x(k1) 6.667 y(k) 8.667
y(k1) 2.5x(k) 4.0
5x 2y 8 3x 20y 26
k
0
x(k)
0
1 8.667
2 35.335
3
…
-109.126 …
y(k)
0
4.0
-17.668 -84.358 …
§3.1 问题的提出
...
a2n
,
b
b2
,
x
x2
... ... ... ...
...
...
an1
an2
...
ann
bn
xn
§3.1 问题的提出
➢如果A是非奇异阵时，方程组有唯一解， 且可以用克莱姆(Grammer)法则表示:
xi
Di D
,
(i 1, 2,..., n)
其中xi是解向量x*的第i个分量，D=detA, Di是用b代替A的第i列后得到矩阵的行列 式。
§3.1 问题的提出
➢克莱姆方法求解计算量太大，需要计 算(n+1)个n阶行列式，共需要(n+1)!次乘 法运算。
§3.1 问题的提出
• 求解线性方程组的数值方法有两大类：
1)直接法(direct methods)。 经过有限次 算术运算可求方程组精确解的方法(实 际上，由于舍入误差不可避免，一般 得不到精确解)。适合于求解低阶稠密 阵方程组。
§3.1 问题的提出
是方程组的精确解，用有限次运算得不到精 确解。迭代法是牛顿最先提出来的，1940年 经司威尔提出的松弛法也是一种迭代法，共 轭梯度法则是另一种迭代法，是弗莱彻等人 于20世纪60年代提出来的。
§3.1 问题的提出
例3.1
5x 2y 8 3x 20y 26
精确解为 x* 2, y* 1
§3.1 问题的提出
2) 迭代法(iterative methods)。采用极限过 程去逐步逼近线性方程组精确解的方 法。迭代法需要计算机存储单元较少， 对计算机要求不高，程序设计简单， 但有收敛性和收敛速度方面的问题。 迭代法是求解大型稀疏矩阵方程的重 要方法。
§3.1 问题的提出
➢ 我们在本章将要学习迭代法有：
§3.1 问题的提出
Jacobi迭代法
迭代法 Gauss Seidel迭代法
直接法
超松弛迭代法
高斯消去法
不选主元 选主元（列选，全选）
三角分解法
追赶法
§3.1 问题的提出
【历史注记】线性代数方程组数值解法有着 悠久的历史。我国古代数学著作《九章算术》 (公元1世纪)的“方程”章中就有了较好的线 性方程组数值解法－－相当于现代对方程组 的增广矩阵进行初等变换、消去未知数的方 法。中世纪的印度数学家也可以求解线性方 程组。例如12世纪的婆什迦罗的著作中，也 有求解线性方程组的内容。
a22 x2
a23x3 ...
... a2n xn
b2
an1x1 an2 x2 an3x3 ... ann xn bn
§3.1 问题的提出
➢线性方程组Ax=b，其中A是n维方阵， x是n维未知数向量，b是n维常数向量。
a11 a12 ... a1n
b1
x1
A a21
a22
§3.1 问题的提出
如何利用计算机更精确、更有效地求解大型 线性方程组，是计算数学中最重要的课题之 一。
现代计算实践中，常用的线性代数方程组 数值解法有直接法和迭代法两大类。直接法 是在没有舍入误差的假设下，经过有限次运 算就可得出方程组的精确解的方法，如各种 消元法。迭代法则采用逐次逼近的方法,即从 一个初始值出发，按照一定的计算格式(迭代 公式)，构造一个向量的无穷序列，其极限才
将方程写为
x 0.4y 1.6
y
0.15x
1.3
取
x(0) y(0) 0
x(1) 0.4 y(0) 1.6 1.6
y
(1)
0.15x(0)
1.3
1.3
§3.1 问题的提出
x(2) 0.4 y(1) 1.6 2.12
y
(2)
0.15x(1)
1.3
1.06
重复以上过程得
k
0
1
2
3
4
5
6
…
x(k) 0 1.6 2.12 2.024 1.9928 1.99856 2.000432 …
y(k) 0 -1.3 -1.06 -0.982 -0.9964 -1.00108 -1.000216 …
§3.1 问题的提出
如果把原方程写为
构造
x 6.667 y 8.667
y 2.5x 4.0
§3.1 问题的提出
在欧洲，16世纪的比特奥在其《算术》 （1559）中采用了与《九章算术》类似的消 元法。日本数学家关孝和在其《解伏题之法》 一书(1683)中首先采用了类似于现代行列式 法求解了三元线性方程组。稍后，莱布尼茨 提出关于行列式解线性方程组的思想(1693)。 1721年马可劳林用行列式展开式的方法给出 了二元、三元、四元线性方程组的解法，
§3.1 问题的提出
但他的符号记法不完善。1750年，克莱姆给 出了现在比较通用的线性方程组行列式解法， 即克莱姆法则。1764年，贝祖用行列式建立 了线性方程组的一般理论。但由于当时计算 的效率很低，这一理论几乎只有理论的意义， 实际上只能求出未知数很少的线性代数方程 组的解。只是在20世纪中叶电子计算机问世 并投入应用之后，大型线性代数方程组的数 值求解才成为可能。
✓雅可比(Jacobi)迭代法 ✓高斯－塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法 ✓超松弛迭代法(Successive overrelaxation method, SOR)。
§3.1 问题的提出
➢ 我们在本章将要学习直接解法有：
✓高斯消去法(Gauss Elimination)， ✓高斯主元素消去法(Gauss Elemination with pivoting), ✓三角分解法(tion and backward substitution)。
计算方法 (力学系本科生)
第三章 线性方程组解法 (Solution for Linear Algebraic
Equations )
第三章 线性方程组解法
§3.1 问题的提出
§3.1 问题的提出
n阶线性方程组
a11x1 a12 x2 a13x3 ... a1n xn b1
a21x1