2017-2018学年江西省九江一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x∈N|（x+2）（x﹣2）＜0}，B={1，2}，那么A∪B等于（）A．{0，1，2}B．{2，1}C．{2}D．{1}2．（5分）若直线与直线l垂直，则l的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．（5分）已知a=0.23，b=log30.2，c=30.2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a 4．（5分）函数f（x）=的单调减区间为（）A．（）B．（）C．D．（1，+∞）5．（5分）函数f（x）=3x﹣log2（﹣x）有几个零点（）A．3个B．2个C．1个D．0个6．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n⊆α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则n∥m D．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β7．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．B．C．D．8．（5分）三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．16πD．64π9．（5分）若函数在R上是单调递增函数，则a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（2，3]C．（2，+∞）D．[1，2）10．（5分）已知点A（2，﹣3），B（﹣2，﹣2），直线l：mx+y﹣m﹣1=0与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．k≥1或k≤﹣4B．﹣4≤k≤1C．k＜﹣1D．﹣1≤k≤4 11．（5分）已知圆C：x2+y2=9，点P为直线x+2y﹣9=0上一动点，过点P向圆C 引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点（）A．（4，8）B．（2，4）C．（1，2）D．（9，0）12．（5分）已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣bf （x）+1=0有8个不同根，则实数b的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）计算：=．14．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是棱D1D的中点，则异面直线AE与A1C1所成角的余弦值为．15．（5分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c有最小值，且f（1﹣x）=f（1）+f（x）若f（x）在区间[2m，m+1]上不单调，则m的取值范围为．16．（5分）设点P是函数的图象上的任意一点，点Q（a，a﹣3）（a∈R），则|PQ|的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（12分）已知集合A={x|3﹣a≤x≤2+a}，B={x|x2﹣8x+7≥0}，全集U=R．（1）当a=3时，求A∩（∁U B）；（2）若A∪B=R，求实数a的取值范围．18．（12分）设直线l1：x+y﹣1=0，l2：x﹣2y+2=0，l3：3x+my﹣6=0．（1）若直线l1，l2，l3交于同一点，求m的值；（2）若直线l与直线l1关于直线l2对称，求直线l的方程．19．（12分）已知圆C经过P（﹣3，﹣3），Q（2，2）两点，且圆心C在x轴上．（1）圆C的方程；（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点M为棱A1B1的中点．（1）求证：AB⊥平面CC1M；（2）若AC=BC=CC1=2，∠ACB=120°，求三棱锥A1﹣C1B1B的体积．21．（12分）已知函数f（x）=lg2x﹣2alg（10x）+3，．（1）当a=1时，求函数f（x）的值域；（2）若函数y=f（x）的最小值记为m（a），求m（a）的最大值．选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（10分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（4，m）和（9，3）．（1）求m的值；（2）求函数g（x）=2f（x）在区间[16，36]上的值域．23．已知幂函数y=f（x）的图象过点（4，m）和（2，8）．（1）求m的值；（2）求函数在区间[﹣1，2]上的值域．2017-2018学年江西省九江一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x∈N|（x+2）（x﹣2）＜0}，B={1，2}，那么A∪B等于（）A．{0，1，2}B．{2，1}C．{2}D．{1}【解答】解：∵集合A={x∈N|（x+2）（x﹣2）＜0}={x∈N|﹣2＜x＜2}={0，1}，B={1，2}，∴A∪B={0，1，2}．故选：A．2．（5分）若直线与直线l垂直，则l的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：∵直线与直线l垂直，直线直线的斜率k=﹣，∴直线l的斜率k′=，∴直线l的倾斜角为α=60°．故选：B．3．（5分）已知a=0.23，b=log30.2，c=30.2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a【解答】解：∵0＜a=0.23＜0.20=1，b=log30.2＜log31=0，c=30.2＞30=1，∴b＜a＜c．故选：B．4．（5分）函数f（x）=的单调减区间为（）A．（）B．（）C．D．（1，+∞）【解答】解：令t=x2﹣x＞0，求得x＜0，或x＞1，故函数的定义域为{x|x＜0，或x＞1}，本题即求t在{x|x＜0，或x＞1}内的增区间．利用二次函数的性质可得t在{x|x＜0，或x＞1}内的增区间为（1，+∞），即函数f（x）=的单调减区间为（1，+∞），故选：D．5．（5分）函数f（x）=3x﹣log2（﹣x）有几个零点（）A．3个B．2个C．1个D．0个【解答】解：在同一坐标系中画出函数y=3x和函数y=log2（﹣x）的图象，如下图所示：由图可知：函数y=3x和函数y=log2（﹣x）的图象有且只有一个交点，即数f（x）=3x﹣log2（﹣x）有且只有一个零点，故选：C．6．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n⊆α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则n∥m D．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m∥α，n⊆α，则m与n平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故B正确；在C中，若m∥α，n∥α，则n与m相交、平行或异面，故C错误；在D中，若m⊂α，α⊥β，则m与β相交、平行或m⊂β，故D错误．故选：B．7．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知：几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥，且圆锥与圆柱的底面半径为2，高都为5，∴几何体的体积V=π×22×5﹣π×22×5=．故选：B．8．（5分）三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．16πD．64π【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，，∴以AC、BC、PA为棱构造长方体，则这个长方体的外接球就是该三棱锥外接球，∴该三棱锥外接球半径R===2，∴该三棱锥外接球的表面积S=4π×22=16π．故选：C．9．（5分）若函数在R上是单调递增函数，则a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（2，3]C．（2，+∞）D．[1，2）【解答】解：∵函数，在R上是单调递增的函数，∴解得2＜a≤3．故a的取值范围是（2，3]．故选：B．10．（5分）已知点A（2，﹣3），B（﹣2，﹣2），直线l：mx+y﹣m﹣1=0与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．k≥1或k≤﹣4B．﹣4≤k≤1C．k＜﹣1D．﹣1≤k≤4【解答】解：直线l：mx+y﹣m﹣1=0过定点P（1，1），如图，∵，，∴直线l：mx+y﹣m﹣1=0与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是k≥1或k≤﹣4．故选：A．11．（5分）已知圆C：x2+y2=9，点P为直线x+2y﹣9=0上一动点，过点P向圆C 引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点（）A．（4，8）B．（2，4）C．（1，2）D．（9，0）【解答】解：设P（9﹣2b，b），则以OP为直径的圆的方程为，①又圆C：x2+y2=9，②①﹣②可得直线l AB：（9﹣2b）x+by=9，即b（y﹣2x）+9x=9，联立，解得．∴直线AB经过定点（1，2）．故选：C．12．（5分）已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣bf （x）+1=0有8个不同根，则实数b的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【解答】解：令t=f（x），则t2﹣bt+1=0．方程f2（x）﹣bf（x）+1=0有8个不同根，则方程t2﹣bt+1=0的两根t1，t2∈（0，6]，且t1≠t2，令g（t）=t2﹣bt+1，所以．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）计算：=6．【解答】解：=4+lg100=4+2=6．故答案为：6．14．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是棱D1D的中点，则异面直线AE与A1C1所成角的余弦值为．【解答】解：连结AC、CE，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是棱D1D的中点，∴A1C1∥AC，∴∠EAC是异面直线AE与A1C1所成角（或所成角的补角），AE=CE==，AC==2，∴异面直线AE与A1C1所成角的余弦值：cos∠EAC===．故答案为：．15．（5分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c有最小值，且f（1﹣x）=f（1）+f（x）若f（x）在区间[2m，m+1]上不单调，则m的取值范围为．【解答】解：f（x）=ax2+bx+c有最小值，可得a＞0，f（1﹣x）=f（1）+f（x），即a（1﹣x）2+b（1﹣x）+c=ax2+bx+2c+a+b可得：c=0，b=﹣a．∵[2m，m+1]上不单调，即2m＜m+1，且2m＜＜m+1，∴，解得：，故答案为：．16．（5分）设点P是函数的图象上的任意一点，点Q（a，a﹣3）（a∈R），则|PQ|的最小值为．【解答】解：函数是以（1，0）为圆心半径为1的半圆：如图；点Q（a，a﹣3）（a∈R），在直线x﹣y﹣3=0上，则|PQ|的最小值为：圆心到直线的距离减去半径，可知，故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（12分）已知集合A={x|3﹣a≤x≤2+a}，B={x|x2﹣8x+7≥0}，全集U=R．（1）当a=3时，求A∩（∁U B）；（2）若A∪B=R，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵a=3时，集合A={x|0≤x≤5}，B={x|x2﹣8x+7≥0}={x|x≤1或x≥7}，全集U=R．∴C U B={x|1＜x＜7}，∴A∩（∁U B）={x|1＜x≤5}．（2）∵集合A={x|3﹣a≤x≤2+a}，B={x|x2﹣8x+7≥0}={x|x≤1或x≥7}，A∪B=R，∴，解得a≥5，∴实数a的取值范围是[5，+∞）．18．（12分）设直线l1：x+y﹣1=0，l2：x﹣2y+2=0，l3：3x+my﹣6=0．（1）若直线l1，l2，l3交于同一点，求m的值；（2）若直线l与直线l1关于直线l2对称，求直线l的方程．【解答】解：（1）直线l1：x+y﹣1=0，l2：x﹣2y+2=0，求解l1，l2的交点坐标为（0，1），带入l3，可得m﹣6=0，即m=6；（2）由直线l1：x+y﹣1=0，l2：x﹣2y+2=0，可得l1，l2的交点坐标为（0，1），设直线l的方程为y﹣1=kx．即kx﹣y+1=0直线l2对上任取点坐标为（2，2）到直线l和直线l1的距离相等，即解得：k=﹣1或﹣7．∴直线l的方程为：7x﹣y+1=0．19．（12分）已知圆C经过P（﹣3，﹣3），Q（2，2）两点，且圆心C在x轴上．（1）圆C的方程；（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．【解答】解：（1）设圆心C（c，0），则R2=（c+3）2+9=（c﹣2）2+4，解得：c=﹣1，R2=13．∴圆C方程：（x+1）2+y2=13；（2）∵P（﹣3，﹣3），Q（2，2），∴k PQ=1，由l∥PQ，设l：y=x+b，则线段AB的中垂线（过圆心C）为：x+y+1=0，联立，解得AB中点（），则以线段AB为直径的圆的半径满足：，则以线段AB为直径的圆方程为：，∵该圆过原点，∴，解得：b=4或﹣3，∴直线l：x﹣y+4=0或x﹣y﹣3=0．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点M为棱A1B1的中点．（1）求证：AB⊥平面CC1M；（2）若AC=BC=CC1=2，∠ACB=120°，求三棱锥A1﹣C1B1B的体积．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点M为棱A1B1的中点．∴AA1⊥C1M，A1B1⊥C1M，∵AA1∩A1B1=A1，∴AB⊥平面CC1M．（2）∵AC=BC=CC1=2，∠ACB=120°，∴C1M===1，==2，∴三棱锥A1﹣C1B1B的体积：====．21．（12分）已知函数f（x）=lg2x﹣2alg（10x）+3，．（1）当a=1时，求函数f（x）的值域；（2）若函数y=f（x）的最小值记为m（a），求m（a）的最大值．【解答】解：（1）函数y=f（x）=lg2x﹣2lg（10x）+3，x∈[，10]，可得f（x）=lg2x﹣2lgx+1=（lgx﹣1）2，令t=lgx，t∈[﹣2，1]，则y=（t﹣1）2，t∈[﹣2，1]，可得函数y的最小值为0，最大值为9，可得f（x）的值域为[0，9]；（2）函数f（x）=lg2x﹣2alg（10x）+3，x∈[，10]，令t=lgx，t∈[﹣2，1]，则f（x）=g（t）=t2﹣2at﹣2a+3，对称轴为t=a，①当a＜﹣2时，g（t）在[﹣2，1]递增，可得f（x）min=g（﹣2）=2a+7，②当﹣2≤a≤1时，，③当a＞1时，g（t）在[﹣2，1]递减，可得f（x）min=g（1）=4﹣4a．所以当a＜﹣2时，可得m（a）＜3；当﹣2≤a≤1时，m（a）∈[0，4]；当a＞1时，m（a）＜0．所以m（a）max=4．选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（10分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（4，m）和（9，3）．（1）求m的值；（2）求函数g（x）=2f（x）在区间[16，36]上的值域．【解答】解：（1）设幂函数y=f（x）=xα，α为实数，其图象过点（4，m）和（9，3），∴9α=3，解得α=，∴f（x）=，∴m=f（4）==2，即m的值是2；（2）由题意知，x∈[16，36]时，f（x）=∈[4，6]，∴g（x）=2f（x）∈[16，64]，∴g（x）的值域是[16，64]．23．已知幂函数y=f（x）的图象过点（4，m）和（2，8）．（1）求m的值；（2）求函数在区间[﹣1，2]上的值域．【解答】解：（1）设幂函数y=f（x）=xα，α为实数，其图象过点（4，m）和（2，8），∴2α=8，解得α=3，∴f（x）=x3，∴m=f（4）=43=64，即m的值是64；（2）由题意知，x∈[﹣1，2]时，f（x）=x3∈[﹣1，8]，∴g（x）=∈[，2]，赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)<f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．∴g （x ）的值域是[，2]．。