第2讲圆锥曲线的方程与性质(小题)热点一圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(0＜2a>|F1F2|).(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a<|F1F2|).(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.例1(1)(2019·桂林、崇左联考)过双曲线x2－y23＝1的右支上一点P分别向圆C1：(x＋2)2＋y2＝4和圆C2：(x－2)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为()A.5B.4C.3D.2(2)(2019·云南师大附中模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，O是坐标原点，点P是抛物线C在第一象限内的一点，若点P到y轴的距离等于点P到抛物线C的焦点的距离的一半，则直线OP 的斜率为()A.12 B.13 C.2 D.3跟踪演练1(1)已知以圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A 点，B点是抛物线C2：x2＝8y上任意一点，BM与直线y＝－2垂直，垂足为M，则|BM|－|AB|的最大值为()A.1B.2C.－1D.8(2)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M ，N )，△AF 1B 的周长为43，且直线AM 与AN 的斜率之积为－23，则C 的方程为( )A.x 212＋y 28＝1 B.x 212＋y 24＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 23＋y 2＝1 热点二 圆锥曲线的几何性质 1.椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2. (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2. 2.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系.例2 (1)(2019·内江模拟)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝34x ，则双曲线的离心率为( ) A.43 B.53 C.54D.2 (2)(2019·乐山、峨眉山联考)已知抛物线y ＝14x 2的焦点F 是椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A ，B 两点，若△FAB 是正三角形，则椭圆的离心率为( ) A.3－1 B.2－1 C.33 D.22跟踪演练2 (1)(2019·四川双流中学模拟)已知M 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支上一点，A ，F 分别为双曲线C 的左顶点和右焦点，线段FA 的垂直平分线过点M ，∠MFA ＝60°，则双曲线C 的离心率为( ) A. 5 B.2 C.3 D.4(2)(2019·济南模拟)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1→·AF 2→＝0，AF 2→＝2F 2B →，则椭圆E 的离心率为( ) A.23 B.34 C.53 D.74热点三 圆锥曲线与圆、直线的综合问题 圆锥曲线与圆、直线的综合问题的注意点 (1)注意使用圆锥曲线的定义；(2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组； (3)注意用好平面几何性质；(4)涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解.例3(1)(2019·桂林、崇左联考)以抛物线C：y2＝2px(p＞0)的顶点为圆心的圆交抛物线C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝26，|DE|＝210，则p＝________.跟踪演练3(1)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP，则该椭圆的离心率是()A.33 B.23 C.32 D.22.(2)(2019·内江、眉山等六市模拟)设点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，Q是C的准线上的动点，直线l过Q且与OQ(O为坐标原点)垂直，则点P到l的距离的最小值的取值范围是()A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1]D.(0,2]真题体验1.(2019·全国Ⅰ，理，10)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 2.(2018·全国Ⅱ，理，12)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.143.(2019·全国Ⅰ，理，16)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________.押题预测1.双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x－2y＋1＝0平行，则双曲线的离心率为()A. 5B.52 C.32 D. 32.已知抛物线C：y2＝2x，过原点作两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点(A，B均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F到直线AB距离的最大值为()A.2B.3C.32 D.43.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线y2＝2px(p＞0)与双曲线C有相同的焦点.设P为抛物线与双曲线C的一个交点，cos∠PF1F2＝57，则双曲线C的离心率为()A.2或 3B.2或3C.2或 3D.2或3A组专题通关1.(2019·曲靖模拟)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±3x，则双曲线的标准方程是()A.7x216－y212＝1 B.y23－x22＝1C.x2－y23＝1 D.3y223－x223＝12.(2019·乐山调研)已知抛物线y2＝ax上的点M(1，m)到其焦点的距离为2，则该抛物线的标准方程为()A.y2＝2xB.y2＝4xC.y2＝3xD.y2＝5x3.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，F是双曲线C的右焦点，A是双曲线C的右顶点，过F作x轴的垂线，交双曲线于M，N两点.若tan∠MAN＝－34，则双曲线C的离心率为()A.3B.2C.43 D. 24.(2019·曲靖模拟)抛物线y2＝2x上一点M到它的焦点F的距离为52，O为坐标原点，则△MFO的面积为()A.22 B.24 C.12 D.145.(2019·绵阳诊断)抛物线C：y2＝42x的焦点为F，P是抛物线上一点，过P作y轴的垂线，垂足为Q，若|PF|＝42，则△PQF的面积为()A.3B.4 2C.3 6D.6 36.设双曲线mx2＋ny2＝1的一个焦点与抛物线y＝18x2的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为() A.2 B. 3 C.2 2 D.2 37.(2019·南宁二中模拟)已知F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若FB →＝2AF →，则C 的离心率是( ) A. 2 B.143 C.233D.2 8.(2019·云南师大附属中学模拟)直线l 与双曲线x 2－y 22＝1交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆C的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋m ＝0，则m 等于( ) A.－3 B.3 C.5－2 2 D.2 29.(2019·六安联考)已知直线l ：x ＋y ＝3与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点P 在椭圆x 22＋y 2＝1上运动，则△PAB 面积的最大值为( ) A.6 B.3(3＋2)2C.3(3－3)2D.3(3＋3)210.设F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为k (k >0)的直线过F 且交抛物线于A ，B 两点，若|FA |＝3|FB |，则直线AB 的斜率为( ) A.12B.1C. 2D. 3 11.(2019·乐山调研)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为60°的直线与y 轴和双曲线的右支交于A ，B 两点，若点A 平分线段F 1B ，则该双曲线的离心率是( )A. 3B.2＋ 3C.2D.2＋112.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (4,0)的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，则△ABF 的面积的最小值为( ) A.8 B.12 C.16 D.2413.(2019·全国Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________.14.已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1和双曲线C 2：x 2m 2－y 2＝1(m >0).经过C 1的左顶点A 和上顶点B 的直线与C 2的渐近线在第一象限的交点为P ，且|AB |＝|BP |，则椭圆C 1的离心率e 1＝______；双曲线C 2的离心率e 2＝________.15.(2019·峨眉山适应性考试)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作直线l ，与抛物线交于A ，B 两点，与准线交于C 点，若FC →＝4FB →，则|AB →|＝______.16.设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为椭圆的下顶点，P 为过点F 1，F 2，B 的圆与椭圆C 的一个交点，且PF 1⊥F 1F 2，则ba的值为________.B 组 能力提高17.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，若双曲线及其渐近线上各存在一点Q ，P ，使得四边形OPFQ 为矩形，则其离心率为( ) A. 3 B.2 C. 5 D. 618.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，D 为虚轴的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为__________.。