是 ．（1）22253x x x -=+；（2）22=y ；（3）2212x x +=-；（4）2241x x +=-；（5）20x x -=；（6）关于x 的方程2234x a -=；（7）()2110m x x ---=．【正确答案】（1）（2）（3）（6）．思考：我们判断是否是一元二次方程的依据是什么？（★★）一元二次方程12)3)(31(+=+-x x x 的一般形式是 ,它的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 ． 【正确答案】021032=+--x x ；-3；-10；2．（★★）把关于x 的方程()()()233232x x x -=+-化成一般式并确定其各项系数． 【正确答案】09622=--x x 二次项系数为2，一次项系数为-6，常数项为-9 ．（★★）方程()22420a x bx a --+=，在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？【正确答案】 当2≠a 时此方程为一元二次方程 当0,2≠=b a 时为一元一次方程．（★★）（1）若关于x 的方程()222690mm xx -++-=是一元二次方程，则m 的取值是 ．（2）若关于x 的方程()()2582350m m m xm x -+-+-+=是一元二次方程，求m 的值？【答案】（1）2=m ；（2）3=m ．（★★）已知关于x 的一元二次方程()213540m x x m -+-+=有一根为2，求m ．【答案】 已知2为方程的根 所以当2=x 时方程成立即()045-2321-2=+⋅+⋅m m 有6=m ．（★★）已知关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为1，一个根为-1，则a b c a b ++=-c += ．【答案】 0 ．题型Ⅱ一元二次方程的解法（1）直接开平方法（★★）一元二次方程()20ax c a -≠的根是（ ）.A ．ca；B ．ac； C ．ac±； D ．a 、c 异号时，无实根；a 、c 同号时，两根是aac ±． 【正确答案】D ．1．（★★）用直接开平方法解下列方程 （1）2940x -=； （2）0522=+x ； （3）()24101440x +-=． 【正确答案】（1）=x 32±；（2）方程无解；（3）4x =-或者16x =-． 2．（★★）用直接开平方法解下列方程： （1）()0542232=--x；（2）04)1(2=--y ； （3）()6322=+x ．【正确答案】 （1）22=x 或者22x =-；（2）3=y 或者1y =-；（3）362x =--或者362x =-+．1．()02≥=d dx ．2．开平方法解得一元二次方程的特点：一般来说，解形如02=+c ax (其中0≠a )的一元二次方程可以用开平方法： 当a 、c 异号时，0>-ac时，方程的根是a c x a c x --=-=21,；当a 、c 同号时，0<-ac方程没有实数根； 当=0c 时，0=-ac，方程的根是021==x x ． 3． 由应用直接开平方法解形如()02≥=p p x ，那么p x ±=转化为应用直接开平方法解形如()()02≥=+p p n mx ，那么p n mx ±=+，达到降次转化之目的．题型Ⅲ 一元二次方程解法（2）因式分解法因式分解法：通过因式分解把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题．()200000ax bx c a A B A B ++=≠⋅===化为或（★★）（1）()366x x x -=-； （2）()()2220x a x a +--=． 【正确答案】（1）31-=x 或者6=x ； （2）0=x 或者2x a =．（★★）（1）2(2)24x x +=+； （2） 24(3)(3)0x x x ---=；（3）24(32)4(32)10x x +-++=； （4） ()22354150x x -++=．【答案】（1）0=x 或者2x =- （2）4=x 或者3=x (3) 12x =- （4）32=x 或52=x ．1．怎样的一元二次方程可以运用因式分解法？一边是零，另一边的两次式易于分解成两个一次因式时2．因式分解法解一元二次方程的步骤是：（1）化方程为一般形式； （2）将方程左边因式分解；（3）至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程； （4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．1．直接开平方法与因式分解法中都蕴含着由二次方程向一次方程转化的思想方法．由高次方程向低次方程的转化是解高次方程的思想方法． 2．()002≠=++a c bx ax当 0=c 则方程 02=+bx ax ()0=+b ax x （因式分解法）；当 0=b 则方程 02=+c ax acx -=2（直接开平方法）．建议10分钟1．关于x 的一元二次方程()032122=--+++m m x x m 有一根为0，则m 的值是（ ）A ．3=m 或1-=m ；B ．3-=m 或1=m ；C ．1-=m ；D ．3=m ． 【答案】 D ．2．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）A ．02=++c bx ax ；B ．122=+y x ；C ．x x 62=；D ．()()x x x x 5112+=-+．【答案】 C ．113．方程2)2(2-=-x x 的解是（ ）A ．2=x ；B ．3=x ；C ．2=x 或1=x ；D ．2=x 或3=x ．【答案】D ．4．若y x ,为实数，且8)2)((2222=+++y x y x ，则22y x +的值为． 【答案】2 ．5．若一个等腰三角形的三边长均满足方程0862=+-x x ，则此三角形的周长为 ．【答案】 10 ．6．解方程：()2183x x x +=- ．【答案】21=x 或3=x ．7．2280x x +-= ．【答案】4x =-或2=x ．8．已知11-=x 是方程052=-+mx x 的一个根，求m 的值及方程的另一根2x ．【答案】4m =-，52-=x ．9．()036-2-42=x ． 【答案】1-=x 或5=x ．10．若实数x 满足条件222(45)30=0x x x x +-+--，求代数式22(2)(1)x x ++-的值．【正确答案】9．。