2.1.1椭圆及其标准方程※知识要点1．椭圆的定义：在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0：(1)若______，则集合P为椭圆；(2)若______，则集合P为线段；(3)若______，则集合P为空集．焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形焦点坐标a、b、c的关系(1)焦点△F1AF2周长C△F1AF2＝、面积S△F1AF2＝；(2)△ABF2的周长为：C△ABF2＝；(3)通径：|AC|＝；※课前自测1．椭圆x225＋y2169＝1的焦点坐标是()A．(±5，0) B．(0，±5) C．(0，±12) D．(±12，0)2．椭圆x225＋y216＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为7，则点P到另一个焦点的距离是()A．2B．3C．5D．73．已知点M到两个定点A(－1，0)和B(1，0)的距离之和是定值2，则动点M的轨迹是()A．一个椭圆B．线段ABC．线段AB的垂直平分线D．直线AB4．椭圆x2m＋y24＝1的焦距是2，则m的值是()A．5B．3或8 C．3或5D．205．已知方程x225－m＋y2m＋9＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是.※题型讲练考点一⇨椭圆的定义【例1】已知集合P＝{M||MF|＋|MG|＝10}，其中F为定点且|FG|＝8，若M到F的距离为2，N是MF的中点，则N点到FG中点O的距离是()A．8B．4C．2 D．32变式训练1：椭圆x225＋y216＝1上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个点的距离为()A．4B．6 C．8D．2 考点二⇨求椭圆的标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F1(－4，0)、F2(4，0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点分别为(0，－2)、(0，2)，经过点(4，32)；(3)经过两点(2，－2)、(－1，142)．变式训练2：(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(0，－2)和(0，2)，且过点(－32，52)，则椭圆的标准方程为.(2)已知椭圆经过点(3，12)、(152，－14)，求其标准方程．考点三⇨定义法解决轨迹问题【例3】已知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．变式训练3：已知△ABC的周长是8，且B(－1，0)、C(1，0)，则顶点A的轨迹方程是()A．x29＋y28＝1(x≠±3) B.x29＋y28＝1(x≠0)C．x24＋y23＝1(y≠0) D.x23＋y24＝1(y≠0)考点四 ⇨椭圆的焦点三角形的性质【例4】已知点P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．变式训练4：1．已知椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1、F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为( ) A ．9 B ．12 C ．10 D ．82．已知点P (3，4)是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0. (1)求椭圆的方程； (2)求△PF 1F 2的面积．※课堂反馈1．到两定点F 1(－2，0)和F 1(2，0)的距离之和为4的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．圆 D ．无法确定2．设P 是椭圆x 225＋y216＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．10 B ．8 C ．5 D ．43．椭圆x 225＋y216＝1的焦距为( )A ．4B ．5C ．6D ．94．已知椭圆x 225＋y29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长是 . 5．焦点在坐标轴上，且经过A (－2，2)和B (3，1)两点，求椭圆的标准方程．※课后练习 A 级 基础巩固一、选择题1．已知椭圆x 216＋y 2b2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( )A ．8B ．12C ．23D ．4 32．已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．93．已知F 1、F 2是椭圆x 216＋y29＝1的两个焦点，过点F 2的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB |＝5，则|AF 1|＋|BF 1|＝( ) A ．11 B ．10 C ．9 D ．164．设P 是椭圆x 216＋y212＝1上一点，P 到两焦点F 1、F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形5．方程x 2m ＋y22m －1＝1为椭圆方程的一个充分不必要条件是( )A ．m >12B ．m >12且m ≠1C ．m >1D ．m >06．已知两点F 1(－1，0)、F 2(1，0)，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( )A ．x 216＋y 29＝1B ．x 216＋y 212＝1C ．x 24＋y 23＝1D ．x 23＋y 24＝1二、填空题7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为4和2，则椭圆的标准方程为 . 8．若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则该椭圆长半轴长的最小值为 . 三、解答题9．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3，0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程．B 级 素养提升一、选择题1．设椭圆的标准方程为x 2k －3＋y 25－k＝1，若其焦点在x 轴上，则k 的取值范围是( ) A ．k >3 B ．3<k <5 C ．4<k <5 D ．3<k <4 2．若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 、b 满足( )A ．a 2>b 2B ．1a <1b C ．0<a <b D ．0<b <a3．F 1、F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7B ．74C ．72D ．7524．设椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，若△PF 1F 2是直角三角形，则△PF 1F 2的面积为( )A ．3B ．3或32C ．32D ．6或3二、填空题5．若椭圆x 25＋y 2m＝1的一个焦点坐标为(0，1)，则实数m 的值为 .6．设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为 .三、解答题7．根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)经过两点A (0，2)、B (12，3)；(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同的焦点．8．已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任一点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．2.1.2椭圆的简单几何性质※知识要点焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形对称性对称轴，对称中心范围x∈，y∈x∈，y∈顶点轴长长轴|A1A2|＝，短轴|B1B2|＝焦点焦距|F1F2|＝离心率e＝(0<e<1)(1)①动点角范围：0≤∠A1P A2≤∠A1BA2；②焦半径范围：≤|PF1|≤；③|PO|范围：≤|PO|≤；④斜率：kP A1·kP A2＝.(2)离心率e越大，椭圆；e越小，椭圆．※课前自测1．点(2，3)在椭圆y2a2＋x2b2＝1上，则()A．点(－2，3)不在椭圆上B．点(－2，－3)不在椭圆上C．点(2，－3)在椭圆上D．无法判断点(－2，3)、(－2，－3)、(2，－3)是否在椭圆上2．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0，2)，那么k的值为() A．－1B．1C．5D．－ 5 3．椭圆9x2＋y2＝36的短轴长为()A．2 B．4 C．6 D．124．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为12，则()A．a2＝2b2B．3a2＝4b2C．a＝2b D．3a＝4b5．若椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)经过点P(0，3)，且椭圆的长轴长是焦距的两倍，则a＝.※题型讲练考点一⇨根据椭圆的方程研究几何性质【例1】求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．变式训练1：设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．考点二⇨利用椭圆的几何性质求标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆过点(3，0)，离心率e＝63；(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.变式训练2：已知椭圆E的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且E上一点到E的两个焦点的距离之和为12，则椭圆E的方程为.考点三⇨求椭圆的离心率【例3】A为y轴上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．变式训练3：已知点F1、F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率e是()A．12B．22C．13D．33考点四 ⇨直线与椭圆的位置关系【例4】已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求直线被椭圆截得的弦最长时直线的方程．变式训练4：已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，A 1，A 2分别为椭圆E 的左右顶点，B 为上顶点，△A 1BA 2的面积为2.直线l 过点D (1，0)且与椭圆E 交于P ，Q 两点． (1)求椭圆E 的标准方程； (2)求△OPQ 面积的最大值．※课堂反馈1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( ) A ．(±13，0) B ．(0，±10) C ．(0，±13) D ．(0，±69)2．已知直线22x －y ＋42＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点F 1，且与椭圆在第二象限的交点为M ，与y 轴的交点为N ，F 2是椭圆的右焦点，且|MN |＝|MF 2|，则椭圆的方程为( )A ．x 240＋y 24＝1B ．x 25＋y 2＝1C ．x 210＋y 2＝1 D ．x 29＋y 25＝13．椭圆x 2＋y2m＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( )A ．12B ．2C ．14D ．44．椭圆x 29＋y 216＝1的焦点坐标是 ，顶点坐标是 .5．已知椭圆的标准方程为x 24＋y 29＝1.(1)求椭圆的长轴长和短轴长． (2)求椭圆的离心率．(3)求以此椭圆的长轴端点为短轴端点，并且经过点P (－4，1)的椭圆方程．※课后练习 A 级 基础巩固一、选择题1．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8 2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e 为( )A ．12B ．13C ．14D ．223．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是( )A ．x 225＋y 220＝1B ．x 220＋y 225＝1C ．x 220＋y 245＝1D ．x 280＋y 285＝14．已知椭圆C ：x 2a 2＋y24＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．22D ．2235．已知以F 1(－2，0)、F 2(2，0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( ) A ．3 2 B ．2 6 C ．27 D ．4 26．已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A ．63B ．33C ．23D ．13二、填空题7．已知椭圆的中心在原点，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆标准方程为 .8．已知A (2，2)是椭圆x 2m ＋y 24＝1上一点，F 是椭圆的右焦点，设点F 到直线x ＝4的距离为d ，则m ＝ ，|AF |d＝ .三、解答题9．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2的连线互相垂直．(1)求椭圆的离心率； (2)求△PF 1F 2的面积．B 级 素养提升一、选择题1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为( )A ．x 2144＋y 2128＝1或x 2128＋y 2144＝1 B.x 26＋y 24＝1C ．x 236＋y 232＝1或x 232＋y 236＝1 D.x 24＋y 26＝1或x 26＋y 24＝12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A ．x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y 28＝1D ．x 212＋y 24＝13．已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y236＝1，则直线l与椭圆C 的公共点的个数为( ) A ．1 B ．1或2 C ．2 D ．04．从椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A ．24B ．12C ．22D ．32二、填空题5．已知点P (0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝ 时，点B 横坐标的绝对值最大．6．设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是 . 三、解答题7．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . (1)求椭圆M 的方程；(2)若k ＝1，求|AB |的最大值；8．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55.(1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．2.2.1 双曲线及其标准方程※知识要点1．双曲线的定义平面内，动点P 与两个定点F 1、F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离之差的绝对值 为常数2a (2a <2c )，则点P 的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________． 注意：集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ； (1)当________时，P 点的轨迹是________； (2)当________时，P 点的轨迹是________； (3)当________时，P 点不存在． 焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程图形焦点坐标a ，b ，c 关系※课前自测1．平面内，到两定点F 1(－3，0)、F 2(3，0)的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线 2．焦点在坐标轴上，中心在原点，且经过点P (27，3)和点Q (－7，－62)的双曲线方程是( )A ．x 225－y 275＝1 B.x 225－y 275＝1或y 225－x 275＝1C ．x 225－y 275＝1或y 275－x 225＝1 D.y 275－x 225＝13．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A ．(22，0) B ．(52，0) C ．(62，0) D ．(3，0)4．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3，2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是 .5．已知双曲线过点(5，0)，且与椭圆x 230＋y 25＝1有相同的焦点，求双曲线的方程．※题型讲练考点一 ⇨双曲线定义的应用【例1】椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)与双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F 1，F 2，且P 是这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|等于__m －a __.变式训练1：P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1、F 2是双曲线的两个焦点，且|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为 .考点二 ⇨待定系数法求双曲线的标准方程【例2】(1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线经过点(3，－42)和(94，5)，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．变式训练2：求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，经过点A (－5，6)；(2)与椭圆x 216＋y 225＝1共焦点，且过点(－2，10)．考点三 ⇨双曲线的焦点三角形问题【例3】设双曲线x 24－y 29＝1，F 1、F 2是其两个焦点，点P 在双曲线右支上．(1)若∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积； (2)若∠F 1PF 2＝60°时，△F 1PF 2的面积是多少？若∠F 1PF 2＝120°时，△F 1PF 2的面积又是多少？变式训练3：若F 1、F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．考点四 ⇨分类讨论思想的应用【例4】已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．变式训练4：1．讨论方程x 25－m ＋y 22－m＝1(m <3)所表示的曲线类型．2．已知双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0，3)，求k 的值．※课堂反馈 1．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A ．12B ．1C ．1或－2D ．1或122．已知m ，n ∈R ，则方程x 2m ＋y 2n ＝1中“m ·n <0”是“方程x 2m＋y2n＝1表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．设动点P 到A (－5，0)的距离与它到B (5，0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A ．x 29－y 216＝1B ．y 29－x 216＝1C ．x 29－y 216＝1(x ≤－3)D ．x 29－y 216＝1(x ≥3)4．双曲线C ：x22－y 2＝1的左右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线右支上一点，则|PF 1|－|PF 2|＝ ，离心率e ＝ . 5．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)c ＝6，经过点(－5，2)，且焦点在x 轴上．(2)已知双曲线两个焦点的坐标为F 1(0，－5)，F 2(0，5)，双曲线上一点P 到F 1，F 2的距离之差的绝对值等于6.※课后练习 A 级 基础巩固一、选择题1．已知M (－2，0)、N (2，0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线左支 C ．一条射线 D ．双曲线右支2．双曲线3x 2－4y 2＝－12的焦点坐标为( )A ．(±5，0)B ．(0，±5)C ．(±7，0)D ．(0，±7)3．已知x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则k 取值范围是( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－1 4．已知双曲线2mx 2－my 2＝4的一个焦点为(0，6)，则m 的值为( )A ．1B ．－1C ．73D ．－735．双曲线x23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2，0)，(2，0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0，2)6．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11 B ．9 C ．5 D ．3 二、填空题7．已知椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a >0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点，则a 的值为 .8．已知双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别为F 1、F 2，若双曲线上的点P 到点F 1的距离为12，则点P 到点F 2的距离为 . 三、解答题9．求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x 轴上，c ＝6且经过点(－5，2)；(2)过P (3，154)和Q (－163，5)两点．B 级 素养提升一、选择题1．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0，2)，则双曲线的方程是( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．x 22－y 23＝1D ．x 23－y 22＝12．已知F 是双曲线C ：x 2－y23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF ⊥x 轴，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( )A ．13B ．12C ．23D ．323．双曲线x 2a 2－y2b2＝1右焦点为F ，点A 在双曲线的右支上，以AF 为直径的圆M 与圆x 2＋y 2＝a 2的位置关系是( ) A ．相交 B ．外切 C ．相离 D ．内切4．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( ) A ．16 B ．18 C ．21 D ．26 二、填空题5．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，有一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的方程为 . 6．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于 .三、解答题7．已知双曲线方程为2x 2－y 2＝k ，焦距为6，求k 的值．8．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线如何变化？2．2.2 双曲线的简单几何性质※知识要点1．双曲线的简单几何性质 焦点位置 焦点在x 轴上焦点在y 轴上双曲线 方程图形范围对称性 对称轴： 对称中心： 顶点 渐近线离心率e ＝ca，e ∈ ，其中c ＝a 2＋b 2 e 越大，张口越大，e 越小，张口越小(1)动点P 到同侧焦点F 2的距离|PF 2|最小＝|A 2F 2|＝ ； (2)焦点到渐近线的距离为：|F 2M |＝ ； (2)渐近线求法结论：可直接令方程x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)等号右边的常数为0，化简解得；※课前自测1．双曲线x 225－y29＝1的顶点坐标是( )A ．(±5，0)B ．(±5，0)或(0，±3)C ．(±4，0)D ．(±4，0)或(0，±3) 2．渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( ) A ．22B ．1C ． 2D ．23．双曲线方程为x 24－y 2＝1，则渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±xD ．y ＝12x4．已知双曲线x 2a 2－y25＝1(a >0)的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )A ．34B ．32C ．3D ．45．双曲线x 22－y 2＝1的焦距是23 ，渐近线方程是 .6．已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y ＝±3x ，且双曲线过点(2，3)． (1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的焦点到渐近线的距离．※题型讲练考点一 ⇨根据双曲线方程研究其几何性质【例1】求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．变式训练1：求双曲线4x 2－y 2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．考点二 ⇨利用几何性质求双曲线的标准方程 【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)实轴长为8，离心率为54；(2)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P (4，－10)．变式训练2：(1)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的方程为 .(2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程为 .考点三⇨双曲线的离心率【例3】设双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上一点，点P到坐标原点O的距离等于双曲线焦距的一半，且|PF1|＋|PF2|＝4a，则双曲线的离心率是．变式训练3：(1)若双曲线x2a2－y2b2＝1两条渐近线互相垂直，则离心率为()A．2B．32C．3D．2(2)若双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A．73B．54C．43D．53考点四⇨直线与双曲线的位置关系【例4】已知曲线C：x2－y2＝1和直线l：y＝kx－1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为2，求实数k的值．变式训练5：已知双曲线方程为2x2－y2＝2.(1)过定点P(2，1)作直线交双曲线于P1，P2两点，当点P(2，1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程．(2)过定点Q(1，1)能否作直线l，使直线l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．※课堂反馈1．设双曲线x2a2－y29＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为()A．4B．3C．2D．12．“m＝1”是“双曲线x2m－y23＝1的离心率为2”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A．y＝±2x B．y＝±3x C．y＝±22x D．y＝±32x 4．若双曲线x2a2－y24＝1(a＞0)的离心率为52，则a＝. 5．求双曲线y2－2x2＝1的离心率和渐近线方程．※课后练习A级基础巩固一、选择题1．以椭圆x216＋y29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为()A．x216－y248＝1 B．y29－x227＝1C．x216－y248＝1或y29－x227＝1 D．以上都不对2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．22C．4D．4 23．若a>1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是() A．(2，＋∞) B．(2，2) C．(1，2) D．(1，2) 4．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则点(4，0)到C的渐近线的距离为()A． 2 B．2 C．322D．2 25．双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A ．324B ．322C ．2 2D ．3 26．以双曲线y 2－x 23＝1的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是( )A ．(x －2)2＋y 2＝4B ．x 2＋(y －2)2＝2C ．(x －2)2＋y 2＝2D ．x 2＋(y －2)2＝4 二、填空题7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝ ；b ＝ . 三、解答题9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52的双曲线的方程；(2)求虚轴长为12，离心率为54的双曲线的标准方程．B 级 素养提升一、选择题1．已知方程ax 2－ay 2＝b ，且a 、b 异号，则方程表示( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线2．双曲线x 2－y2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >23．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A ．(－33，33)B ．(－36，36)C ．(－223，223)D ．(－233，233)4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，过左焦点F 的直线切圆x 2＋y 2＝a 2于点P ，交双曲线C 右支于点Q ，若FP →＝PQ →，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±32x二、填空题5．已知双曲线x 29－y 2m＝1的一个焦点在圆x 2＋y 2－4x －5＝0上，则双曲线的渐近线方程为 .6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c ，0) 到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值为 . 三、解答题7．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．8．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c ，0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，其斜率为－3，求双曲线的离心率．2.3.1抛物线及其标准方程※知识要点1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离的点的轨迹．(2)焦点：叫做抛物线的焦点．(3)准线：叫做抛物线的准线．．抛物线的标准方程标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形焦点准线方程开口方向※课前自测1．抛物线y2＝4x的焦点坐标是()A．(0，2)B．(0，1)C．(2，0)D．(1，0)2．抛物线y＝14x2的准线方程为()A．x＝－116B．x＝－18C．y＝－1 D．y＝23．y＝2x2的焦点坐标是()A．(1，0) B．(14，0) C．(0，14) D．(0，18)4．抛物线x2＝－2py(p>0)的焦点是双曲线y23－x26＝1的一个焦点，则该抛物线的方程是.5．求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)准线方程为2y＋4＝0；(2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．※题型讲练考点一⇨求抛物线的焦点及准线【例1】设抛物线的方程为y＝ax2(a≠0)，求抛物线的焦点坐标与准线方程．变式训练1：(1)抛物线C：y＝－x28的焦点坐标为；(2)抛物线x2＝－y的准线方程为.考点二⇨抛物线的标准方程【例2】求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点在直线3x＋4y－12＝0上；(2)焦点是(－2，0)；(3)准线是y＝－32；(4)焦点到准线的距离是2.变式训练2：求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3，2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．考点三⇨抛物线定义的应用【例3】(1)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．4B．6C．8D．12(2)过点A(1，0)，且与直线l：x＝－1相切的圆的圆心的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线变式训练3：(1)已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x＝；(2)已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO 的面积为.考点四⇨抛物线在实际问题中的应用【例4】如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，求水面的宽度．变式训练4：如图(1)所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到1 m)图(1)※课堂反馈1．抛物线x＝4y2的焦点坐标是()A．(0，1) B．(0，－1) C．(－116，0) D．(116，0) 2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>p2)，则点M的横坐标是()A．a＋p2B．a－p2C．a＋p D．a－p3．若椭圆x23＋4y2p2＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p为.4．若抛物线y2＝2px(p≠0)的焦点与双曲线x22－y22＝1的右焦点重合，则实数p＝.5．抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标．※课后练习A级基础巩固一、选择题1．若A是定直线l外一定点，则过点A且与直线l相切的圆的圆心轨迹为()A．直线B．椭圆C．线段D．抛物线2．如果抛物线y2＝2px的准线是直线x＝－2，那么它的焦点坐标为()A．(1，0) B．(2，0) C．(3，0) D．(－1，0) 3．抛物线x2＝4y的焦点到准线的距离为()A．12B．1 C．2 D．44．抛物线y＝2x2的焦点坐标是() A．(1，0) B．()14，0C．()0，18D．()0，14 5．抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A．0 B．1516C．78D．17166．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为()A．2 B．2 2 C．2 3 D．4二、填空题7．若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1，0)，则p ＝ ，准线方程为 .8．沿直线y ＝－2发出的光线经抛物线y 2＝ax 反射后，与x 轴相交于点A (2，0)，则抛物线的准线方程为 (提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行)． 三、解答题9．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 任作一条直线，交抛物线于P 1、P 2两点，求证：以P 1P 2为直径的圆和该抛物线的准线相切．B 级 素养提升一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ．2 3 2．抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．2 3B ．2C ． 3D ．13．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y22＝1的右焦点重合，则p 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．44．已知双曲线E ：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，抛物线C ：y 2＝8ax 的焦点为F .若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP →⊥FP →，则E 的离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(1，324]C ．[324，＋∞) D ．(2，＋∞) 二、填空题5．点M (5，3)到抛物线x 2＝ay (a >0)的准线的距离为6，则抛物线的方程是 .6．若动点M (x ，y )到点F (4，0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点M 的轨迹方程是 . 三、解答题7．已知抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离是5.求抛物线方程和m 的值．8．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要0.5 m ．若行驶车道总宽度AB 为6 m ，计算车辆通过隧道的限制高度是多少米？(精确到0.1 m)2.3.2抛物线的简单几何性质※知识要点1．抛物线的简单几何性质标准方程图象p的几何意义：焦点F到准线l的距离范围对称顶点焦点准线2．焦半径与焦点弦结论抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l. (其中，α为直线AB的倾斜角)(1)焦半径：|AF|＝|AD|＝，|BF|＝|BC|＝；(2)焦点弦：|AB|＝＝2psin2α；(3) x1·x2＝，y1·y2＝；(4) S△OAB＝p22sinα；(5)以AB为直径的圆必与准线相切于点H．※课前自测1．顶点在原点，对称轴是y轴，且通径为2的抛物线的标准方程为()A．x2＝±2y B．x2＝±y C．y2＝±x D．y2＝±2x 2．顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点(－1，2)，则它的方程是()A．y＝2x2或y2＝－4x B．y2＝－4x或x2＝2yC．x2＝－12y D．y2＝－4x3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离为4，则点P到该抛物线焦点的距离为()A．6B．7C．8D．124．过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为()A．8B．16 C．32 D．615．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．※题型讲练考点一⇨待定系数法求抛物线的标准方程【例1】已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(3，－23)，求它的方程．变式训练1：已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，准线过椭圆x216＋y252＝1的焦点，求抛物线的方程．考点二⇨抛物线的焦点弦与焦半径问题【例2】求过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦长的最小值．变式训练2：过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，求p的值．考点三 ⇨最值问题【例3】设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线焦点． (1)求点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值；(2)若B (3，2)，求|PB |＋|PF |的最小值．变式训练3：(1)定点M ()3，103与抛物线y 2＝2x 上的点P 之间的距离为d 1，P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2取最小值时，P 点坐标为( )A ．(0，0)B ．(1，2)C ．(2，2)D ．()18，－12 (2)设P 是抛物线y 2＝2x 上任一点，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离的最小值为 ，点P 的坐标为 .考点四 ⇨与抛物线有关的定点、定值、最值问题【例4】如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4，2)作倾斜角互补的两条直线AB 、AC 交抛物线于B 、C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值．变式训练4：过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB .求证：直线AB 过抛物线对称轴上的一定点．※课堂反馈1．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( ) A ．x 2＝±3y B ．y 2＝±6x C ．x 2＝±12y D ．x 2＝±6y2．抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离是( )A ．4B ．2C ．18D ．1163．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则点P 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫32，±62B ．⎝⎛⎭⎫74，±72C ．⎝⎛⎭⎫94，±32D ．⎝⎛⎭⎫52，±102 4．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则点B 到该抛物线准线的距离为 .5．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，求抛物线C 2的方程．※课后练习 A 级 基础巩固一、选择题 1．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点且垂直于x 轴的弦为AB ，O 为抛物线顶点，则∠AOB 的大小( ) A ．小于90° B ．等于90° C ．大于90° D ．不能确定 2．若AB 为抛物线y 2＝4x 的弦，且A (x 1，4)、B (x 2，2)，则|AB |＝( ) A ．13 B ．13 C ．6 D ．4 3．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( )A ．(14，±24)B ．(18，±24)C ．(14，24)D ．(18，24)4．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y2p＝1的一个焦点，则p ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8。