已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。

例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的
值。

分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，
先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。

解法一：把代入原方程，得：
即
解得当时，原方程均可化为：
，解得：
∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。

解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：
，
∵，∴把代入，可得：
∴把代入，可得：，
即解得
∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。

说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。

例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。

分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。

解：∵方程有两个实数根，∴△
解这个不等式，得≤0 设方程两根为
则，
∵
∴
∴
整理得：
解得：
又∵，∴
说明：当求出后，还需注意隐含条件，应舍去不合题意的。

四、运用判别式及根与系数的关系解题。

例5：已知、是关于的一元二次方程的两个非
零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，
解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，
∴则有
∴
又∵、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：
假设、同号，则有两种可能：
（1）（2）
若，则有：；
即有：
解这个不等式组，得
∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。

若，则有：
即有：
解这个不等式组，得；
又∵，∴当时，两根能同号
说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。

知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出。