第二章 基本初等函数(Ⅰ)
一、选择题
1．如果函数f (x )＝(a 2－1)x
在R 上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )．
A ．｜a ｜＞1
B ．｜a ｜＜2
C ．｜a ｜＞3
D ．1＜｜a ｜＜2
2．函数y ＝a x 在［0，1］上的最大值与最小值之和为3，则函数y ＝3a x
－1
在［0，1］上
的最大值是( )．
A ．6
B ．1
C ．3
D ．
2
3
3．函数y ＝a x －
2＋1(a ＞0，a ≠1)的图象必经过定点( )． A ．(0，1)
B ．(1，1)
C ．(2，0)
D ．(2，2)
4．设f (x )＝x
⎪⎭
⎫
⎝⎛21，x ∈R ，那么f (x )是( )．
A ．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B ．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C ．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D ．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
5．设a ＞0，a ≠1，函数y ＝lo g a x 的反函数和y ＝lo g a x
1
的反函数的图象关于( )． A ．x 轴对称
B ．y 轴对称
C ．y ＝x 对称
D ．原点对称
6．函数y ＝lg ⎪⎭
⎫
⎝⎛x 1－1的定义域为( )．
A ．{x ｜x ＜0}
B ．{x ｜x ＞1}
C ．{x ｜0＜x ＜1}
D ．{x ｜x ＜0或x ＞1} 7．设0＜a ＜1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( )． A ．(－∞，0)
B ．(0，＋∞)
C ．(－∞，log a 3)
D ．(log a 3，＋∞)
8．函数f (x )＝a x －b
的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( )．
A ．a ＞1，b ＜0
B ．a ＞1，b ＞0
C ．0＜a ＜1，b ＞0
D ．0＜a ＜1，b ＜0
9. 如图是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象，已知n 取±2， ±
2
1
四值。

则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )． A ．－2，－21，2
1
，2 B ．2，21，－2
1
，－2 C ．－
21，－2，2，21 D ．2，
21，－2，－2
1 10．若函数f (x )＝
＋1
21
x ，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )． A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值
D ．单调递增有最大值
二、填空题
11．函数y ＝－2－
x 的图象一定过____象限．
12．当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则a 的取值范围是_________． 13．函数f (x )＝(a 2－1)x 是增函数，则a 的取值范围是
．
14．函数y ＝34－5x －x 的递增区间是
．
15．函数y ＝
)
－2(log 1
2
1x 的定义域是 ．
16．设f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ≥0时，f (x )＝lo g 3(1＋x )，则f (－2)＝_____． 三、解答题
17．如果函数 y ＝a 2x ＋2a x －1(a ＞0 且 a ≠1)在区间［－1，1］上最大值为14，求 a 的值．
2 (第9题)
(第8题)
18．求函数y ＝31
－2x 的定义域及单调递增区间．
19．若不等式x 2－log m x ＜0在⎪⎭⎫ ⎝
⎛
210，内恒成立，求实数m 的取值范围．
20*．已知函数f (x )＝x
2
3212++-p p ( p ∈Z )在(0，＋∞)上是增函数，且在其定义域上是偶
函数. 求p 的值，并写出相应的函数f (x )的解析式．[提示：若f (x )＝x α在(0，＋∞)是增函数，则α＞0．]
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
参考答案
一、选择题 1．D
解析：由函数f (x )＝(a 2－1)x 的定义域是R 且是单调函数，可知底数必须大于零且不等于1，因此该函数是一个指数函数，由指数函数的性质可得0＜a 2－1＜1，解得1＜|a |＜2．
2．C
解析：由于函数y ＝a x 在［0，1］上是单调的，因此最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝3a x －1
在［0，1］上是单调递增函数，最大值当x
＝1时取到，即为3．
3．D
解析：由于函数y ＝a x 经过定点(0，1)，所以函数y ＝a x
－2
经过定点(2，1)，于是函数y
＝a x －
2＋1经过定点(2，2)．
4．D
解析：因为函数f (x )＝x
⎪⎭
⎫ ⎝⎛21＝ 图象如下图．
(第4题)
由图象可知答案显然是D ． 5．B 解析：
解法一：y ＝log a x 的反函数为y ＝a x ，而y ＝log a
x
1的反函数为y ＝a －
x ，因此，它们关于y 轴对称．
解法二：因为两个给出的函数的图象关于x 轴对称，而互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称，因此y ＝log a x 的反函数和y ＝log a
x 1
的反函数的图象关于y 轴对称．答案选B ． x
⎪⎭⎫
⎝⎛2
1，(x ≥0) 2x ，（x ＜0）
6．解析： 由题意，得1－x 1
＞0⇔x
x －1＞0，∴x ＜0或x ＞1．故选D ． 7．C
解析：∵0＜a ＜1，f (x )＜0，∴a 2x －2a x －2＞1，解得 a x ＞3 或 a x ＜－1(舍去)， ∴x ＜log a 3，故选C ． 8．D
解析：从曲线走向可知0＜a ＜1，从曲线位置看， 有f (0)＜1，故－b ＞0，即b ＜0，故选D ． 9．B
解析：只要比较当x ＝4时，各函数相应值的大小． 10．A
解析：由于2x ＋1在(－∞，＋∞)上大于0单调递增，所以f (x )＝＋1
21
x 单调递减， (－∞，＋∞)是开区间，所以最小值无法取到．
二、填空题 11．三、四．
解析： y ＝－2－x
＝－x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21，它可以看作是指数函数y ＝x
⎪⎭
⎫
⎝⎛21的图象作关于x 轴对称的
变换，因此一定过第三象限和第四象限．
12．a ＞2或a ＜－2．
解析：不妨把a 2－1设为A ，所给函数为指数函数f (x )＝A x ，由指数函数的性质结合图象可以得到A ＞1即a 2－1＞1解得a ＞2或a ＜－2．
13．(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 解析：由已知得a 2－1＞1，即a 2＞2可得． 14． ⎝
⎛
－∞，－⎪⎭⎫25． 解析：即求二次函数y ＝4－5x －x 2的增区间． 15．{x | 1＜x ＜2}．
(第8题)
解析：x 应满足 即 解得1＜x ＜2．
故函数的定义域为{x | 1＜x ＜2}． 16．－1．
解析：因为x ≥0时，f (x )＝log 3(1＋x )，又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (－2)＝－f (2)＝－log 3(1＋2)＝－log 33＝－1．
三、解答题
17．a ＝3或3
1
．
解析：令 t ＝a x ，则 y ＝t 2＋2t －1． ∵t ＞0 且 y (t )在(0，＋∞)上单调递增，解方程 t 2＋2t －1＝14得正根为t ＝3．当 a ＞1时，a ＝3；当0＜a ＜1时，
a 1＝3，a ＝3
1． 18．定义域为x ∈(－∞，－1］∪［1，＋∞)；单调递增区间为［1，＋∞)． 解析：要使函数有意义必须x 2－1≥0，
∴x ≤－1或x ≥1，定义域为x ∈(－∞，－1］∪［1，＋∞)．
令u ＝－12x ，则y ＝3u.．由于y ＝3u 是增函数，故只须求u ＝－12x 的递增区间即可．当x ∈［1，＋∞)，u ＝－12x 单调递增，故y ＝3
1
－2x 的单调递增区间为［1，＋∞)．
19．［
16
1
，1)． 解析：由x 2－log m x ＜0得x 2＜log m x ．
在同一坐标系中作y ＝x 2和y ＝log m x 的图象，要使 x 2＜log m x 在(0，
2
1
)内恒成立， 只要y ＝log m x 在(0，2
1
)内的图象在y ＝x 2的上方， 于是0＜m ＜1，
∵x ＝
21时y ＝x 2＝4
1， ∴只要x ＝21时y ＝log m 21≥41
＝log m m 41
．
∴21≤m 41
，即16
1
≤m ． 又0＜m ＜1，∴16
1
≤m ＜1．
故所求m 的取值范围是［
16
1
，1)． log 2
1(2－x )＞0， 2－x ＞0，
2－x ＜1
2－x ＞0
(第19题)
20*．p ＝1，此时f (x )＝x 2．
解析：①若y ＝x α在x ∈(0，＋∞)上是递增函数，则有α＞0． ∵ f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴ －
21p 2＋p ＋2
3
＞0． 解得 －1＜p ＜3，而p ∈Z ， ∴ p ＝0，1，2．
当p ＝0或2时，有f (x )＝x 2
3
不是偶函数，故p ＝1，此时f (x )＝x 2．。